杨浦区2021学年度第二学期期中考试线上质量评估数学学科2022.4.14考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上.2.本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1.已知，则=_________.2.函数的反函数为________.3.若直线和互相垂直，则实数_____________.4.若（虚数单位）是实系数一元二次方程的根，则________.5.已知，，则行列式的值等于________.6.已知，，则________.7.在某次数学测验中，5位学生成绩如下：78、85、、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于________.8.已知实数x，y满足，则的最大值为_________.9.若展开式中各项系数的和等于，则展开式中的系数是________.10.三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是_______．(结果用分数表示)11.已知抛物线，斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于P、Q两点，
点Q关于x轴的对称点为，点P关于直线的对称点为，且满足，则直线l的方程为______.12.若函数在区间内既没有最大值，也没有最小值，则的取值范围是___________.二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设，则“且”是“且”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.数列{}为等差数列，且公差，若，，也是等差数列，则其公差为（）A.1gdB.1g2dC.lgD.1g15.椭圆C：的左、右顶点分别为，，点P在C上（P不与，重合）且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（）A.[，]B.[，]C.[，1]D.[，1]16.定义域是上的连续函数图像的两个端点为、，是图像上任意一点，过点作垂直于轴的直线交线段于点（点与点可以重合），我们称的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域是上的函数中，曲径最小的是（）A.B.C.D.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且AB⊥CD，取劣弧BC上一点E，使，连结PE.已知，.（1）求该圆锥体积；（2）求异面直线PE、BD所成角的大小.19.已知函数，其中.（1）若不等式的解集是，求m的值；（2）若函数在区间上有且仅有一个零点，求m的取值范围.21.如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？22.已知椭圆C：，过定点T（t，0）的直线交椭圆于P，Q两点，其中
.（1）若椭圆短轴长2且经过点（－1，），求椭圆方程；（2）对（1）中的椭圆，若，求△OPQ面积的最大值；（3）在x轴上是否存在点S（s，0）使得∠PST=∠QST恒成立？如果存在，求出s，t关系；如果不存在，说明理由.24.已知a为实数，数列{}满足：①；②.若存在一个非零常数，对任意，都成立，则称数列{}为周期数列.（1）当时，求的值；（2）求证：存在正整数n，使得；（3）设是数列{}前n项和，是否存在实数a满足：①数列{}为周期数列；②存在正奇数k，使得.若存在，求出所有a的可能值；若不存在，说明理由.
【1题答案】【答案】【2题答案】【答案】【3题答案】【答案】6【4题答案】【答案】1【5题答案】【答案】【6题答案】【答案】【7题答案】【答案】38【8题答案】【答案】7【9题答案】【答案】15【10题答案】【答案】【11题答案】【答案】【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】B【14题答案】
【答案】D【15题答案】【答案】B【16题答案】【答案】D【17题答案】【答案】（1）；（2）.【小问1详解】由勾股定理可知：，所以圆锥的体积为：；【小问2详解】过做，所以是异面直线PE、BD所成的角（或其补角），因为线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且AB⊥CD，所以，即，而，所以，因此，在中，由正弦定理可知：，，由余弦定理可知：，
所以，即异面直线PE、BD所成角的大小为.【19题答案】【答案】（1）－1；（2）【小问1详解】的解集是，得到的解集是，所以，，所以，【小问2详解】令，因为，所以，当时，，即有，因为函数在区间上有且仅有一个零点，令，根据对勾函数性质，可得，因为与有且仅有一个交点，根据对勾函数的图像性质，得或，进而可得答案为：【21题答案】【答案】（1）;（2）当A在弧MN的四等分点处时，．【详解】（1）如图，作于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，
，，（2）设则，，
即时，，此时A在弧MN的四等分点处答：当A在弧MN的四等分点处时，【22题答案】【答案】（1）；（2）；（3）存在，【小问1详解】由题意得，得，所以椭圆方程为，因为点（－1，）在椭圆上，所以，得，所以椭圆方程为【小问2详解】由题意设直线为，设，由，得，所以，所以
，当且仅当，即时取等号，所以△OPQ面积的最大值为【小问3详解】由题意设直线为，设，由，得，所以，因为∠PST=∠QST，所以，所以，所以，，所以，
所以，所以，所以，得，所以x轴上是存在点S（s，0）使得∠PST=∠QST恒成立，此时【24题答案】【小问1详解】解：当时，，所以；【小问2详解】证明：当时，，所以，在数列中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列是以为首项，为公差的递减的等差数列，即，所以，当足够大时，总可以找到，使，当时，则存在，使得，当时，则存在，使得，综上所述存在正整数n，使得；【小问3详解】解：当时，，故此时数列是以2为周期的周期数列，当时，则，由（2）得，存在正整数n，使得，因此此时不存在不存在，
所以此时数列数列不是周期数列，所以时，数列是以2为周期的周期数列，，所以，又因，所以，所以，所以存在，使得.
