2022全国甲卷高考压轴卷数学（理）word版含解析一．选择题（本题共12个小题，每个小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A＝{x|2x﹣8＜2﹣3x}，B＝{x|x2﹣4x+3＜0}，则A∪B＝（ ）A．（1，2）B．（2，3）C．（﹣∞，3）D．（1，3）2.设复数z满足（1+i）z＝4i，则|z|＝（ ）A．B．C．2D．23.下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）A．y＝B．y＝2﹣xC．y＝D．y＝4.刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法:当n很大时，用圆内接正n边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率.在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想，可以说他是中国古代极限思想的杰出代表．运用此思想，当取3.1416时可得的近似值为（）A.0.00873B.0.01745C.0.02618D.0.034915.已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰三角形，则该几何体的体积为（）A.B.C.2D.6.某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的结果是（）\nA.B.C.D.7.我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面取得突破，孪生素数也称为孪生质数，就是指两个相差2的素数，例如5和7，在大于3且不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为（）A.B.C.D.8.圆上的点到直线的距离的最小值为A.1B.2C.4D.59.在的展开式中，含项的系数为（）A.－80B.－40C.40D.12010.已知实数x，y满足约束条件，则z＝的最小值为（ ）A．B．C．2D．311.已知双曲线＝1的右焦点为F，点M在双曲线上且在第一象限，若线段MF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线MF的斜率是（ ）A．B．C．D．\n12.已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.第II卷（非选择题）二．填空题（本题共4个小题，每个小题5分，共20分）13.函数f(x)是定义在R上的奇函数，当时，，则______．14.在新高考改革中，学生可从物理、历史、化学、生物、政治、地理、技术7科中任选3科参加高考，现有甲、乙两名学生先从物理、历史2科中任选1科，再从化学、生物、政治、地理、技术5科中任选2科，则甲、乙两人恰有1门学科相同的选法有 种．15.已知点O（0，0），A（1，2），B（m，0）（m＞0），则cos＜，＞＝ ，若B是以OA为边的矩形的顶点，则m＝ ．16.数列{an}是首项，公差为的等差数列，其前和为Sn，存在非零实数，对任意有恒成立，则的值为__________．三、解答题（本题共5个小题,第17-21题没题12分,解答题应写出必要的文字说明或证明过程或演算步骤）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）＝c．（1）求C；（2）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18.已知数列{an}的前n项和为Sn且Sn＝2n2+n，n∈N*，数列{bn}满足an＝4log2bn+3，n∈N*．（Ⅰ）求an和bn的通项公式；（Ⅱ）求数列{an•bn}的前n项和Tn．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为棱PD的中点，（为常数，且）．\n（1）若直线BF∥平面ACE，求实数的值；（2）当时，求二面角C−AE−F的大小．20.已知椭圆C：（，）的长轴为双曲线的实轴，且椭圆C过点P（2，1）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点A，B是椭圆C上异于点P的两个不同的点，直线PA与PB的斜率均存在，分别记为，，且，当坐标原点O到直线AB的距离最大时，求直线AB的方程．21.已知函数f（x）＝•ex（a≥0）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当b∈[0，1）时，设函数g（x）＝（x＞0）有最小值h（b），求h（b）的最大值．选考题:共10分,请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2＝，曲线C2的极坐标方程为ρ＝1．若正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（1，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PC|2的取值范围．\n23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）＝|x﹣1|．（1）求不等式f（x）+f（2x）≤4的解集M；（2）记集合M中的最大元素为m，若不等式f2（mx）+f（ax）≤m在[1，+∞）上有解，求实数a的取值范围．\n2022全国甲卷高考压轴卷数学word版含解析参考答案1.【答案】C【解析】解：∵2x﹣8＜2﹣3x，∴x＜2，∴A＝（﹣∞，2），∵x2﹣4x+3＜0，∴1＜x＜3，∴B＝（1，3），∴A∪B＝（﹣∞，3）．故选：C．2.【答案】D【解析】解：由（1+i）z＝4i，得z＝＝＝2+2i，则|z|＝＝2．故选：D．3.【答案】A【解析】解：在（0，+∞）上单调递增，和在（0，+∞）上都是减函数．故选：A．4.【答案】B【解析】根据，将一个单位圆分成360个扇形，由这360个扇形的面积之和近似为单位圆的面积求解.【详解】因为，所以将一个单位圆分成360个扇形，则每一个扇形的圆心角为，所以这360个扇形的面积之和近似为单位圆的面积，即，所以，故选：B5.【答案】B\n【解析】根据三视图可得如图所示的几何体，根据椎体的体积公式以及三视图中的数据可求该几何体的体积.【详解】复原后的几何体为如图所示的三棱锥，其底面为等腰三角形，该三角形的底边长为2，高为2，棱锥的高为2，故体积为.故选：B．6.【答案】C【解析】由题意，、初始值分别为1，0．当为小于5的正整数时，用的值代替，代替，进入下一步运算．由此列出如下表格01输出值12345因此，最后输出的故选：．7.【答案】D【解析】写出大于3且不超过20的素数，分别计算出随机选取2个不同的数的所有情况和恰好是一组孪生素数的情况，再利用古典概型公式代入求解.【详解】大于3且不超过20的素数为：5，7，11，13，17，19，共6个，随机选取2个不\n同的数，共有个情况，恰好是一组孪生素数的情况为：5和7，11和13，17和19，共3个，所以概率为.故选：D8.【答案】A【解析】由，得，圆心为，半径，圆心到直线的距离，故圆上的点到直线的距离的最小值为.9.【答案】C【解析】针对部分，通项为，∴中项为，故选：C10.【答案】B【解析】解：由约束条件作出可行域如图，\n联立，解得A（），z＝的几何意义为可行域内的动点与定点P连线的斜率，由图可知，，可知z＝的最小值为．故选：B．11.【答案】A【解析】解：如图所示，设线段MF的中点为H，连接OH，设双曲线的右焦点为F，连接MF．双曲线的左焦点为F′，连接MF′，则OH∥MF′．又|OH|＝|OF|＝c＝3，|FH|＝|MF|＝（2a﹣2c）＝a﹣c＝1．设∠HFO＝α，在△OHF中，tanα＝＝，∴直线MF的斜率是﹣．故选：A．12.【答案】B分析：\n【解析】解答：当时，，∴不是函数的零点.当时，由，得，设，，则在上单调递减，且.所以时无零点当时，等价于，令，，得在上单调递减，在上单调递增，，.因为有2个零点，所以.故选：B.13.【答案】【解析】】因为，所以由为奇函数得：．故答案为：14.【答案】180【解析】】根据题意，按物理、历史2科中有或没有相同学科分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，分2种情况讨论：①物理、历史2科中有相同学科．则有C＝60种选法；②物理、历史2科中没有相同学科．则有C＝120种选法．所以甲、乙两人恰有1门学科相同的选法有60+120＝180种；故答案为：180．\n15.【答案】，5解：根据题意，点O（0，0），A（1，2），B（m，0），则＝（1，2），＝（m，0），则||＝，||＝m，•＝m，故cos＜，＞＝＝，若B是以OA为边的矩形的顶点，而与不垂直，则必有⊥，又由＝（m﹣1，﹣2），则有•＝（m﹣1）+2×（﹣2）＝0，解可得m＝5，故答案为：，5．16.【答案】1或【解析】当时，恒成立，当时：当数列的公差时，即，据此可得，则，当数列的公差时，由题意有：，，两式作差可得：，整理可得：，即：，①则，②②-①整理可得：恒成立，由于，故，据此可得：，综上可得：的值为1或.17.【答案】\n【解析】解：（1）由已知2cosC（acosB+bcosA）＝c，正弦定理得：2cosC（sinAcosB+cosAsinB）＝sinC，即2cosC•sinC＝sinC，∵0＜C＜π，sinC≠0，∴cosC＝，∴C＝．（2）由c＝，C＝，△ABC的面积为＝absin＝，∴ab＝6，又由余弦定理c2＝b2+a2﹣2abcosC，可得：7＝b2+a2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝（a+b）2﹣18，可得：（a+b）2＝25，解得：a+b＝5，∴△ABC的周长a+b+c＝5+．18.【答案】【解析】解：（Ⅰ）数列{an}的前n项和为Sn且Sn＝2n2+n，n∈N*，则：an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2），＝2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）＝4n﹣1，当n＝1时，a1＝3符合通项公式，所以：an＝4n﹣1．由于：数列{bn}满足an＝4log2bn+3，n∈N*．则：4n﹣1＝4log2bn+3，所以：，（Ⅱ）由（Ⅰ）得：设cn＝，则：Tn＝c1+c2+…+cn＝3•20+7•21+…+（4n﹣1）2n﹣1①②①﹣②得：﹣（4n﹣1）2n﹣1，\n整理得：．19.【答案】（1）（2）【解析】（1）因为底面，，平面，所以，．由题意可知，，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，，则，所以．设平面的一个法向量为．由得：不妨令，得．因为平面，所以，解得．（2）由（1）知，，，平面的一个法向量为，所以．设平面的一个法向量为．\n由得令，得，所以.所以，所以二面角的大小为．20.【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意可得解方程组可求出，从而可求出椭圆方程，（2）①当直线的斜率存在时，设其方程为，，，将直线方程代入椭圆方程中消去，利用根与系数的关系，然后由列方程可求出，则直线的方程为，从而可得其过定点，②当直线的斜率不存在时，设，则，由可求出两点的坐标，从而可求出直线过的定点，进而可求出直线方程【详解】（1）由题意，知解得，所以椭圆的标准方程为．（2）①当直线的斜率存在时，设其方程为，，．联立得．\n由韦达定理，得所以因为，所以，即，所以直线的方程为，即，由，得故直线恒过点．②当直线的斜率不存在时，设，则，所以，解得，所以此时直线也过点．因为点在椭圆的内部，所以当直线垂直于时，坐标原点到直线的距离最大，此时直线的方程为．21.【答案】【解析】解：（1）函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，+∞），且f′（x）＝ex[+]＝ex•，令x2+ax+a＝0，则△＝a2﹣4a，①当0≤a≤4时，△≤0，x2+ax+a≥0，\n即f′（x）≥0且不恒为零，故f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（﹣2，+∞），②当a＞4时，△＞0，方程x2+ax+a＝0的两根为x1＝，x2＝，由于x1﹣（﹣2）＝＜0，x2﹣（﹣2）＝＞0，（或令φ（x）＝x2+ax+a，φ（﹣2）＝4﹣a＜0）故x1＜﹣2＜x2，因此当x∈（﹣∞，x1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（x1，﹣2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（﹣2，x2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，综上，当0≤a≤4时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（﹣2，+∞）；当a＞4时，f（x）在（﹣∞，）单调递增，在（，﹣2）单调递减，在（﹣2，）单调递减，在（，+∞）单调递增．（2）由g′（x）＝＝，设k（x）＝ex+b（x＞0），由（1）知，a＝0时，f（x）＝ex在（0，+∞）单调递增，故k（x）在区间（0，+∞）单调递增，由于k（2）＝b≥0，k（0）＝﹣1+b＜0，故在（0，2]上存在唯一x0，使k（x0）＝0，﹣b＝，又当x∈（0，x0）时，k（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，k（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）单调递增，故x∈（0，+∞）时，h（b）＝g（x0）＝＝＝，\nx0∈（0，2]，又设m（x）＝，x∈（0，2]，故m′（x）＝＝＞0，所以m（x）在（0，2]上单调递增，故m（x）≤m（2）＝，即h（b）的最大值为．22.【答案】【解析】解：（1）点A的极坐标为（1，），根据转换为直角坐标为（），点B的极坐标为（1，），根据转换为直角坐标为（），点C的极坐标为（），根据转换为直角坐标为（），点D的极坐标为（1，），根据转换为直角坐标为（），（2）曲线C1的极坐标方程为ρ2＝，根据转换为直角坐标方程为，设P（2cosθ，sinθ），则|PA|2+|PC|2＝．23.【答案】\n【解析】解：（1）由题意可知，f（x）+f（2x）＝|x﹣1|+|2x﹣1|≤4，当x≥1时，原不等式可化为3x﹣2≤4，解答x≤2，所以1≤x≤2；当＜x＜1时，原不等式可化为1﹣x+2x1≤4，解得x≤4，所以＜x＜1；当x≤时，原不等式可化为1﹣x+1﹣2x≤4，解得x≥﹣，所以﹣≤x≤．综上，不等式的解集M＝{x|﹣≤x≤2}．（2）由题意，m＝2，在不等式等价为|2x﹣1|2+|ax﹣1|≤2，因为x≥1，所以|ax﹣1|≤2﹣（4x2﹣4x+1）＝﹣4x2+4x+1，所以4x2﹣4x﹣1≤ax﹣1≤﹣4x2+4x+1，要使不等式在[1，+∞）上有解，则（4x﹣4）min≤a≤，所以0≤a≤2，即实数a的取值范围是[0，2]．
