衡水中学2021-2022学年度下学期高三年级素养提升模拟一数学试卷本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共分,考试时间分钟.第I卷(选择题共分)一、选择题(本题共小题,每小题分,共分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知是全集的两个非空子集,若,则下列说法可能正确的是（）A.B.C.D.2.已知,则下列结论一定正确的是A.B.C.D.3.某校有名大学生打算前往观看冰球、速滑、花滑三场比赛,每场比赛至少有名学生且至多名学生前往,则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有A.B.C.D.\n4.17世纪,在研究天文学的过程中,为了简化大数运算,苏格兰数学家纳皮尔发明了对数,对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法,数学家拉普拉斯称赞为“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知,设,则所在的区间为A.B.C.D.5.若,则的值为A.或B.或C.或D.或6.已知椭圆的左焦点为,右顶点为,上顶点为,过点与轴垂直的直线与直线交于点,若线段的中点在椭圆上,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.7.已知是表面积为的球的球面上的三个点,且,则三棱锥的体积为A.B.C.D.8.已知实数a，b∈(1,+∞),且2为自然对数的底数,则\nA.B.C.D.二、选择题(本题共小题,每小题分,共分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得分,部分选对的得分,有选错的得分)9.如图,在直三棱柱中,分别为的中点,过点作三棱柱的截面,则下列结论中正确的是A.三棱柱外接球的表面积为B.C.若交于,则D.将三棱柱分成体积较大部分和体积较小部分的体积比为10.已知是虚数单位,若,则\nA.B.C.复数对应的点在第二象限D.11.已知直线与曲线相交于两点,与曲线相交于两点,的横坐标分别为,则A.B.C.D.12.在数列中,对于任意的都有,且,则下列结论正确的是()A.对于任意的,都有B.对于任意的,数列不可能为常数列C.若,则数列为递增数列D.若,则当时,第II卷(非选择题共分)三、填空题(本题共小题,每小题分,共分)\n13.已知为偶函数,且当时,,则在处的切线方程为.14.已知向量为坐标原点,在轴上找一个点,使得取最小值,则点的坐标是.15.已知函数,当实数的取值范围为时，的零点最多.16.为检测出新冠肺炎的感染者,医学上可采用“二分检测法”.假设待检测的总人数是),将个人的样本混合在一起做第轮检测(检测一次),如果检测结果为阴性,可确定这批人未感染;如果检测结果为阳性,可确定其中有感染者,则将这批人平均分为两组,每组人的样本混合在一起做第轮检测,每组检测次,如此类推.每轮检测后,排除结果为阴性的那组人,而将每轮检测后结果为阳性的组再平均分成两组,做下一轮检测,直到检测\n出所有感染者(感染者必须通过检测来确定).若待检测的总人数为,采用“二分检测法”检测,经过轮共次检测后确定了所有感染者,则感染者人数的所有可能值为人.若待检测的总人数为，且假设其中有2名感染者，采用“二分检测法”所需检测总次数记为,则的最大值为.四、解答题(本题共小题,共分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)锐角三角形中,角所对的边分别为,且.(1)求角的值;(2)若为的中点,求中线的范围.18.(12分)在①,②为等比数列,且这两组条件中任选一组,补充在下面横线处,并解答下列问题.\n已知数列,数列的前项和是,.(1)求数列的通项公式;(2)若数列的前项和为,证明:对任意均有恒成立.19.(12分)如图所示,四棱锥中,底面为矩形,与交于点,点在线段上,且平面,二面角均为直二面角.(1)求证:;(2)若,且钝二面角的余弦值为,求的值.\n20.(12分)年月日第届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行.为做好本次考试的评价工作,将本次成绩转化为百分制,现从中随机抽取了名学生的成绩,经统计,这批学生的成绩全部介于至之间,将数据按照,分成组,制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中的值,并估计这名学生成绩的中位数;(2)在这名学生中用分层抽样的方法从成绩在的三组中抽取了人,再从这人中随机抽取人,记为人中成绩在的人数,求的分布列和数学期望;(3)转化为百分制后,规定成绩在的为等级,成绩在的为等级,其他为等级,以样本估计总体,用频率代替概率,从所有参加生物学竞赛的同学中随机抽取\n人,其中获得等级的人数设为,记等级的人数为的概率为,写出的表达式,并求出当为何值时,最大?21.(12分)在平面直角坐标系中,双曲线的离心率为,实轴长为.(1)求的方程;(2)如图,为双曲线的下顶点,直线过点且垂直于轴(位于原点与上顶点之间),过的直线交于两点,直线分别与直线交于两点,若,四点共圆,求点的坐标.\n22.(12分)已知函数.(1)证明:当时,;(2)记函数,判断在区间上零点的个数.\n\n\n
