2022年春学期高二期中质量调研数学试题2022.4注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图是三个正态分布，，的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为（）.A.①②③B.③②①C.②③①D.①③②【1题答案】【答案】A2.安排A，B，C三名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，则安排的方法共有（）种.A.1B.2C.3D.4【2题答案】【答案】C
3.若的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则展开式中系数为无理数的项数为（）A.B.C.D.【3题答案】【答案】B4.某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是，且，若此人通过的科目数的方差是，则（）A.2B.3C.4D.5【4题答案】【答案】C5.如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（）A.B.C.D.【5题答案】【答案】C6.现有4名疫情防控志愿者全员参与三个不同的防控岗位，每位志愿者只能参与一个岗位的工作，且每个岗位至少有一名志愿者参与，则参与防控的情况共有（）种.A.24B.36C.48D.50【6题答案】
【答案】B7.已知随机变量，若函数为偶函数，则（）A.2B.1C.0D.【7题答案】【答案】B8.以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成120°的二面角.若，，其中，则的最小值为（）A.B.C.D.【8题答案】【答案】C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对且，下列等式一定恒成立的是（）.A.B.C.D.【9题答案】【答案】ABC10.能被7整除，则整数的值可以是（）A.4B.6C.11D.13【10题答案】【答案】BD11.下列命题中，正确的命题是（）.A.已知随机变量服从二项分布，若，，则B.将一组数据中的每个数据都扩大为原来的2倍后，则方差也随之扩大为2倍C.设随机变量服从正态分布，若，则
D.若随机变量服从二项分布，则变量的标准差为【11题答案】【答案】ACD12.如图，在边长为的正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（）A.B.的最小值为C.异面直线与的距离是定值D.【12题答案】【答案】ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中，常数项为___________.【13题答案】【答案】1614.如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.过长方体的任意两个顶点的直线与长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数是____________（用数字作答）.
【14题答案】【答案】3615.已知是所在平面外一点，，且，则实数的值为____________.【15题答案】【答案】16.甲袋中装有5个红球，2个白球和3个黑球，乙袋中装有4个红球，3个白球和3个黑球，且所有球的大小和质地均相同.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出一球，则从乙袋中取出的球是红球的概率是____________.【16题答案】【答案】四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某地区3000名高三学生在某次模拟考试中的总分服从正态分布，参考数据：，，.（1）求；（2）请判断学生总分落在区间的人数.【17题答案】【答案】（1）0.8185（2）47119.若.（1）求的值；（2）求的值.【19题答案】
【答案】（1）；（2）.20.如图，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，，是线段的中点.（1）求证：平面；（2）试在线段上确定一点，使与所成角是60°.【20题答案】【答案】（1）证明见解析（2）点应在线段的中点处22.设甲、乙两人上班，每天之前到班的概率均为，假定甲、乙两人到班的情况互不影响，且任意一人每天到班的情况相互独立.（1）用表示乙四天中之前到班的天数，求随机变量的分布列和数学期望；（2）记事件为“到班的四天中，甲在之前到班的天数比乙在之前到班的天数恰好多天”，求事件发生的概率.【22题答案】【答案】（1）分布列见解析，数学期望（2）24.在一次抛硬币游戏中，甲乙两人依次抛掷，每次抛掷出现正面向上和反面向上的概率都是.甲先抛，若抛掷正面向上记1分，抛掷反面向上记-1分.设甲抛掷的得分记为数列，乙抛掷的得分记为数列，数列，的前项和分别为和.
（1）求满足“”的事件的概率.（2）求满足“，且”的事件的概率.【24题答案】【答案】（1）（2）26.如图，四边形是梯形，，，，点是平面外一点，，直线与平面所成角的大小为45°，且平面平面.（1）求证：；（2）求点到平面的距离；（3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【26题答案】【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）取的中点，连接，得四边形是矩形，得△是等边三角
形，取的中点，连接，，可证平面，得证；（2）证明平面，就是直线与平面所成的角，从而可得，由余弦定理求得．以为坐标原点，、、分别为轴、轴和轴的正方向，建立空间直角坐标系，由空间向量法计算点面距；（3）在（2）基础上，由空间向量法求二面角．【小问1详解】证明：如图，取的中点，连接，因为，，与平行且相等，是平行四边形，，所以四边形是矩形，所以.连接，所以，则△是等边三角形.取的中点，连接，则.连接，因为，所以，因为，平面，所以平面，所以.
