2021-2022学年度第二学期期中质量检测试卷高二数学（理科）试卷分值：150分考试时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题（本题共计12小题，每题5分，共计60分）1．设i为虚数单位，复数z满足，则复数z的共轭复数等于（ ）A．B．C．D．2．观察下列各式：，，，，则末位数字为（ ）A．1B．3C．7D．93．已知直线a∥平面α，直线b⊂平面α，则（ ）A．a∥bB．a与b异面C．a与b相交D．a与b无公共点4．曲线在处的切线的斜率为（ ）A．B．C．D．5．若，则等于（ ）A．-3B．3C．-6D．66．设m､n是两条不同的直线，､是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A．若，，则B．若，则C．若，，则D．若，，则7．用数学归纳法证明，在验证成立时，左边所得的代数式是（ ）A．1B．C．D．8．已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限9．已知，若，则x=（ ）A．-1B．1C．0D．210．已知函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）A．B．C．D．11．正三棱柱各棱长均为为棱的中点，则点到平面的距离为（ ）A．B．C．D．112．函数的图象如图所示，则不等式的解集（ ）A．B．C．D．第II卷（非选择题）第9页共6页◎第10页共6页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司\n二、填空题（本题共4小题，每题5分，共计20分）13．已知，则的虚部为______．14．用反正法证明：“若，则或”时，需假设_________.15．在正方体中，异面直线与AB所成角的度数为______．16．已知函数，x∈[0，π]，则f（x）的最小值为______.三、解答题（本题共6小题，共计70分）17．（10分）用数学归纳法证明：如果是一个公差为d的等差数列，那么对任何都成立．18．（12分）如图，在长方体中，E为AB的中点，F为的中点．证明：//平面．19．（12分）如图，棱锥的底面是矩形，平面，．(1)求证：平面；(2)求平面和平面夹角的余弦值的大小．20．（12分）已知函数．(1)写出函数的单调区间；(2)讨论函数的极大值和极小值是否存在．如果存在，求出极值．21．（12分）设函数．(1)求f（x）在处的切线方程；(2)求f（x）在[－2，4]上的最大值和最小值．22．（12分）已知函数，函数．(1)求的单调区间；(2)当时，若与的图象在区间上有两个不同的交点，求k的取值范围第9页共6页◎第10页共6页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司\n2021-2022学年度第二学期高二数学（理科）期中考试卷参考答案：1．A2．D3．D4．D5．D6．C7．C8．D9．A10．C11．C12．A13．114．且15．90°16．117．【详解】（1）当时，左边，右边，①式成立．（2）假设当时，①式成立，即，根据等差数列的定义，有，于是，即当时，①式也成立，由（1）（2）可知，①式对任何都成立．18．证明：取的中点G，连接GF，AG，因为G为的中点，F为的中点，所以且CD＝2GF，又E为AB的中点，AB＝CD，，所以且AE＝GF，所以四边形AEFG为平行四边形，所以//，因为平面，EF平面，所以//平面．19．【解析】(1)因为平面，BD平面，所以PA⊥BD，因为，底面第9页共6页◎第10页共6页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司\n是矩形，所以由勾股定理得：，所以底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又PA=A，所以BD⊥平面PAC.(2)因为PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD，又CD⊥AD，PA，所以CD⊥平面PAD，因为PD平面PAD，所以CD⊥PD，又因为CD⊥AD，所以∠PDA是平面和平面的夹角，由于PA=AD，∠PAD=90°，所以∠PDA=45°，所以，所以平面PCD与平面ABCD的夹角余弦值为.20．【解析】(1)．令，得或．则当时，，单调递增；则当时，，单调递减；则当时，，单调递增．故函数的增区间为和，减区间为．(2)由（1）知，当时，有极小值；当时，有极大值．21．【解析】(1)由题意知，，即切点为（1，－3），又，所以所以f（x）在处的切线方程为：，即；(2)，令得；令得或，故f（x）的减区间为（－1，3），增区间为（－∞，－1）和，函数f（x）的极大值，函数f（x）的极小值，又，第9页共6页◎第10页共6页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司\n∴f（x）在[－2，4]上的最大值是13，最小值是－1922．【解析】(1)由题意可得的定义域为，且．①当时，由，得；由，得．故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．②当时，由，得；由，得．故函数的单调递减区间为，单调递增区间为．综上，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．(2)当时，令，得，即，则与的图象在上有两个不同的交点，等价于在上有两个不同的实根．设，则．由，得；由，得．函数在上单调递增，在上单调递减，故．因为，，且，所以要使在上有两个不同的实根，则，即k的取值范围为．第9页共6页◎第10页共6页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司
