商开大联考2021—2022学年下学期期中考试高一数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章～第八章第3节.一、选择题：本题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复平面内的点M（1，2）对应的复数为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数在复平面对应点的特征进行判断即可.【详解】点M（1，2）对应的复数为．故选：B2.在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则（）A.与共线B.与共线C.与相等D.与相等【答案】B\n【解析】【分析】根据向量共线概念即可求解结果．【详解】因为与不平行，所以与不共线，A错因为D，E分别是AB，AC的中点，则与平行，故与共线，B正确；因为与不平行，所以与不相等，C错；因为，则D错．故选：B3.在中，，，则外接圆的半径为（）A.1B.C.2D.3【答案】A【解析】【分析】直接使用正弦定理进行求解即可.【详解】设R为外接圆的半径，故，解得．故选：A．4.设，是两个不共线向量，若向量与向量共线，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据向量与向量共线，由求解.【详解】因为，是两个不共线的向量，且向量与向量共线，所以，即，所以，解得，\n故选：D5.下列说法错误的是（）A.球体是旋转体B.圆柱的母线平行于轴C.斜棱柱侧面中没有矩形D.用平行于正棱锥底面的平面截正棱锥所得的棱台叫做正棱台【答案】C【解析】【分析】利用球体的定义判断A；利用圆柱的结构特征判断B；举例说明判断C；利用正棱台的定义判断D作答.【详解】因球体是半圆面绕其直径所在的直线旋转一周所得几何体，即球体是旋转体，A正确；由圆柱结构特征知，圆柱的母线平行于轴，B正确；如图，斜平行六面体中，若平面，则侧面四边形是矩形，C不正确；由正棱台的定义知，D正确.故选：C6.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则必为（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形【答案】A【解析】【分析】根据余弦定理即可判断三角形形状.【详解】由余弦定理，得，因为，所以\n，所以为钝角三角形．故选：A7.在平行四边形中，E为上一点，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的基本定理，再结合向量的线性运算即可求解.【详解】由题意得，，又，所以．故选:D.8.在中，已知，，，则（）A.16B.9C.－9D.－16【答案】C【解析】【分析】由余弦定理求出，再由数量积的定义及诱导公式计算可得；【详解】解：由余弦定理，可得，所以．故选：C．9.如图，飞机飞行的航线和地面目标在同一铅直平面内，在处测得目标的俯角为，飞行10千米到达处，测得目标的俯角为，这时处与地面目标的距离为（）．\nA.5千米B.千米C.4千米D.千米【答案】B【解析】【分析】将题意转化为解三角形问题，利用正弦定理计算即可.【详解】根据题意可知，.在中，由正弦定理得,即.故选:B10.已知向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由向量垂直可求出，进而可以计算出向量在向量方向上的投影向量.【详解】依题意，，向量在向量方向上的投影向量为．故选：A11.如图，、为互相垂直的两个单位向量，则（）\nA.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】用基底表示向量、，再利用平面向量数量积的运算可求得的值.【详解】由已知可得，，则，所以，.故选：C.12.在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有2个正三角形），然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形（图中共有11个正三角形），这个过程称之为迭代．如果在边长为27的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后迭代得到如图3所示的图形（图中共有7个正三角形），则图3中最小的正三角形面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先用余弦定理得到边长之间的关系，进而可求出最小正三角形的边长，然后利用面积公式即得．【详解】设最大正三角形的边长为，则，其内部迭代出的正三角形的边长分别为\n，由余弦定理得，同理得，∴，∴最小的正三角形的面积．故选：C．二、填空题：本题共4小题.13.已知i为虚数单位，复数z满足，则z的虚部为______．【答案】1【解析】【分析】应用复数的除法求复数z即可.【详解】由题设，，故z的虚部为1．故答案为：1.14.下列四个等式：①；②；③；④．其中正确的是______．（填序号）【答案】①②③【解析】【分析】根据向量加法的运算律、相反向量的性质，结合向量加法的运算法则逐一判断即可.【详解】由向量的运算律及相反向量的性质可知①②是正确的，③符合向量的加法法则，也是正确的，对于④，向量的线性运算，结果应为向量，故④错误，故答案为：①②③15.如图，是的直观图，其中，则的面积是______．\n【答案】【解析】【分析】画出原图可得答案.【详解】由题意，得，∴，，∴的面积是．故答案为：16.已知圆内接四边形ABCD中，，，，，则______．【答案】20【解析】【分析】根据圆的有关性质可知，，由勾股定理求出，连接BD，利用余弦定理分别求出和，根据列方程，解方程即可.【详解】如图，\n在圆内接四边形中，，所以，，因为，所以，又，所以，连接BD，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，又因为，所以，则，由，解得.故答案为：.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知一圆锥的底面半径为6cm．（1）若圆锥的高为8cm，求圆锥的体积；（2）若圆锥的母线长为10cm，求圆锥的表面积．【答案】（1）（2）【解析】\n【分析】（1）根据圆锥体积公式，计算求解即可.（2）根据圆锥的表面积公式，计算求解即可.【小问1详解】据题意知，圆锥的体积．【小问2详解】圆锥的底面面积；圆锥的侧面积．故圆锥的表面积．18.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．（1）若，求B；（2）若，求b．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用余弦定理进行求解；（2）用正弦定理求出或，分两种情况进行求解，得到或.【小问1详解】由余弦定理，得，又，∴．小问2详解】由正弦定理，得，∵，\n∴或．当时，，∴；当时，，∴．综上，或．19.已知复数是关于x的方程的一个解．（1）求a的值；（2）若复数满足，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）把代入方程，然后计算即可求解.（2）根据共轭复数的定义，得到，进而可得，然后计算可求解.【小问1详解】由题意，得，即，所以，，解得．【小问2详解】由题意，得，．故．20.如图，在中，，．\n（1）当，满足什么条件时，AC与BD互相垂直？（2）与有可能相等吗？为什么？【答案】（1）（2）有可能，理由见解析【解析】【分析】（1）根据向量的加法和减法运算，用表示，进而可以得到AC与BD互相垂直时，，需要满足的条件.（2）根据向量的模长公式，即可计算求解.【小问1详解】，，若，则．所以，得．因此当时，．【小问2详解】有可能．，，若，则．故当时，．21.已知向量，．（1）若，求；\n（2）若，求实数k的值；（3）若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）且.【解析】【分析】（1）根据共线向量的坐标表示公式，结合平面向量模的坐标表示公式进行求解即可；（2）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合平面向量垂直的性质进行求解即可；（3）根据平面向量夹角和共线的性质进行求解即可.【小问1详解】因为向量，，且，所以，解得，所以；【小问2详解】由题意，得，因为，所以，解得；【小问3详解】因为与的夹角是钝角，则且与不共线．即且，所以且．22.已知中，D为BC中点，．（1）若，，求边AB的长；（2）若，求面积的最大值．【答案】（1）\n（2）【解析】【分析】（1）在中，由正弦定理得，则，利用，由余弦定理得，从而求出；（2）D为BC中点．设，，，由余弦定理得，，，再利用基本不等式求最值可得答案．【小问1详解】在中，，，由正弦定理，得，又，则，∴；由余弦定理，得，∴．【小问2详解】∵D为BC中点，∴，设，，，由余弦定理，得，则．的面积\n，∵，∴，．∴，当且仅当时取等号，此时取得最大值，即的面积取得最大值，故的面积的最大值为．
