2022届高考数学核心猜题卷全国卷（理）【满分：150分】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，，则()A.B.C.D.2.已知复数，则()A.B.C.D.3.函数的图象在点处的切线方程为()A.B.C.D.4.若直线与圆相切，则实数k的值为()A.B.C.D.5.已知，则等于()A.B.C.D.6.已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为()A.B.C.D.7.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧AB的中点，则异面直线PA与BC所成角的大小为()\nA.30°B.45°C.60°D.90°8.若函数的最小正周期为，且其图象向左平移个单位后所得图象对应的函数为偶函数，则的图象()A.关于直线对称B.关于点对称C.关于直线对称D.关于点对称9.随着新冠疫苗的成功研发，某地区开始对重点人群进行新冠疫苗接种.为了配合社区对新冠疫苗接种人员讲解注意事项，某医科大学共派出4名男志愿者和2名女志愿者参与该地区志愿服务.已知6名志愿者将会被分为2组派往该地区的2个不同的社区，且女志愿者不单独成组.若每组不超过4人，则不同的分配方法种数为()A.32B.40C.48D.5610.抛物线的焦点为F，准线l与坐标轴交于点P，过点P的直线与抛物线交于A，B两点，若的面积是面积的2倍，则点A到准线l的距离为()A.1B.2C.3D.411.在边长为4的菱形ABCD中，，将菱形ABCD沿对角线AC对折，使平面平面DAC，则所得三棱锥的内切球的表面积为()A.B.C.D.12.已知函数在R上有且只有一个零点，则实数m的最小值为()A.B.C.1D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量，，若，则____________.14.若x，y满足约束条件，则的最大值是___________.15.已知等比数列满足，数列满足，记是数列的前n项和，则当时，n的最小值为________.\n16.斜率为的直线l经过双曲线的左焦点，交双曲线两条渐近线于A，B两点，为双曲线的右焦点且，则双曲线的方程为_____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）在中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且.（1）求角B的大小；（2）若，求的面积的最大值.18.（12分）在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，M是棱SB上一点.（1）证明：；（2）若M是SB的中点，求二面角的正弦值.19.（12分）某部门对辖区企业员工进行了一次疫情防控知识问卷调查，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人（其中450人为女性）的得分数据（满分100），统计结果如表所示.得分男性人数15901301001256030女性人数1060701501004020（1）把员工分为对疫情防控知识“比较了解”（不低于60分的）和“不太了解”（低于60分的）两类，请完成如下2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业员工对疫情防控知识的了解程度与性别有关？不太了解比较了解合计男性\n女性合计（2）为增加员工疫情防控知识，现开展一次“疫情防控知识”竞赛.若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每道题的概率都相同，并且相互之间没有影响，若甲连续两次答错的概率为，求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望.附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，.20.（12分）已知直线与椭圆交于第四象限内一点，，为椭圆C的左、右焦点，且面积为，椭圆C的短轴长为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若M为椭圆C上第一象限内一点，点M关于直线l的对称点为N，直线PN与椭圆C的另一个交点为Q，求证：MQ的斜率为定值.21.（12分）设函数，其中.（1）若在上恒成立，求实数a的取值范围；（2）设，证明：对任意，都有.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.（10分）[选修4–4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.（1）若直线，分别与直线l交于点A，B，求的面积；\n（2）若点P，Q分别为曲线C及直线l上的动点，求的最小值.23.（10分）[选修4 – 5：不等式选讲]已知，.（1）当时，解不等式；（2）对于任意的实数x，总有成立，求实数m的取值范围.2022届高考数学核心猜题卷全国卷（理）参考答案一、选择题1.答案：C解析：集合，，故选C.2.答案：A解析：因为，所以，故选A.3.答案：A解析：因为，所以，所以，故函数的图象在点处的切线方程为，即，故选A.4.答案：C解析：由题可知，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得，故选C.5.答案：D解析：，，.故选D.6.答案：A解析：因为偶函数在上单调递减，且，所以由偶函数的对称性可知，在上单调递增，且，由得或，解得或，即不等式的解集为.故选A.7.答案：C\n解析：如图，设底面的圆心为O，分别取AC，PC的中点D，E，连接PO，CO，OD，OE，DE，因为是等腰直角三角形，，设圆锥的底面圆半径，则，，则且，又且，而且，所以为异面直线PA与BC所成的角，在中，因为E为PC的中点，所以，所以是正三角形，即异面直线PA与BC所成的角为，故选C.8.答案：D解析：依题意可得，所以，所以的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数为，又函数为偶函数，所以，，解得，，又，所以，所以，由，，得，，所以图象的对称轴为，，排除A，C；由，，得，，则图象的对称中心为，，当时，，故选D.9.答案：C解析：根据题意，分两种情况讨论：①分为3，3的两组时，2名女志愿者不单独成组，有种分组方法，再对应到两个社区参加志愿工作，有种情况，此时共有种分配方法；②分为2，4的两组时，有种分组方法，其中有1种两名女志愿者单独成组的情况，则有14种符合条件的分组方法，再对应到两个社区参加志愿工作，有种情况，此\n时共有种分配方法.故共有种分配方法，故选C.10.答案：C解析：如图所示，由可得，点B为PA的中点，过点A，B分别作，，垂足分别为点M，N，则，点N为PM的中点，BN为的中位线，，由抛物线定义可知，，，，坐标原点O为PF的中点，OB为的中位线，，，由抛物线知，B点的纵坐标为，，，则点A到准线l的距离为3，故选C.11.答案：B解析：因为在菱形ABCD中，，，所以，，如图，设，所以，，又平面平面，平面平面，所以平面，所以，在三棱锥中，，所以，则三棱锥的体积，过点A作于点E，所以，所以，，设三棱锥的内切球的半径为r，则，解得，所以三棱锥内切球的表面积为，故选B.\n12.答案：D解析：由题可知，为偶函数，且，.设，则，当时，，故在上单调递增，故当时，，即，所以在上单调递增，故在上没有零点.由为偶函数，可知在R上有且只有一个零点；当时，存在，使，当时，，即在上单调递减，故，即，所以在上单调递减，故，且，则在上有零点，此时不符合条件，故，即实数m的最小值为，故选D.二、填空题13.答案：解析：因为，，所以，因为，所以，则.14.答案：7解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数可化为直线，当直线过点A时其在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，联立，解得，所以的最大值为.\n15.答案：3解析：因为，数列是等比数列，所以数列的公比，又，所以，故，所以，故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，由，得，所以，即n的最小值为3.16.答案：解析：如图，取AB的中点M，连接，.设，，则，又，所以.设直线AB的倾斜角为.因为M为AB的中点，，所以，所以为直角三角形，所以，所以直线OM的倾斜角为，则直线OM的斜率为，所以，解得，所以双曲线的方程为.\n三、解答题17.解析：（1）由正弦定理得，即，…………………………………………………2分即，即，……………………………………………………………………4分，，又，.…………………………………………………………………………6分（2）由余弦定理得，即，……………………………………………………………………8分即，当且仅当时，等号成立，.……………………………………………………………………10分的面积.的面积的最大值为.…………………………………………………………12分18.解析：（1）因为底面，底面ABCD，所以.因为，，所以.…………………………………………………3分又，平面，，所以平面SAB.又平面SAB，所以.………………………………………………………5分（2）如图，以B为坐标原点，BA，BC所在直线为x，y轴，过点B平行于SA的直线为z轴，建立空间直角坐标系.\n不妨设，则，，，，，所以，，.………………………………………7分设平面SAD的法向量为，则，令，得.设平面MAD的法向量为，则，令，得.…………………………………………10分设二面角的平面角为，由图可知二面角为锐二面角，所以，所以，所以二面角的正弦值为.……………………………………………………12分19.解析：（1）补全2×2列联表如表所示，不太了解比较了解合计男性235315550女性140310450\n合计3756251000…………………………………………………………………………………………………2分所以，所以有99%的把握认为该企业员工对消防知识的了解程度与性别有关.…………………5分（2）设甲答对每道题的概率为p，则，所以，…………………………………………………………………6分易知的所有可能取值为3，4，5，，，，……………………………………………………………………9分所以的分布列为345P所以.……………………………………………………12分20.解析：（1）由题意知，，，即点P的纵坐标.设，所以，即，则.…………………………………………………………………………3分又，则.又，联立解得或(舍)，所以椭圆C的标准方程为.………………………………………………………5分（2）由（1）可知.\n因为直线PM与直线PN关于直线对称，所以，设直线PM的斜率为k，则直线PN的斜率为，故可得直线PM的方程为，即，直线PN的方程为，即，………………………………………………………………………7分设,，联立，消去y整理得，所以，解得，同理，…………………………………………………………………9分所以，所以MQ的斜率为定值.……………………………………………………………12分21.解析：（1）由在上恒成立，得，即，.令，，则.当，即时，，所以函数在上单调递增，，故恒成立，满足题意；……………………………………………………………3分当，即时，\n设，则图象的对称轴，，，所以在上存在唯一实根，设为，则当时，，即，所以在上单调递减，则，此时，不符合题意.综上，实数a的取值范围是.…………………………………………………………5分（2）由题意得，当时，，，由得，即，………………………………………………………………………7分令，则，所以在上单调递增，，即，所以，从而.……………………………………………………………………9分由（1）知，当时，在上恒成立，整理得.令，则要证，只需证.因为，\n所以在上单调递增，所以，即在上恒成立.综上可得，对任意，都有成立.…………………………………………12分22.解析：（1）因为直线，分别与直线交于点A，B，所以，，…………………………………3分又，所以的面积.……………………………………………5分（2）直线l的极坐标方程为，即，由，，得直线l的直角坐标方程为.的最小值即点P到直线l距离的最小值，……………………………………………7分设，则点P到直线l的距离，当且仅当时取等号，所以的最小值为.………………………………………………………………10分23.解析：（1）由题意知，，当时，，………………………………………………………2分当时，，化简得，所以；当时，恒成立，所以；当时，，化简得，所以，综上可知不等式的解集为.………………………………………………5分（2）因为，………………………7分即，\n因为对于任意的实数x，总有成立，所以，解得或，所以实数m的取值范围是.………………………………………………10分
