海淀区2021-2022学年第二学期期末练习高三数学2022.05本试卷共7页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合或，则（A）（B）（C）（D）（2）在的展开式中，的系数为（A）（B）（C）（D）（3）已知双曲线的渐近线经过点，则双曲线的离心率为（A）（B）（C）2（D）（4）已知，且，则（A）（B）（C）（D）（5）若是奇函数，则（A）（B）（C）（D）（6）已知为抛物线的焦点，点（）在抛物线上.若，则（A）是等差数列（B）是等比数列（C）是等差数列（D）是等比数列（7）已知向量，.若，则可能是（A）（B）（C）（D）（8）设函数的定义域为，则“是上的增函数”是“任意，\n无零点”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）从物理学知识可知，图中弹簧振子中的小球相对平衡位置的位移与时间（单位：s）的关系符合函数().从某一时刻开始，用相机的连拍功能给弹簧振子连拍了20张照片.已知连拍的间隔为0.01s，将照片按拍照的时间先后顺序编号，发现仅有第5张、第13张、第17张照片与第1张照片是完全一样的，请写出小球正好处于平衡位置的所有照片的编号为（A）9，15（B）6，18（C）4，11，18（D）6，12，18（10）在正方体中，为棱上的动点，为线段的中点.给出下列四个结论：①；②直线与平面的夹角不变；③点到直线的距离不变；④点到四点的距离相等.其中，所有正确结论的序号为（A）②③（B）③④（C）①③④（D）①②④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）已知均为实数．若，则_____.（12）不等式的解集为_____.（13）已知圆，则圆的半径为____；若直线被圆截得的弦长为1，则_____.（14）已知的图象向右平移个单位后得到的图象.则函数\n的最大值为_____；若值域为，则的最小值为_____.（15）在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列，分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数列模型：，描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足，则在该模型中，关于两组信息，给出如下结论：①，；②，；③，使得当时，总有；④，使得当时，总有.其中，所有正确结论的序号是_______.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（16）（本小题共14分）如图，已知四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，，点E是PC的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求到平面的距离.（17）（本小题共13分）在中，．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使存在.求的面积.\n条件①：；条件②：.（18）（本小题共14分）PMI值是国际上通行的宏观经济监测指标之一，能够反映经济的变化趋势.下图是国家统计局发布的某年12个月的制造业和非制造业PMI值趋势图.将每连续3个月的PMI值做为一个观测组，对国家经济活动进行监测和预测.（Ⅰ）现从制造业的10个观测组中任取一组，（ⅰ）求组内三个PMI值至少有一个低于50.0的概率；（ⅱ）若当月的PMI值大于上一个月的PMI值，则称该月的经济向好.设表示抽取的观测组中经济向好的月份的个数（由已有数据知1月份的PMI值低于去年12月份的PMI值），求的分布列与数学期望；（Ⅱ）用表示第月非制造业所对应的PMI值，表示非制造业12个月PMI值的平均数，请直接写出取得最大值所对应的月份.\n（19）（本小题共14分）椭圆的左顶点为，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知经过点的直线交椭圆于两点，是直线上一点.若四边形为平行四边形，求直线的方程.（20）（本小题共15分）已知函数.（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间；（Ⅲ）当时，恒成立，求的取值范围.（21）（本小题共15分）已知有限数列共项，其任意连续三项均为某等腰三角形的三边长，且这些等腰三角形两两均不全等．将数列的各项和记为．\n（Ⅰ）若，直接写出，的值．（Ⅱ）若，求的最大值．（Ⅲ）若，，求的最小值．\n海淀区2021~2022学年第二学期期末练习高三数学参考答案2022.05一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）答案DCDBCACADC二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。题号（11）（12）（13）（14）（15）答案01；①②③说明：13题、14题两空前3后2；15题全选对5分，漏选1个3分，漏选2个2分，不选0分。12题写也可以。三、解答题共6小题，共85分。（16）（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为菱形中，∥，又因为平面，平面，所以∥平面.（Ⅱ）连接，因为，，所以三角形为等边三角形.取中点，连接，则，又因为∥，所以.因为平面，平面，平面，所以.如图建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则\n，即.令，则，，于是.则到平面的距离为.（17）（本小题13分）解：（Ⅰ）由正弦定理及，得.因为，所以.又因为，所以.（Ⅱ）法1：选条件②：.由可知,所以.所以由可得.所以，即由余弦定理及，得，所以，所以（舍去），所以的面积为.法2：选条件②：.由可知,所以.所以由可得.所以，\n所以，因为，所以，所以，所以，由正弦定理可得，所以的面积为.（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）（i）设事件A为组内三个PMI值至少有一个低于50.0，则事件A包含的结果有，共4个，则.（ii）的取值范围是,,的分布列为012所以随机变量的数学期望.（Ⅱ）8月份.（19）（本小题14分）解：（Ⅰ）由题意得解得.所以椭圆的方程为.（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，四边形ABCD不可能为平行四边形\n当直线l的斜率存在时，设，由得..设，则.所以.由四边形ABCD为平行四边形可得，所以，即，解得，所以或.所以，直线l的方程为或或-（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）当时，，.所以，.所以曲线在点处的切线方程为：，即.（Ⅱ）的定义域为，当时，，令，得或.与的情况如下：\n00↘↗↗↘所以的单调增区间为，，单调减区间为，.（Ⅲ）法1：“”是“时，恒成立”的必要条件.当，时，.设，由（Ⅱ）知，在上满足，所以，当，时，，所以的取值范围是.法2：因为时，恒成立，所以.令.所以，分析解析式发现.令，所以.所以单调递增.与的情况如下：0↘↗所以,\n所以的取值范围是.法3：，①当时，因为，所以取，得，不合题意；②当时，，显然存在唯一负实数根，且在上，在上，所以在上递减，在上递增，所以，由得，所以，满足成立即可满足题意，设，则，所以在时单调递减，又，所以，设，则在时成立所以在单调递增，所以时恒成立.（21）（本小题15分）解：（Ⅰ），．（Ⅱ）的最大值为．①构造数列：1，2，2，2，3，3，3，1，此时．\n②当存在连续三项为1，1，1时，本题中有两条边为1，1的等腰三角形仅有1，1，1，与矛盾，舍．③当不存在连续三项为1，1，1时，连续三项（不考虑这三项的顺序）共以下6种可能：1，2，2；1，3，3；2，2，2；2，2，3；2，3，3；3，3，3．所以．④由①②③，的最大值为．（Ⅲ）的最小值为．①构造数列：1，2，2，2，3，3，3，4，4，4，5，5，5，3，3，1，此时．②设为数列的每一组连续三项的和的和，则．③连续三项（不考虑这三项的顺序）及这三项的和（标注在下面的括号内）有以下可能：2，2，1（5）；2，2，2（6）；2，2，3（7）；3，3，1（7）；3，3，2（8）；……；3，3，5（11）；4，4，1（9）；4，4，2（10）；4，4，3（11）；……；4，4，7（15）；5，5，1（11）；5，5，2（12）；5，5，3（13）；……；5，5，9（19）；6，6，1（13）；6，6，2（14）；6，6，3（15）；……；6，6，11（23）；……其中画横线的连续三项必为数列的首三项或尾三项，故其对应的三角形至多出现两个．④由③，，，又由②，，所以．⑤由①④，的最小值为．
