2022年5月济南市高考模拟考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（）A．B．C．D．2．复数（其中i为虚数单位）的共轭复数为（）A．B．C．1D．33．已知单位向量，，，满足，则向量和的夹角为（）A．B．C．D．4．“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．“回文联”是对联中的一种，既可顺读，也可倒读．比如，一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联：雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天．由此定义“回文数”，n为自然数，且n的各位数字反向排列所得自然数与n相等，这样的n称为“回文数”，如：1221，2413142．则所有5位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有（）A．648个B．720个C．810个D．891个6．已知圆，若圆M与x轴交于A，B两点，且，则（）A．B．2C．D．17．如图1，洛书是一种关于天地空间变化脉络的图案，2014年正式入选国家级非物质文化遗产名录，其数字结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，形成图2中的九宫格，将自然数1，2，3，…，放置在n行n列的正方形图表中，使其每行、每列、每条对角线上的数字之和（简称“幻和”）均相等，具有这种性质的图表称为“n阶幻方”．洛书就是一个3阶幻方，其“幻和”为15．则7阶幻方的“幻和”为（）\nA．91B．169C．175D．1808．已知函数在上有4个零点，则实数a的最大值为（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．进入21世纪以来，全球二氧化碳排放量增长迅速，自2000年至今，全球二氧化碳排放量增加了约40%，我国作为发展中国家，经济发展仍需要大量的煤碳能源消耗．下图是2016—2020年中国二氧化碳排放量的统计图表（以2016年为第1年）．利用图表中数据计算可得，采用某非线性回归模型拟合时，；采用一元线性回归模型拟合时，线性回归方程为，．则下列说法正确的是（）A．由图表可知，二氧化碳排放量y与时间x正相关B．由决定系数可以看出，线性回归模型的拟合程度更好C．利用线性回归方程计算2019年所对应的样本点的残差为-0.30D．利用线性回归方程预计2025年中国二氧化碳排放量为107.24亿吨10．将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（）\nA．的最小正周期为B．图象的一个对称中心为C．的单调递减区间为D．的图象与函数的图象重合11．已知函数，．若实数a，b（a，b均大于1）满足，则下列说法正确的是（）A．函数在R上单调递增B．函数的图象关于中心对称C．D．12．如图，已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为，则下列说法正确的是（）A．B．C．点Q移动4次后恰好位于点的概率为0D．点Q移动10次后恰好回到点A的概率为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．\n13．已知正实数a，b满足，则的最小值为______．14．已知抛物线，若过点的直线l与抛物线恒有公共点，则p的值可以是______．（写出一个符合题意的答案即可）15．2022年3月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于构建更高水平的全民健身公共服务体系的意见》，再次强调持续推进体育公园建设．如图，某市拟建造一个扇形体育公园，其中，千米．现需要在，OB，上分别取一点D，E，F，建造三条分健走长廊DE，DF，EF，若，，则的最大值为______千米．16．在四面体ABCD中，已知，，记四面体ABCD外接球的球心到平面ABC的距离为，四面体内切球的球心到点A的距离为，则的值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．（1）求的值；（2）若△ABC的面积为，求的值．18．（12分）已知数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前n项和为，求证：．\n19．（12分）如图1，正方形ABCD中，E，F分别为边BC，AD的中点，将四边形EFDC沿直线EF折起，使得平面平面ABEF．如图2，点M，N分别满足，．（1）求证：平面BMN；（2）求平面AFM与平面BMN夹角的余弦值．20．（12分）数据显示，中国直播购物规模近几年保持高速增长态势，而直播购物中的商品质量问题逐渐成为人们关注的重点．已知某顾客在直播电商处购买了件商品．（1）若，且买到的商品中恰好有2件不合格品，该顾客等可能地依次对商品进行检查．求顾客检查的前4件商品中不合格品件数X的分布列．（2）抽检中发现直播电商产品不合格率为0.2．若顾客购买的n件商品中，至少有两件合格产品的概率不小于0.9984，求n的最小值．21．（12分）已知椭圆的离心率为，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）A，B为椭圆C上两点，直线PA与PB的倾斜角互补，求△PAB面积的最大值．22．（12分）已知函数，其中，．（1）当时，若存在大于零的极值点，求b的取值范围．（2）若存在，（其中，使得曲线在点与点处有相同的切线，求a的取值范围．2022年5月高三模拟考试\n数学试题参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案DBACDBCC二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．题号9101112答案ABDABCADACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．3；14．（不小于2的实数均正确）；15．；16．．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17【解析】（1）因为，由正弦定理得：，因为，所以，又因为，，所以．（2）由（1）及余弦定理知，整理得：①由面积公式：，整理得：②，①②相加得：，所以．18．【解析】（1）因为，所以；又因为，则，所以是首项为1公差为1的等差数列，所以，则．\n（2）因为，所以．得证．19．【解析】（1）连结AE交BN于点G，连结MG，设，因为平面平面ABEF，平面平面，平面CDFE，，所以平面ABEF，因为点N是EF的中点，，所以，又因为，所以，所以平面ABEF，因为平面ABEF，所以，又，，所以，因为，NB，平面BMN，所以平面BMN．（2）如图，分别以FA，FE，FD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，所以，，，所以，，设平面AFM的法向量为，由，解得，令，得，由（1）知平面BMN的法向量为，设平面AFM与平面BMN的夹角为，所以，\n所以平面AFM与平面BMN夹角的余弦值为．20．【解析】（1）由题意可知，X的取值为0，1，2．，，．所以顾客检查的前4件商品中不合格品件数X的分布列为X015P（2）记“顾客购买的n件商品中，至少有两件合格产品”为事件A，则，由题意可知，所以，即，设，则，所以，因为，，所以当时，成立，所以n的最小值为6．21．【解析】\n（1）由题意得：，解得：，，所以．（2）由题意可知直线AB的斜率一定存在，设直线AB的方程为，，，将代入得：，所以，，因为直线PA和直线PB的倾斜角互补，所以，化简可得：，即，因为直线AB不过点P，所以，所以，，则，又点P到直线AB的距离为，因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以△PAB面积最大值为．22．【解析】（1）由题意知，．\n①若，当时，，单调递增，无极值点；②若，当时，，单调递减；当时，，单调递增；在上存在唯一的极小值点，故b的取值范围是．（2）由题意，在点处的切线方程为，即，同理在点处的切线方程为，因为两切线相同，所以，化简得，令，，当时，，单调递增；当时，，单调递减．注意到为偶函数，且，，故，令，注意到的奇函数，所以当时，，又因为，故，因为，，所以，当时，单调递减，，\n当时，单调递减，．故，所以．
