昌平区2022年高三年级第二次统一练习数学试卷2022.5本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡收回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合,则（A）（B）（C）（D）（2）若复数满足，则（A）（B）（C）（D）（3）为倡导“节能减排，低碳生活”的理念，某社区对家庭的人均月用电量情况进行了调查，通过抽样，获得了某社区100个家庭的人均月用电量（单位：千瓦时），将数据按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.若该社区有3000个家庭，估计全社区人均月用电量低于80千瓦时的家庭数为（A）（B）（C）（D）（4）记为等差数列的前项和，若，则（A）（B）（C）（D）（5）已知双曲线的焦距为，其右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（A）（B）\n（C）（D）（6）“”是“函数在区间上单调递减”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点,则下列结论正确的是（A）//（B）（C）//平面（D）//平面（8）已知直线与圆相交于两点，当变化时，△的面积的最大值为（A）（B）（C）（D）（9）已知函数，则关于的不等式的解集是（A）（B）（C）（D）（10）在△中，只需添加一个条件，即可使△存在且唯一.在条件：①；②；③中，所有可以选择的条件的序号为（A）①（B）①②（C）②③（D）①②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.(11)抛物线的准线方程为__________.(12)在的展开式中，常数项为_______.（请用数字作答）\n（13）已知是△的边的中点，,，则（14）若函数有且仅有两个零点，则实数的一个取值为______.（15）刺绣是中国优秀的民族传统工艺之一，已经有2000多年的历史.小王同学在刺绣选修课上，设计了一个螺旋形图案--即图中的阴影部分.它的设计方法是：先画一个边长为3的正三角形，取正三角形各边的三等分点，得到第一个阴影三角形；在正三角形中，再取各边的三等分点，得到第二个阴影三角形；继续依此方法，直到得到图中的螺旋形图案,则______;图中螺旋形图案的面积为______.二、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（16）（本小题13分）如图，在棱长为的正方体中，点是的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）求点到平面的距离.（17)（本小题13分）已知函数，且的最小正周期为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件.(I)求的解析式；(II)设，若在区间上的最大值为，求的最\n小值．条件①：的最小值为；条件②：的图象经过点；条件③；直线是函数的图象的一条对称轴.注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．(18)（本小题14分）某产业园生产的一种产品的成本为50元/件.销售单价依产品的等级来确定,其中优等品、一等品、二等品、普通品的销售单价分别为80元、75元、65元、60元.为了解各等级产品的比例，检测员从流水线上随机抽取200件产品进行等级检测,检测结果如下表所示.产品等级优等品一等品二等品普通品样本数量（件）30506060（I）若从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为优等品的概率；（II）从该流水线上随机抽取3件产品，记其中单件产品利润大于20元的件数为,用频率估计概率，求随机变量的分布列和数学期望;（III）为拓宽市场，产业园决定对抽取的200件样本产品进行让利销售，每件产品的销售价格均降低了5元.设降价前后这200件样本产品的利润的方差分别为，比较的大小.（请直接写出结论）(19)（本小题15分）已知椭圆的离心率为，上下顶点分别为，且.过点的直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若直线与直线相交于点,求证：三点共线.（20）（本小题15分）已知函数，.(I)若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求实数的值；\n(II)若函数无零点，求实数的取值范围；(III)当时，函数在处取得极小值，求实数的取值范围.（21）（本小题15分）已知数列，给出两个性质：①对于任意的，存在，当时，都有成立；②对于任意的，存在，当时，都有成立．（Ⅰ）已知数列满足性质①，且，，试写出的值；（Ⅱ）已知数列的通项公式为，证明：数列满足性质①；（Ⅲ）若数列满足性质①②，且当时，同时满足性质①②的存在且唯一.证明：数列是等差数列．\n昌平区2022年高三年级第二次统一练习数学试卷参考答案及评分标准2022.5一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)题号12345678910答案ABDBDABCCB二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）（12）（13）(14)（答案不唯一）（15）；三、解答题(共6小题，共85分)（16)（共13分）解：（Ⅰ）在正方体中，因为平面，平面，所以，即.因为四边形是正方形,所以.因为平面,所以平面.....4分（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系,则，所以.由（Ⅰ）知，平面的一个法向量为设平面的一个法向量为，\n则所以.令，则，所以.所以.由图可知，二面角为钝角,所以二面角的大小为.....10分（Ⅲ）设点到平面的距离，,则.所以点到平面的距离为.....13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）由题意知.选条件①②：因为的最小值为，所以则.因为的图象经过点，得,即.因为，所以.所以.....7分选条件①③：因为的最小值为，所以则.\n因为直线是函数的图象的一条对称轴，得，即.因为，所以.所以.....7分选条件②③：因为直线是函数的图象的一条对称轴，得，即.因为，所以,所以.因为的图象经过点，得.所以.所以.....7分(II).由，若在区间上的最大值为，则，所以的最小值为.....13分(18)（共14分）\n解：（I）抽取的200件产品中优等品有30件，抽取优等品的频率是，用样本估计总体，从流水线上随机抽取一件产品，估计是优等品的概率为.....3分（II）从流水线上随机抽取一件产品，估计利润大于20元的概率为.的可能取值为0，1，2，3..的分布列为0123的数学期望.....11分（III）.....14分(19)（共15分）解：(Ⅰ)根据题意，解得,.所以椭圆的方程为：.....5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，.根据题意，直线的斜率一定存在，设直线的方程为.由得.根据题意，恒成立,设则.\n直线的方程为，令,得，所以.因为，则直线的斜率分别为，..所以，所以三点共线.....15分（20）（共15分）解：（I）因为函数，,所以，.因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，所以.解得，即.....5分(II)由题意,，设.\n①当时，,在上单调递增，且，所以，所以在上无零点.当时，令,得．②当，即时，，在上单调递增，且，所以，所以在上无零点.当时，，符号变化如下，↘极小值↗所以极小值.当,即时，,所以，所以在上无零点.当,即时，由，，所以至少存在一个零点,所以至少存在一个零点.综上，若无零点，实数的取值范围为.(III)当时，，定义域为．．由（II）可知，当时，,当时，,所以当时，在上恒成立.此时，当时，单调递减；\n当时，单调递增.所以在处取得极小值．当时，,当时，，所以，单调递减.此时不是极小值点．即时，不合题意．综上，满足条件的的取值范围为．....15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）；....5分（Ⅱ）因为数列的通项公式为，所以，对于任意的，令，则，.又，则，即.又，所以，即对于任意的.所以，对于任意的，令，则当时，都有成立，所以，数列满足性质①.....10分（Ⅲ）由题意，数列满足性质①②，且当时，同时满足性质①②的存在,即对于任意的，存在，当时，都有成立，所以，当时，，\n即.对于任意的,有，对于任意的,有,，又当时，同时满足性质①②的存在且唯一,所以，当时，,所以，满足条件的数列是等差数列.....15分
