2020级高二下学期期中检测一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设的分布列为，则（）A.B.C.D.【1题答案】【答案】A【解析】【分析】根据求解即可.【详解】.故选：A2.乒乓球单打决赛在甲、乙两名运动员间进行，决赛采用局胜制即先胜局者获胜，比赛结束，已知每局比赛中甲获胜的概率为，则在本次决赛中甲以的比分获胜的概率为()A.B.C.D.【2题答案】【答案】C【解析】【分析】甲以的比分获胜，甲只能在、、次中失败次，第次胜，根据独立事件概率即可计算．【详解】甲以的比分获胜，则甲只能在第、、次中失败次，第次获胜，因此所求概率：．故选：C．3.若函数，则（）A.B.\nC.D.【3题答案】【答案】C【解析】【分析】求导，判定的单调性，即可比较大小【详解】解：，令，解得：，故在递增，故，故选：C4.一盒中装有10张彩票，其中2张有奖，8张无奖，现从此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一张彩票.若已知有一次为有奖，则另一次也是有奖的概率为（）A.B.C.D.【4题答案】【答案】C【解析】【分析】设事件A为“有一次有奖”，事件B为“2张均有奖”，根据条件概率公式计算即可.【详解】设事件A为“有一次有奖”，事件B为“2张均有奖”，，，.故选：C.\n5.某市政府决定派遣名干部分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少人，则不同的派遣方案共有（）A.种B.种C.种D.种【5题答案】【答案】C【解析】【分析】由题意可得分组中两组的人数分别为、或、，然后根据分步乘法原理和分类加法原理可求得结果.【详解】两组至少都是人，则分组中两组的人数分别为、或、，两组的人数为和的方法数为（种），两组的人数都是的方法为（种），则不同的派遣方案种数为（种)．故选：C6.等比数列中，，，函数，则A.B.C.D.【6题答案】【答案】C【解析】【分析】将函数看做与的乘积，利用乘法运算的求导法则，代入可求得；根据等比数列性质可求得结果.【详解】又\n本题正确选项：【点睛】本题考查导数运算中的乘法运算法则的应用，涉及到等比数列性质应用的问题，关键是能够将函数拆解为合适的两个部分，从而求解导数值时直接构造出数列各项之间的关系.7.设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为（）A.0.08B.0.1C.0.15D.0.2【7题答案】【答案】A【解析】【分析】利用条件概率公式即可求解.【详解】以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光片为次品，P=，P=，P=，P=，P=，P=；则由全概率公式，所求概率为P=P+P+P=×+×+×=0.08.故选：A8.已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )A.(－∞，0)B.C.(0,1)D.(0，＋∞)【8题答案】【答案】B【解析】【详解】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，\n等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．故选B．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.设离散型随机变量的分布列为若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（）AB.，C.，D.，【9题答案】【答案】CD【解析】【分析】根据频率和为1，求出，再根据离散型随机变量的分布列的性质求出，从而可进行判断【详解】解：由离散型随机变量的分布列的性质得，，\n，，离散型随机变量满足，，．故选：CD．10.已知数列的前项和为，下列说法正确的是（）A.若，则是等差数列B.若，则是等比数列C.若是等差数列，则D.若是等比数列，且，，则【10题答案】【答案】BC【解析】【分析】A.先根据求解出在时的通项，然后验证是否符合，由此即可判断；B.同A，先根据计算出的通项公式，然后根据通项即可判断；C.根据等差数列的前项和公式进行化简计算并判断；D.采用作差法化简计算的结果，根据结果进行判断即可.【详解】若，当时，，不满足，故A错误.若，当时，，且，则，又满足，所以是等比数列，故B正确.若是等差数列，则，故C正确.，故D错误.\n故选：BC.11.在的展开式中，下列说法正确的是（）A.各项系数和为1B.第2项的二项式系数为15C.含的项的系数为D.不存在常数项【11题答案】【答案】AC【解析】【分析】由题意利用二项式系数的性质，二项展开式的通项公式，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】在的展开式中,令，可得所有项的系数和为，故A正确；展开式的第二项的二项式系数为，故B错误；它的通项公式为，令，可得，故含的项的系数为，故C正确；令，可得，故第5项为常数项，故D错误，故选：AC12.一盒中有个乒乓球，其中个未使用过，个已使用过.现从盒子中任取个球来用，用完后再装回盒中.记盒中已使用过的球的个数为，则下列结论正确的是()A.的所有可能取值是3、4、5B.最有可能的取值是C.等于的概率为D.的数学期望是【12题答案】【答案】AD【解析】【分析】取出的三个球可能是：1个未使用过的和2个使用过的、2个未使用过的和1个使用\n过的、3个未使用过的，故放回盒中后已使用过的球的个数X可能是3、4、5，根据古典概型概率计算方法分别计算出概率及X的分布列和数学期望逐项判断即可．【详解】由题意可得：的所有可能取值为3、4、5，且，，，∴最有可能的取值是，．故选：AD．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的极小值为______．【13题答案】【答案】0【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，由此可求得该函数的极小值.【详解】，定义域为，，令，可得或，当或时，，此时，函数单调递增；当时，，此时，函数单调递减，所以，函数在处取得极小值，且极小值为.故答案为：.14.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问这个人最后一天走了______里路.【14题答案】【答案】6\n【解析】【详解】由题意可知,此人每天走的路程构成了公比的等比数列,设该数列为,其前项和为则有,解得,故.15.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序只能出现在第一或最后一步，程序和在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有________种（用数字作答）．【15题答案】【答案】96【解析】【详解】先排程序有两种方法，再将和捆一起后排，有种方法，因此共有种方法.考点：排列与计数原理.16.已知对任意恒成立，且，，则___________；___________.【16题答案】【答案】①.②.【解析】【分析】先换元，令，把原等式变为，通过、求得和，然后将等式两端求导之后再赋值可得结果.【详解】设，则，由此得，解得，另一方面，等式两边对求导，得，\n再令，得.故答案为:；四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知(，)的展开式的第五､六､七项的二项式系数成等差数列.（1）求；（2）设，求：(其中为小于等于的最大奇数).【17题答案】【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)利用第五、六、七项的二项式系数成等差数列列出方程求解即得；(2)对于给定展开式中x赋值，再经计算即可作答.【详解】(1)第五､六､七项的二项式系数分别是，，，则，即，，整理可得，解得或，而，所以；(2)由(1)知，即，令，可得，令，可得，两式相减，得，即，所以.18.已知数列为公差不为零的等差数列，是数列的前项和，且、、成等比数列，.设数列的前项和为，且满足.（1）求数列、的通项公式；\n（2）令，证明：.【18题答案】【答案】（1）,（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用首项和公差构成方程组，从而求解出的通项公式；由的通项公式求解出的表达式，根据以及，求解出的通项公式；（2）利用错位相减法求解出的前项和，根据不等关系证明即可.【详解】（1）设首项为，公差为.由题意，得，解得，∴，∴，∴当时，∴，.当时，满足上式.∴（2），令数列的前项和为.两式相减得\n∴恒成立，得证.【点睛】本题考查等差数列、等比数列的综合应用，难度一般.（1）当用求解的通项公式时，一定要注意验证是否成立；（2）当一个数列符合等差乘以等比的形式，优先考虑采用错位相减法进行求和，同时注意对于错位的理解.19.已知函数的图象经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直.（1）求实数，的值；（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.【19题答案】【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）M点坐标代入函数解析式，得到关于的一个等式；曲线在点处的切线恰好与直线垂直可知,列出关于的另一个等式，解方程组，求出的值.（2）求出，令，求出函数的单调递增区间，由题意可知是其子集，即可求解.【详解】（1）的图象经过点,①,因，则,由条件，即②，由①②解得.\n（2），令得或，函数在区间上单调递增，,或，或【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，直线垂直的充要条件，利用导数确定函数的单调区间，属于中档题.20.在中国足球超级联赛中，甲、乙两队将分别在城市、城市进行两场比赛．根据两队之间的历史战绩统计，在城市比赛时，甲队胜乙队的概率为，平乙队的概率为；在城市比赛时，甲队胜乙队的概率为，平乙队的概率为，两场比赛结果互不影响．规定每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分．（1）求两场比赛甲队恰好负一场的概率；（2）求两场比赛甲队得分的分布列和期望【20题答案】【答案】（1）（2）分布列见解析，期望为【解析】【分析】（1）分别计算出甲队在城市、比赛时负于乙队的概率，然后利用互斥事件和独立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知随机变量的可能取值有、、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值.【小问1详解】解：设事件表示在城市比赛时甲队负，事件表示在城市比赛时甲队负，则，，两场比赛甲队恰好负一场的概率为\n.【小问2详解】解：两场比赛甲队得分的可能取值为、、、、、，，，，，，，两场比赛甲队得分的分布列为：所以，.22.设是等比数列，公比大于，其前项和为，是等差数列．已知，，，．（1）求和的通项公式；（2）设数列的前项和为，求；求：【22题答案】【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）根据题意分别求出等比数列的公比，和等差数列的首项和公差，即可得出答案；（2）利用分组求和法即可得出答案；\n利用裂项相消法求解即可.【小问1详解】解：设等比数列的公比为，由，，可得，，可得．故．设等差数列的公差为，由，即，得，由，即，得，，故；【小问2详解】解：由（1），可得，故；，．24.已知函数．（1）设曲线在点处的切线为l，求l的斜率的最小值；（2）若对恒成立，求a的取值范围．【24题答案】【答案】（1）；（2）.【解析】\n【分析】（1）求出导函数，即斜率，引入函数，利用导数的知识求得最小值；（2）问题变形为在上恒成立，引入函数，由导数求得的最小值后可得的范围．【详解】解：（1），则，设，则，当时，；当时，．所以，即l的斜率的最小值为．（2）由题知，在上恒成立，令，则，因为，所以．设，易知在上单调递增．因为，，所以存在，使得，即．当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．所以，从而，故a的取值范围为．【点睛】关键点点睛：本题考查用导数的几何意义，用导数求函数的最值，研究不等式恒成立问题．解决不等式恒成立的方法是分离参数后转化为求函数的最值，然后解相应的不等式\n得出结论．问题的转化是解题关键．
