2021-2022学年第二学期期中考试高二数学试卷（文科）一、选择题1.已知集合，，则为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析】解不等式求得集合，由此求得.【详解】.所以，由于，所以．故选：B2.若（是虚数单位），则的共轭复数为A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由复数除法法则计算出，再由共轭复数概念写出共轭复数．【详解】，∴．故选：C．【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题．3.我国古代数学名著《数书九章》是南宋数学家秦九韶所著数学著作，书中共列算题81问，分为9类.全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类.题文也不只谈数学，还涉及自然现象和社会生活，成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献.《数书九章》中有“米谷粒分”一题，现有类似的题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1634石，验得米夹谷，抽样取米一把，\n数得254粒夹谷25粒，则这批米内夹谷约为（）A.158石B.159石C.160石D.161石【答案】D【解析】【分析】利用抽取的米夹谷的频率估计总体的频率计算.【详解】由题意可知这批米内夹谷约为(石).故选：D.【点睛】本题考查简单随机抽样，用样本频率估计总体，属于基础题.4.设是两定点，，动点P满足，则动点P的轨迹是（）A.双曲线B.直线C.线段D.射线【答案】D【解析】【分析】由条件可得，即可得答案．【详解】因为，所以动点M的轨迹是射线．故选：D5.在等比数列中，已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】结合等比数列的通项公式、充分、必要条件的知识确定正确选项.详解】依题意，；且；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A\n6.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由对数函数、三角函数、指数函数的性质可比较出大小.【详解】因为，，，所以.故选：D7.已知，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先利用两角和差的余弦公式化简得到，两边同时平方再结合平方关系以及二倍角公式即可求出结果.【详解】由得，化简得，所以，故，.故选：B.8.直线平分圆的周长，过点作圆C的一条切线，切点为Q，则（）A.5B.4C.3D.2【答案】B【解析】\n【分析】由条件求出参数，再根据切线的性质.【详解】圆的圆心为，半径为，因为直线平分圆的周长，所以直线经过，所以，故，由已知，，，圆的半径为3，所以，故选：B.9.设x，y满足约束条件，则z=2x+y的范围是（）A.[3，6]B.[2，3]C.[-6，3]D.[-6，6]【答案】D【解析】【分析】画出x，y满足的约束条件表示的可行域，再利用几何意义求出2x+y的最大值和最小值即得.【详解】约束条件表示的可行域，如图中阴影△ABC：\n目标函数z=2x+y，即y=-2x+z表示斜率为-2，纵截距为z的平行直线系，作出直线l0：2x+y=0，平移直线l0使其过点C时的直线纵截距最小，z最小；平移直线l0使其过点A时的直线纵截距最大，z最大，由得点C(-2，-2)，；由得点A(4，-2)，，所以z=2x+y的范围是：[-6，6].故选：D10.如图，在直三棱柱中，D为的中点，，则异面直线与所成的角为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】取中点E，连接，易得（或其补角）为异面直线与所成的角，进而求其大小即可.\n【详解】如图，取的中点E，连接，则，则（或其补角）即为异面直线与所成的角.由条件知：，则，故选：C.11.已知是双曲线的上、下焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点M，则下列说法不正确的是（）A.双曲线C的渐近线方程为B.点M的横坐标为C.的面积为D.以为直径的圆的方程为【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的标准方程求出渐近线方程，以为直径的圆的方程，点坐标，的面积然后判断各选项．【详解】由双曲线方程知，焦点在轴，渐近线方程为，A正确；，以为直径的圆的方程是，D错；由得或，由对称性知点横坐标是，B正确；\n，C正确．故选：D．12.若函数在区间上有2个零点，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意即方程在区间上有2个实数根，设分析出其单调性和奇偶性，从而得出，即由函数的单调性可得答案.【详解】函数在区间上有2个零点即方程在区间上有2个实数根设，则为偶函数.且当时，，当时，在上单调递增，且所以在上单调递减，则在上单调递增，又时，；时，，则的大致图像如图.\n所以方程在区间上有2个实数根满足则，设，则在上恒成立所以故选：A二、填空题13.下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染.由图判断从___________日开始连续三天的空气质量指数方差最大.【答案】5【解析】【分析】结合方差越大，说明数据的波动性越大，然后根据图表即可判断.【详解】因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图可知从5日开始连续5，6，7三天的空气质量指数方差最大，故答案为：514.已知向量与的夹角为，，，则_______．【答案】【解析】【分析】根据向量数量积的运算律和定义可直接构造方程求得结果.\n【详解】，.故答案为：.15.词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术・商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术・商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC，其中平面，，，则四面体PABC的外接球的表面积为______．【答案】【解析】【分析】确定外接球球心求得球半径后可得表面积．【详解】由于平面，因此与底面上的直线都垂直，从而与不可能垂直，否则是锐角三角形，由于，因此有，而与是平面内两相交直线，则平面，平面，所以，所以的中点到四个点的距离相等，即为四面体PABC的外接球球心．，，所以所求表面积为．故答案为：．\n16.已知为等差数列的前n项和，，，设，且数列的前n项和为，则使恒成立的实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】先求得数列的通项公式，由此求得，利用错位相减求和法求得，由分离常数，从而求得的取值范围.【详解】设的公差为d，由，得，解得，故数列的通项公式为，所以．则①，②，由①－②得，所以．因为等价于恒成立，\n而，所以．故答案为：三、解答题17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理将角化边，再利用余弦定理计算可得；（2）首先求出，再利用正弦定理求出，再由两角和的正弦公式求出，最后由面积公式计算可得；【小问1详解】解：因为，由余弦定理可得，即，所以．因为，所以．【小问2详解】解：由于，所以，\n由正弦定理，即，解得，又，所以的面积为．18.为调查电影《长津湖》在国庆假期的上映满意度，抽取了男女各25人对这部电影的满意度进行调查，统计数据如表所示．满意非常满意合度男18725女61925合计242650（1）如果随机抽查1人，那么抽到满意的概率是多少？抽到非常满意的女性的概率是多少？（2）能否有99.9%的把握认为性别和满意度有关？0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附：．【答案】（1）抽到满意的概率是，抽到非常满意的女性的概率是（2）有99.9%的把握认为性别和满意度有关【解析】【分析】（1）对电影满意的人数有24人，非常满意的女性有19人，则随机抽查1人，即可得出抽到满意的概率和抽到非常满意的女性的概率.（2）由列联表数据算出，与10.828比较即可得出结论.\n小问1详解】随机抽查1人，抽到满意的概率是，抽到非常满意的女性的概率是；【小问2详解】根据列联表，可得，故有99.9%的把握认为性别和满意度有关．19.如图，在三棱锥中，，，，平面.（1）求证：平面平面；（2）若，是的中点，求与平面所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】(1)在中，利用余弦定理可得，再利用勾股定理可得，由平面，可得，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证；(2)取中点，连接，，根据面面垂直的性质定理可得平面，从而可得即为直线与平面所成的角，在中，由即可求解.【详解】解：(1)证明：在中，，，，由余弦定理，得，所以，从而，由勾股定理得，.\n又因为平面，平面，所以，由于平面，平面，，所以平面，又因为平面，所以平面平面.(2)取中点，连接，，因为，所以，又因为平面平面，平面平面，所以平面，故即为直线与平面所成的角，因为，，所以，，所以，则，所以与平面所成角的正切值为.20.已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且满足．（1）求抛物线的方程；（2）已知斜率为2的直线与抛物线交于，两点，若，，成等差数列，求该数列的公差．【答案】（1）；（2）．【解析】\n【分析】（1）由向量的坐标表示，列方程求抛物线参数p，写出抛物线方程.（2）设直线，，，联立抛物线方程，应用韦达定理求，，根据等差中项的性质，结合抛物线的定义求参数m，进而由即可求出公差.【详解】（1）由题设知：，设点，由，即，∴，，代入，得，又，∴，则抛物线的方程为．（2）设直线，则，消去得：，满足，即，设点，，则，，若，，成等差数列，则，即，即，即．∴此时直线与抛物线联立方程为，即，，又∵公差满足，而，∴，即．【点睛】关键点点睛：（1）由向量的坐标表示求抛物线参数，写出抛物线方程.（2）联立直线与抛物线方程，应用韦达定理、等差中项的性质及抛物线的定义求数列公差即可.21.已知函数，且函数在处的切线为．\n（1）求a，b的值并分析函数单调性；（2）若函数恰有两个零点，求实数m的取值范围．【答案】（1）；函数在上单调递减，在上单调递增（2）【解析】【分析】（1）由得，根据函数在处的切线为，由和切点在切线上求解；分别由和求其单调性.（2）由（1）知，和函数的单调性，根据函数恰有两个零点，由零点存在性定理求解.【小问1详解】解：由得，由题意知，即，解得，又，而切点在切线上，所以，解得，则，令，得，令，得，故函数在上单调递减，在上单调递增；【小问2详解】由（1）知，且函数在上递减，在上单调递增，而因为函数恰有两个零点，所以函数在区间各有一个零点，\n由零点存在性定理得，即，解得；∴．四、请考生在两题中任选一题作答，如果多作按所作第一题计分22.在直角坐标系中，圆的参数方程为：（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角函数的平方关系式曲线参数得到圆的普通方程，通过，求出圆的极坐标方程．（2）设，，则有，解得极径与极角，设，，则有，解得极径与极角，然后求解线段的长．【详解】解：（1）因为圆的参数方程为：（为参数），所以圆的普通方程为，又，，则．所以圆的极坐标方程为；\n（2）设，，则有，解得，设，，则有，解得，所以.23.设函数．（1）求的解集；（2）若不等式对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）化简函数的解析式为分段函数，由，分类讨论，即可求解；（2）由（1）知最小值为，根据不等式对任意实数x恒成立，得到，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，因为，所以或或，解得或或，所以的解集为．\n（2）由（1）可得当时，函数的最小值为，因为不等式对任意实数x恒成立，所以，即，所以，故实数的取值范围是.
