兰州一中2021-2022-2学期期中考试试题高二数学（文科）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡。第Ⅰ卷(共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数，则z的虚部为（ ）A．B．C．D．2．若定义在区间D上的函数f（x）的导函数为增函数，则f（x）为D上的凹函数．在下列四个函数中，为（0，+∞）上的凹函数的是（ ）A．f（x）＝x3﹣x2B．f（x）＝x﹣lnxC．f（x）＝x﹣exD．3．已知函数f（x）＝x3+2x，则＝（ ）A．14B．﹣14C．﹣28D．﹣74．一组样本数据：（1，），（2，），（3，），（4，），（m，），由最小二乘法求得线性回归方程为，若＝45，则实数m的值为（ ）A．5B．6C．7D．85．如图的结构图中1，2，3三个方框中依次应填入的内容是（ ）A．复数、整数、小数B．复数、小数、整数C．复数、无理数、自然数D．复数、无理数、整数6．右图是计算函数f（x）＝\n的值的程序框图，在①、②、③处应分别填入的是（ ）A．y＝ln（﹣x），y＝2x，y＝0B．y＝ln（﹣x），y＝0，y＝2xC．y＝0，y＝2x，y＝ln（﹣x）D．y＝0，y＝ln（﹣x），y＝2x7．在同一平面直角坐标系中，将直线x﹣2y＝2按φ：变换后得到直线l，若以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程为（ ）A．4ρcosθ﹣ρsinθ＝4B．ρcosθ﹣16ρsinθ＝4C．ρcosθ﹣4ρsinθ＝4D．ρcosθ﹣8ρsinθ＝48．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面体的内切球切于四个面的什么位置？（ ）A．正三角形的顶点B．正三角形各边的中点C．正三角形的中心D．无法确定9．在极坐标系中，曲线C1：ρ＝2sinθ，曲线C2：ρ＝4cosθ，过极点的直线与曲线C1，C2分别交于异于极点的A，B两点，则|AB|的最大值为（ ）A．B．4C．2D．510．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin（θ+）关于（ ）A．直线对称B．直线对称C．点对称D．极点对称11．已知定义在[1，+∞）上的函数，若∀x≥1，f（ax）＜f（x2+9），则实数a的取值范围为（ ）A．[1，6]B．[2，9）C．（1，9]D．[1，6）12．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足，且f（4）＝ln（4e4），则不等式f（ex）＞ex+x的解集为（ ）A．（4，+∞）B．（﹣∞，2）C．（ln2，+∞）D．（ln4，+∞）第Ⅱ卷(非选择题共90分)\n二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知条件p：2k﹣1≤x≤2，q：﹣5≤x≤3，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是 ．14．已知实数x，y满足方程x2+2y2﹣2＝0，则x+y的最大值为 ．15．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平方和（yi﹣）2如表：甲乙丙丁散点图残差平方和115106124103则试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高的同学是 ．16．由样本数据（x1，y1），（x2，y2），⋯，（x7，y7）得到的回归方程为：，已知如下数据：，，，则实数的值为 ．三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.共70分)17.（本小题满分14分）求证：．18.（本小题满分14分）已知复数z＝（m+i）（2﹣i）+3+2i（m∈R）．（1）若z在复平面中所对应的点在直线2x+y＝0上，求m的值；（2）求|z+1﹣2i|的取值范围．19．（本小题满分14分）在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为：（x+1）2+（y+1）2＝2，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．\n（1）求曲线C的极坐标方程；（2）直线l1的方程是2x+y﹣7＝0，直线l2：θ＝（ρ∈R）与曲线C交于O，M两点，与直线l1交于点N，求线段MN的长．20．（本小题满分14分）已知函数，（其中a＞0，且a≠1），（1）若f（1）•g（2）+f（2）•g（1）＝g（k），求实数k的值；（2）能否从（1）的结论中获得启示，猜想出一个一般性的结论并证明你的猜想．21．（本小题满分14分）已知函数f（x）＝lnx﹣mx﹣1．（1）若∀x＞0，不等式f（x）＜0恒成立，求m的取值范围；（2）若曲线y＝f（x）存在过点（1，0）的切线，求证：m≥﹣1．兰州一中2021-2022-2学期期中考试试题高二数学（文科）答案一．选择题1B2B3C4B5D6A7A8C9C10A11D12D二．填空题\n13．[﹣2，+∞）14．15．丁16．412．【解析】定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足，且f（4）＝ln（4e4），则不等式f（ex）＞ex+x的解集为（ ）A．（4，+∞）B．（ln4，+∞）C．（ln2，+∞）D．（﹣∞，2）【解答】解：令g（x）＝f（x）﹣lnx﹣x，因为定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足xf′（x）﹣1﹣x＞0，所以g′（x）＝﹣1＝＞0，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，因为f（4）＝ln（4e4）＝4+ln4，所以g（4）＝0，则不等式f（ex）＞ex+x可转化为g（ex）+x+ex＞ex+x，即g（ex）＞0，所以ex＞4，所以x＞ln4．故选：B．三、解答题17．（本小题满分14分）求证：．【解答】证明：，即证明，左右两边同时平方，左边＝，右边＝，则左边＞右边即所以．18．（本小题满分14分）已知复数z＝（m+i）（2﹣i）+3+2i（m∈R）．（1）若z在复平面中所对应的点在直线2x+y＝0上，求m的值；（2）求|z+1﹣2i|的取值范围．【解答】（1）化简得z＝（2m+4）+（4﹣m）i，所以z在复平面中所对应的点的坐标为（2m+4，4﹣m），因为点（2m+4，4﹣m）在直线2x+y＝0上，\n所以2（2m+4）+4﹣m＝0，解得m＝﹣4．（2），因为m∈R，且，所以，所以|z+1﹣2i|的取值范围为．19．（本小题满分14分）在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为：（x+1）2+（y+1）2＝2，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）直线l1的方程是2x+y﹣7＝0，直线l2：θ＝（ρ∈R）与曲线C交于O，M两点，与直线l1交于点N，求线段MN的长．【解答】（1）∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，曲线C的方程为：（x+1）2+（y+1）2＝2，即x2+y2+2x+2y＝0，∴曲线C的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ+2ρsinθ＝0，即ρ＝﹣2sin（）．（2）∵直线l1的普通方程是2x+y﹣7＝0，∴直线l1的极坐标方程为﹣7＝0，（ρ∈R），直线l2：θ＝（ρ∈R）与曲线C交于O，M两点，设M（ρ1，θ1），由，解得，，∴M点的极坐标为M（﹣1﹣，），设N（ρ2，θ2），由，解得ρ2＝2，θ2＝，即点N的极坐标为N（2，），∴线段MN的长为|MN|＝|ρ1﹣ρ2|＝3．20．（本小题满分14分）已知函数f（x）＝，g（x）＝（其中a＞0，且a≠1），\n（1）若f（1）•g（2）+f（2）•g（1）＝g（k），求实数k的值；（2）能否从（1）的结论中获得启示，猜想出一个一般性的结论并证明你的猜想．【解答】（1）＝∵函数g（x）是单调函数∴k＝3（2）由g（3）＝g（1+2）＝f（1）•g（2）+f（2）•g（1），猜想：g（x+y）＝f（x）•g（y）+f（y）•g（x）证明：＝＝所以g（x+y）＝f（x）•g（y）+f（y）•g（x）．21．（本小题满分14分）已知函数f（x）＝lnx﹣mx﹣1．（1）若∀x＞0，不等式f（x）＜0恒成立，求m的取值范围；（2）若曲线y＝f（x）存在过点（1，0）的切线，求证：m≥﹣1．【分析】（1）对原不等式进行参变分离，得到，进而令，从而转化为求出g（x）的最大值即可；（2）设出原函数的切点（x0，lnx0﹣mx0﹣1），利用导函数找出在切点处斜率，从而找出．进而构造函数找出m范围．【解答】（1）由已知有f（x）＜0恒成立，即代表lnx﹣mx﹣1＜0恒成立，因为x＞0，故恒成立，令，故，令g′（x）＞0，故x＜e2，故g（x）在（0，e2）递增，在（e2，+∞）递减，故g（x）在（0，+∞）的最大值为，故，所以m的取值范围是；（2）证明：设切点为（x0，lnx0﹣mx0﹣1），\n又因为，且函数在x＝x0处的切线斜率，故可得：，化简整理可得：，令，，令h′（x）＞0，解得x＞1，故h（x）在（0，1）递减，（1，+∞）递增，故h（x）在（0，+∞）的最小值为h（1）＝﹣1，故m≥﹣1，得证．【点评】本题主要考查参变分离和构造函数思想，及导函数结合切线问题，属于较难题目．
