河南省中原名校2021-2022学年高二下学期第二次联考联考理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4.考试时间120分钟，分数150分。一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.若真命题，是假命题，则A.是真命题B.是假命题C.是真命题D.是真命题2.已知抛物线准线方程为，则其标准方程为（）A.B.CD.3.已知正方体中，E，F分别是它们所在线段的中点，则满足平面的图形个数为（ ）A.0B.1C.2D.34.方程表示椭圆的充要条件是（）A.B.C.D.5.已知椭圆：经过点，且的离心率为，则的方程是（）\nA.B.C.D.6.如图，点M是正方体ABCD-A1B1C1D1棱CD的中点，则异面直线AM与BC1所成角的余弦值是（）A.B.C.D.7.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则8.已知F1（-c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且=c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A.B.C.D.9.过双曲线的右焦点作轴的垂线与双曲线交于两点，\n为坐标原点，若的面积为，则双曲线的渐近线方程为A.B.C.D.10.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）A.B.C.D.11.如图所示，平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列说法中不正确的是（）A.平面平面B.C.平面平面D.平面12.设抛物线焦点为，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．已知向量，且，则实数________________．\n14．经过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线方程为_________．15．函数是R上的单调递增函数，则a的取值范围是______．16．已知函数是函数的导函数,,对任意实数都有,则不等式的解集为___________.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题10分）（1）请用分析法证明：；（2）请用反证法证明：设，，则与中至少有一个不小于2．18．（本小题12分）已知函数．（1）求函数的单调区间．（2）若对恒成立，求实数的取值范围.19．（本小题12分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.（Ⅰ）求乙投球的命中率；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望.20．（本小题12分）为推行“新课堂”教学法,某老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式在甲、乙两个平行班进行教学实验,为了解教学效果,期中考试后,分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,作出如图所示的茎叶图,若成绩大于70分为“成绩优良”.\n(1)由以上统计数据填写下面2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”?甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计(2)从甲、乙两班40个样本中,成绩在60分以下(不含60分)的学生中任意选取2人,记ξ为所抽取的2人中来自乙班的人数,求ξ的分布列及数学期望.附:K2=(n=a+b+c+d),P(K2≥k0)0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.63521．（本小题12分）近年来，共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚．某公司计划对未开通共享单车的县城进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示．\n（1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合，请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程；（2）已知每辆单车的购入成本为元，年调度费以及维修等的使用成本为每人次元，按用户每使用一次，收费元计算，若投入辆单车，则几年后可实现盈利？参考数据：140其中，．参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．22．已知函数，.（1）求函数的单调区间；（2）若，且，证明：.\n理科数学答案1-12DCBBAADCBCDC13.214.15.16.17．证明：（1）要证：只需证：只需证：只需证：只需证：只需证：，而显然成立，∴原不等式得证．（2）假设结论不成立，即与都小于2，则①而由基本不等式，知：，，当且仅当时等号成立，∴与①式矛盾，∴假设不成立，原命题成立．18．（1）令，解得或，令，解得：.故函数的单调增区间为，单调减区间为.\n（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，，，∴，∵对恒成立，∴，即，∴19．（I）设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件.由题意得解得或（舍去），所以乙投球的命中率为.（II）由题设知（I）知，，，，可能取值为故，，的分布列为20.(1)根据茎叶图中的数据作出列联表如表所示：甲班乙班总计成绩优良101626成绩不优良10414总计202040\n根据列联表中的数据,得的观测值为,所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.(2)样本中成绩在60分以下的学生中甲班有4人,乙班有2人,所以的所有可能取值为,则=，,=,则随机变量的分布列为：012P则数学期望.21．（1）由散点图判断，适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型．由，两边同时取常用对数得．设，则．因为，，，，所以．把代入，得，所以，所以，则，故关于的回归方程为．（2）投入千辆单车，则年使用人次为千人次，每年的收益为（千元），\n总投资千元，假设需要年开始盈利，则，即，故需要年才能开始盈利．22（1），，由得，当时，；当时，∴在上单调递增，在上单调递减.（2）∵，且，∴由（1）知，不妨设.要证，只需证明，而，在上单调递减，故只需证明.又，∴只需证明.令函数，则，当时，，，故，∴在上单调递增，\n故在上，∴成立，故成立.
