贵阳市五校2022届高三年级联合考试（六）理科数学贵州省实验中学贵阳二中贵阳八中贵阳九中贵阳民中注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，，则集合中元素的个数为()A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】先求出集合A和B，再根据集合交集运算方法计算即可.详解】由解得，即，∴，又由得，，∴.故选：B．2.若复数z满足（其中i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D\n【解析】【分析】利用复数的除法运算求复数z，进而确定z的共轭复数，即可确定复平面对应点所在象限.【详解】由，解得，则，故在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D．3.已知下列命题：①，；②“”是“”的充分不必要条件；③已知、为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题；④若、且，则、至少有一个大于．其中真命题的个数为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用配方法可判断①的正误；利用集合的包含关系可判断②的正误；利用复合命题的真假可判断③的正误；利用反证法可判断④的正误.【详解】对于①，因为，①对；对于②，因为Ý，故“”是“”的必要不充分条件，②错；对于③，“”为假命题，则、均为假命题，所以，为真命题，③对；对于④，假设且，则，与矛盾，假设不成立，④对.故选：B.4.如图某地一拱桥垂直轴截面是抛物线，已知水利人员在某个时刻测得水面宽，则此时刻拱桥的最高点到水面的距离为（）\nA.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设B点的坐标为，代入抛物线方程求解，即得解【详解】设B点的坐标为，由抛物线方程，得，则此时刻拱桥的最高点到水面的距离为1米故选：D．5.已知平面向量是非零向量，，，则向量在向量方向上的投影为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由垂直关系可构造方程求得，由投影定义可求得结果.【详解】由得：，解得：；向量在向量方向上的投影为.故选：B.6.刍甍（chúméng）是中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“刍甍者，下有褒有广，而上有褒无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍甍字面意思为茅草屋顶．”已知图中每个小正方形的边长都为，其中的粗线部分是某个刍甍的三视图，则该刍甍的表面积为（）\nA.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由三视图还原几何体，依次求解几何体各个面的面积，加和即可得到结果.【详解】根据三视图还原该几何体如图所示，则，，，为等腰三角形，由主视图可知边的高为，，由此可求得梯形的高为，，，，该几何体的表面积为.故选：D．7.已知角与角的顶点均与原点重合，始边均与轴的非负半轴重合，它们的终边关于轴对称．若，则（）A.B.C.D.\n【答案】A【解析】【分析】根据角与角的位置关系可得与的关系，进而可得解.【详解】因为与关于轴对称，，所以，，则，，（或），所以，故，故选：A．8.函数的大致图象为A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求函数定义域，解不等式，再判断当时，值的情况，这样运用排除法可以选出正确答案.\n【详解】函数的定义域为：，这样可以排除B；,这样可以排除A.当时，，可以排除D，故本题选C.【点睛】本题考查了函数图象，应用排除法是解题的关键.9.针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若有的把握认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有（）参考数据及公式如下：A.12人B.11人C.10人D.18人【答案】A【解析】【分析】设男生人数为，依题意可得列联表；根据表格中的数据，代入求观测值的公式，求出观测值同临界值进行比较，列不等式即可得出结论.【详解】设男生人数为，依题意可得列联表如下：喜欢追星不喜欢追星总计男生女生总计若在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则，\n由，解得，因为为整数，所以若在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则男生至少有人.故选：A10.如图，三棱锥的四个面都为直角三角形，平面，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，现在球O内任取一点，则该点取自三棱锥内的概率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求得三棱锥的外接球O的半径，以几何概型即可解决.【详解】三棱锥中，平面，则，直角三角形中，，则又，，则平面，则则线段中点为三棱锥外接球的球心，又由，可得，则三棱锥的外接球的半径为1故在球O内任取一点，该点取自三棱锥内的概率为\n故选：D11.在数列中，，其前项和满足，若对任意总有恒成立，则实数的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用退一相减法可得数列的通项公式及，再利用裂项相消法求得最值及的值.【详解】当时，，，两式相减，整理得①，又当时，②，①②，整理得，又因，得，从而数列为等差数列，当时，即，解得，所以公差，则，，故当时，，\n易见随的增大而增大，从而恒成立，所以，故的最小值为，故选：C．12.若不等式恒成立，则a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】把不等式转化为对x>0恒成立，设，故对任意的恒成立，利用导数可求a的取值范围.【详解】解：由不等式恒成立，可知对x>0恒成立.设，则该函数为上的增函数，故，故对任意的恒成立，设，则，当时，，故为上的增函数，而当时，有，不合题意；当时，对任意的恒成立，当时，若，则，当时，，故在为减函数，在为增函数，故，\n所以故.综上：的取值范围是.故选：B【点睛】关键点睛：解答本题的关键有两个，其一是对x>0恒成立.设，转化为对任意的恒成立；其二是说明当时，有.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，以三个正方形的边的长为等差数列的前三项，，且这三个正方形面积之和为35，则_______．【答案】9【解析】【分析】设等差数列的公差为，由题意：，解出，即可求出结果.【详解】设等差数列的公差为，因为，所以，又因为正方形面积之和为，所以，所以，故公差，所以．故答案为：9.14.展开式中的系数为_________．【答案】\n【解析】【分析】根据二项展开式的通项可得该展开式特定项的系数.【详解】展开式的通项，所以展开式的通项为，或，故其中的系数为，故答案为：.15.已知圆，直线．若，过点可作两条与圆分别相切于，且，则实数的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】根据长度和角度关系可求得，知点在圆上，由此可得其为直线与圆的交点，利用圆心到直线距离小于半径可构造不等式求得结果.【详解】由圆的方程知：圆心，半径；则在中，，，，点在圆上．，则直线与圆存在交点，\n点到直线的距离，解得：，即实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查根据直线与圆的位置关系求解参数范围的问题，解题关键是能够求得点轨迹所满足的方程，即确定为直线与圆的交点，从而利用圆心到直线距离来构造不等式求得结果.16.已知函数，，且在上单调.设函数，且的定义域为，则函数的所有零点之和等于________.【答案】12【解析】【分析】因为，值域为，又，所以可确定，，从而求出和的值；求的零点，即求，画出的图像，确定解的个数，通过对称性可得到的值，代入即可求出零点的和.【详解】解：，则，，所以，，则在上单调递减，且，，所以，代入，可得，又，所以，即.令，画出的图像如图：\n当时，，，即，在上共有六个根，即，则.故答案为：12【点睛】思路点睛：（1）确定和的值，一般由周期求，由特殊值确定；（2）三角函数中求零点的和，经常利用整体的对称性，求出整体的关系，再代入计算.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在中，角的对边分别为，且．（1）求角C的大小；（2）若，求的周长的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理对已知式化为角的关系，再利用三角函数恒等变换公式化简变形可求出角C的大小；（2）由余弦定理结合基本不等式可求得，再由和可求出的周长的取值范围.\n【小问1详解】由正弦定理及，得，∵sinA≠0，∴，∴，∴．又，【小问2详解】由，及余弦定理，得，当且仅当时取等号，∴，当且仅当时取等号，又，，故三角形ABC的周长的取值范围为．18.第24届冬季奥运会于2022年2月在北京和张家口成功举办，为全世界提供了一场声势浩大的体育盛宴，北京成为全球首个“双奥之城”．北京冬奥会的成功举办充分展现了我国的风采，让各国人民感受到中国文化的博大精深和源远流长．让世界看到中国的变化，中国人民正在用自身的力量充分阐释着奥林匹克所倡导的更快、更高、更强、更团结精神．北京冬奥会期间，我国健儿顽强拼搏，取得了9枚金牌、4枚银牌、2枚铜牌的优异成绩．为了调查北京市民对北京冬奥会举办的满意程度，现对居民按年龄(单位：岁)进行调查，从某小区年龄在内的居民中随机抽取100人，将获得的数据按照年龄区间，，，分成5组，同时对这100人的满意程度进行统计得到频率分布表．经统计在这100人中，共有78人对北京冬奥会的成功举办感到非常满意．\n分组非常满意人数占本组的比例200.880.8ab160.8140.7（1）求a和b的值：（2）在这100人中，按分层抽样的方法从年龄在区间内的居民中抽取9人进行访谈，再从这9人中抽取3人参加电视台的座谈，记录抽取参加座谈的3人中年龄在的人数为X，求X的分布列和数学期望．【答案】（1），（2）分布列见解析，【解析】【分析】(1)根据78人对北京冬奥会的成功举办感到非常满意即可求出a，再根据总人数是100和表中“占本组的比例”即可求b；(2)根据满意人数的占比求出两组的人数，再确定抽样人数，判断X的可能取值，根据古典概型概率计算方法即可求分布列和期望.【小问1详解】∵100位居民中，共有78位居民非常满意，∴，解得，又，解得．【小问2详解】由(1)可知，年龄在[35，45)的居民共有25人，年龄在[45，55)的居民共有20\n人，按分层抽样抽取9人，则共有5人年龄在[35，45)内，4人年龄在[45，55)内．由题可知X所有可能的取值分别为．，，，，则X的分布列为：X0123P∴．19.如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，，，点分别是的中点．（1）记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）直线平面，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由三角形中位线性质和线面平行判定定理可证得平面，利用线面平行性质可证得，进而证得平面；（2）方法一：过点作，以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果；方法二：连接交于，以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.\n【小问1详解】直线平面．证明如下：分别是的中点，，又平面，平面，平面，平面平面，平面，，又平面，平面，平面.【小问2详解】方法一：在平面内，过点作，则以为坐标原点可建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，令，解得：，，；同理可求得：平面的一个法向量为，，，即二面角的正弦值为.方法二：连接交于，连接，则，平面，\n则以为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，令，解得：，，；同理可求得：平面的一个法向量为，，，即二面角的正弦值为．20.已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，过作直线与直线垂直且与直线交于．（1）当直线与轴垂直时，求内切圆半径；（2）分别记的斜率为，证明：成等差数列．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆定义可得的周长，结合面积可求得内切圆半径；（2）设直线，可求得，由\n与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，利用两点连线斜率公式和韦达定理化简可整理得到，又，可知，由此可得结论.【小问1详解】由椭圆方程得：，，，当直线与轴垂直时，的周长为，又，，的内切圆半径【小问2详解】设，（不妨令在轴上方），直线，则，由得：，；由消去得：，则，，，，将韦达定理代入整理得：，又，，的斜率成等差数列.\n【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用问题，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出所求量，结合韦达定理整理化简可得结果.21.已知函数（a为常数）．（1）若函数在定义域上单调递增，求a的取值范围；（2）若存在两个极值点，且，求的取值范围．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）求出在上恒成立，分离参数即可求出a的取值范围.（2）求导得到韦达定理，再化简，令，则，设，利用导数求出该函数的值域即可.【小问1详解】，，是定义域上的单调递增函数，在定义域上恒成立，即在上恒成立．即，令，则，当且仅当等号成立．实数的取值范围为，．【小问2详解】由（1）知，根据题意由有两个极值点，即方程有两个正根，．\n所以，，不妨设，则在，上是减函数，，，令，则，又，即，解得，．设，则，在，上单调递增，，，，即，所以的取值范围为请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-4：坐标系与参数方程】22.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的参数方程为(t为参数)，直线的极坐标方程为．\n（1）已知点在曲线C上，求a值；（2）设点P为曲线C上一点，求点P到直线距离的最小值．【答案】（1）9；（2）﹒【解析】【分析】(1)将M点横坐标代入曲线C的参数方程求出t，再求出y即可求出a；(2)将直线l极坐标方程化为直角坐标方程，设，利用点到直线距离公式表示出点P到直线距离，根据函数最值即可求解.【小问1详解】点M在曲线C上，，．【小问2详解】直线l的极坐标方程为，直线l的直角坐标方程为：．点P在曲线C上，设，则点P到直线l的距离为，当时，.【选修4-5：不等式选讲】23.已知实数，，满足．（1）若，求证：；（2）若，，求的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据不等性质变形证明不等式；\n（2）由已知得，且，利用基本不等式可求的最值，进而得解.【小问1详解】证明：由，且，得，，故，所以，所以，即；【小问2详解】解：由且，得，且，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．
