2021-2022学年第二学期期中检测高一数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数则在复平面内，对应的点的坐标是（）A.B.C.D.【1题答案】【答案】B【解析】【分析】先通过复数的除法运算化简复数，然后利用复数的几何意义求解.【详解】因为，所以在复平面内，对应的点的坐标是.故选：B【点睛】本题主要考查复数的运算及几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.已知向量，且，则（）A.B.C.2D.【2题答案】【答案】A【解析】【分析】根据条件便有，进行向量数量积的坐标运算便可得出的值．【详解】解：，，；；\n．故选：A．【点睛】考查向量数量积的坐标运算以及向量垂直的充要条件，属于基础题．3.已知△ABC，点G、M满足，，则()A.B.C.D.【3题答案】【答案】A【解析】【分析】由已知可知为的重心，然后结合向量的线性运算及三角形重心的性质可求．【详解】满足，∴为的重心，∴＝＝，又∵，∴．故选：A．4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3，则B的大小为（）A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°【4题答案】【答案】A【解析】\n【分析】先由正弦定理求出sinB=，可得B=30°或B=150°，再由a>b，得A>B，从而可求出B=30°.【详解】由正弦定理得，即，解得sinB=，又B为三角形内角，所以B=30°或B=150°，又因为a>b，所以A>B，即B=30°.故选：A.5.若，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【5题答案】【答案】C【解析】【分析】首先根据得到，再根据充要条件的定义求解即可.【详解】若，则，所以则是的充要条件.故选：C6.在中，其内角，，的对边分别为，，，已知且．若，则的值为（）A.B.C.D.【6题答案】【答案】B【解析】【分析】结合向量运算、余弦定理进行运算，化简求得的值.\n【详解】∵，∴，∵，∴，由余弦定理，得，∴，∴.故选：B．7.已知中，,点为的中点，点为边上一动点，则的最小值为A.B.C.D.【7题答案】【答案】C【解析】【分析】建立直角坐标系，写出点的坐标，利用数量积的坐标运算求解.【详解】因为，所以是等腰三角形，以BC所在直线为x轴，BC的中点为坐标原点，建立直角坐标系，如图，则,,设，则,,所以，当时取最小值.故选C.【点睛】本题主要考查向量在几何中的应用，几何图形中向量的运算优先使用向量的坐标形式.8.如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（）\nA.圆锥的母线长为18B.圆锥的表面积为27πC.圆锥的侧面展开图扇形圆心角为60°D.圆锥体积为【8题答案】【答案】D【解析】【分析】由题意可知，再利用圆锥的表面积公式，侧面积公式及体积公式，即可判断.【详解】设圆锥的母线长为，以为圆心，为半径的圆的面积为，又圆锥的侧面积，因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了3周，所以，解得，所以圆锥的母线长为9，故选项A错误；圆锥的表面积，故选项B错误；因为圆锥的底面周长为，设圆锥的侧面展开图扇形圆心角为，则，解得，所以圆锥的侧面展开图扇形圆心角为120°，故选项C错误；圆锥的高，所以圆锥的体积为，故选项D正确．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有\n多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是（）A.圆锥B.圆柱C.棱锥D.正方体【9题答案】【答案】ACD【解析】【分析】根据物体特征分析截面可能的情况即可得解.【详解】圆锥的轴截面是三角形，圆柱的任何截面都不可能是三角形，三棱锥平行于底面的截面是三角形，正方体的截面可能是三角形，如图形成的截面三角形,故选：ACD10.将函数的图象向左平移个单位后得到的图象，则（）A.为偶函数B.最小正周期为C.在上单调递减D.图象关于直线对称【10题答案】【答案】BC【解析】\n【分析】利用三角函数图象变换可求得函数解析式，利用余弦型函数的基本性质逐项判断可得出合适的选项.【详解】将函数的图象向左平移个单位后得到的图象，则，所以，函数是非奇非偶函数，该函数的最小正周期为，A错B对，当时，，所以，函数在上单调递减，C对，因为，所以，函数的图象不关于直线对称，D错.故选：BC.11.已知两点，，点P在直线AB上，满足，则P点坐标可为（）A.B.C.D.【11题答案】【答案】AD【解析】【分析】由题意得或，设出坐标，按照向量共线的坐标运算求解即可.【详解】由点P在直线AB上，满足，可得或，设，则，\n若可得，解得，即；若可得，解得，即；故或.故选：AD.12.在中，D，E，F分别是边，，中点，下列说法正确的是（）A.B.C.若，则是在的投影向量D.若点P是线段上的动点，且满足，则的最大值为【12题答案】【答案】BCD【解析】【分析】对选项A，B，利用平面向量的加减法即可判断A错误，B正确.对选项C，首先根据已知得到为的平分线，即，再利用平面向量的投影概念即可判断C正确.对选项D，首先根据三点共线，设，，再根据已知得到，从而得到，即可判断选项D正确.【详解】如图所示：\n对选项A，，故A错误.对选项B，，故B正确.对选项C，，，分别表示平行于，，的单位向量，由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量.因为，所以为的平分线，又因为为中线，所以，如图所示：在的投影为，所以是在的投影向量，故选项C正确.对选项D，如图所示：\n因为在上，即三点共线，设，又因为，所以.因为，则，.令，当时，取得最大值为.故选项D正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查平面向量的加法，减法的几何意义，数形结合为解决本题的关键，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知的面积为，，则=____．【13题答案】【答案】【解析】【分析】利用面积公式求得a的值，利用余弦定理求得b的值，进而利用正弦定理得到角的正弦的比值等于对应变得比值，从而求得答案.【详解】,\n，解得,所以，∴,∴,故答案为：.【点睛】本题考查正余弦定理和三角形的面积公式的综合应用，关键在于正弦定理进行边角转化.14.已知各顶点都在同一球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积是________．【14题答案】【答案】16【解析】【详解】试题分析：正四棱锥的高为3，体积为6，易知底面面积为6，边长为．正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，PO=AO=R，PO1=3，OO1=3-R，在Rt△AO1O中，AO1=，由勾股定理R2=3+（3-R）2得R=2，∴球的表面积S=16π．考点：本题主要考查正四棱锥的几何特征，球的表面面积计算．点评：中档题，关键是确定出球心的位置，利用直角三角形列方程式求解球的半径．\n15.某教师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图是要测山高.现选择点A和另一座山顶点C作为测量观测点，从A测得点M的仰角，点C的仰角，测得，，已知另一座山高米，则山高_______米.【15题答案】【答案】【解析】【分析】利用正弦定理可求出各个三角形的边长，进而求出山高.【详解】解：在中，，，，可得在中，，所以由正弦定理可得：即，得在直角中，所以故答案为：.16.已知函数，若集合含有4\n个元素，则实数的取值范围是______．【16题答案】【答案】【解析】【分析】先利用辅助角公式将化简，然后求出的根，再根据集合,含有4个元素，列出不等关系，求解即可．【详解】，，则，则或，解得或，∴当，1，2，，时，，∵集合,含有4个元素，则有且，解得，故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知，向量．（1）若向量，求向量的坐标；（2）若向量与向量的夹角为120°，求．【17题答案】【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）由，设，有，再根据，得，最后解方程即可；\n（2）先求，再求后可求解.【小问1详解】由，设，∴，∵，∴，解得或所以或．【小问2详解】∵，，，∴，∴，∴．19.如图，圆锥PO的底面直径和高均是a，过PO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，（1）求圆柱的表面积；（2）求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积．【19题答案】【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）设圆锥底面半径为r，圆柱底面半径为，求得和的值，以及圆柱和圆锥的母线长，结合侧面积和圆的面积公式，即可求解；（2）利用圆锥和圆柱的体积公式，即可求得剩下几何体的体积．【详解】（1）设圆锥底面半径为r，圆柱底面半径为，\n因为过PO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，可得，，且圆柱母线长，圆锥母线长，所以圆柱的表面积为：（2）剩下几何体的体积．20.据市场调查，某种商品一年内每月的价格满足函数关系式：f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，x为月份.已知3月份该商品的价格首次达到最高，为9万元，7月份该商品的价格首次达到最低，为5万元.（1）求f(x)的解析式；（2）求此商品的价格超过8万元的月份.【20题答案】【答案】（1）f(x)＝2sin＋7；（2）2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的价格超过8万元.【解析】【分析】（1）由最大值和最小值求得，由周期求得，再用最高点坐标代入可得，从而得解析式；（2）解不等式2sin＋7>8中在上的整数解即得．【详解】解（1）由题意可知＝7－3＝4，∴T＝8，∴ω＝.又，∴，\n即f(x)＝2sin＋7.(*)又f(x)过点(3，9)，代入(*)式得2sin＋7＝9，∴sin＝1，∴，k∈Z.又|φ|<，∴φ＝－，∴f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*).（2）令f(x)＝2sin＋7>8，∴sin>，∴，k∈Z，可得＋8k<x<＋8k，k∈Z.又1≤x≤12，x∈N*，∴x＝2，3，4，10，11，12.即2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的价格超过8万元.【点睛】本题考查三角函数的应用，解题关键是根据正弦函数的性质确定函数解析式．21.如图，在边长为1的正△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，若＝m，＝n，m，n∈(0，1)．设EF的中点为M，BC的中点为N．（1）若A，M，N三点共线，求证：m＝n；\n（2）若m+n=1，求的最小值．【21题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）由向量共线定理及平面向量基本定理即得；（2）由题可得，再利用模长公式及二次函数的性质即得.【详解】（1）由A，M，N三点共线，得∥，设＝λ(λ∈R)，即，∴，所以m＝n．（2）因为＝m，＝n，EF的中点为M，BC的中点为N,∴,又m＋n＝1，所以，∴，\n故当m＝时，．22.已知函数，任意相邻两个对称轴之间的距离为，（1）求值并求函数的对称轴方程、单调递增区间；（2）若方程在上有两个不同的实根，求a的取值范围和的值．【22题答案】【答案】（1）2，对称轴方程为，，，（2）的取值范围是，【解析】【分析】（1）由任意相邻两个对称轴之间的距离为，可得，化简，从而可得对称轴方程、单调增区间；（2）利用数形结合的思想方法可求解.【小问1详解】因为任意相邻两个对称轴之间的距离为，∴周期，，即，由，解得，∴对称轴方程为，由，得：，\n所以的增区间为，，【小问2详解】因为，，方程即，令，方程的根的个数也即函数，图象交点的个数，由图象可知，方程有两个实根需满足，所以．即的取值范围是.由图象，根据对称性可知，.24.已知三角形中，三边长为，满足.（1）若，求三个内角中最大角的度数；（2）若，且，求的面积【24题答案】【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理得到，设\n，再利用余弦定理计算可得；（2）由平面向量数量积的定义可得，再由余弦定理可得，再由同角三角函数基本关系求出，再求出，最后由面积公式计算可得；【详解】解：（1）因为满足又所以设，则最大角为，由，因为所以；（2）又由，得由，，所以三角形的面积为
