绝密★启用前2022年茂名市高三级第二次综合测试数学试卷本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1已知集合，，则（）A.B.C.D.2.已知等差数列的前n项和为，若，，则（）A.6B.7C.8D.93.平面非零向量，满足，，则与的夹角为（）A.B.C.D.4.已知，则不等式的解集为（）A.B.C.D.5.由国家信息中心“一带一路”大数据中心等编写的《“一带一路”贸易合作大数据报告（2017）》到2016年这六年中，中国与“一带一路”沿线国家出口额和进口额图表如下，下列说法中正确的是（）中国与“一带一路”沿线国家出口额和进口额（亿美元）
A.中国与沿线国家贸易进口额的极差为1072.5亿美元B.中国与沿线国家贸易出口额的中位数不超过5782亿美元C.中国与沿线国家贸易顺差额逐年递增（贸易顺差额＝贸易出口额－贸易进口额）D.中国与沿线国家前四年的贸易进口额比贸易出口额更稳定6.双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A·h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流，放电时间为（）A.28hB.28.5hC.29hD.29.5h7.已知，，则的值为（）A.B.C.D.8.已知双曲线C：的右焦点为F，左顶点为A，M为C的一条渐近线上一点，延长FM交y轴于点N，直线AM经过ON（其中O为坐标原点）的中点B，且，则双曲线C的离心率为（）A.2B.C.D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知复数，，若为实数，则下列说法中正确有（）A.B.C.为纯虚数D.对应的点位于第三象限10.已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（）A.所有奇数项的二项式系数和为B.所有项的系数和为C.二项式系数最大的项为第6项或第7项D.有理项共5项11.已知函数，下列说法正确的有（）A.关于点对称B.在区间内单调递增C.若，则D.的对称轴是12.棱长为4的正方体中，E，F分别为棱，的中点，则下列说法中正确的有（）A.三棱锥的体积为定值B.当时，平面截正方体所得截面的周长为C.直线FG与平面所成角的正切值的取值范围是D.当时，三棱锥的外接球的表面积为三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知正实数m，n满足，则的最小值为__________．14.正三棱锥S-ABC的底面边长为4，侧棱长为，D为棱AC的中点，则异面直线SD与AB所成角的余弦值为__________．15.以抛物线的焦点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点，已知，则__________．16.已知函数，若存在实数t使得函数有7个不同的零点，则实数a的取值范围是__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，．（1）求C；（2）求△ABC的面积．19.冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得3分，冰壶的重心落在圆环A中，得2分，冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，．
（1）求甲、乙两人所得分数相同的概率；（2）设甲、乙两人所得的分数之和为X，求X的分布列和期望．21.如图所示的圆柱中，AB是圆O的直径，，为圆柱的母线，四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形，且，E，F分别为，的中点．（1）证明：而ABCD；（2）求平面与平面所成锐二面角余弦值．23.已知数列满足，，．（1）证明：数列是等比数列；（2）若，求数列的前项和．25.已知椭圆C：的上顶点为A，右焦点为F，原点O到直线AF的距离为，△AOF的面积为1．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F的直线l与C交于M，N两点，过点M作轴于点E，过点N作轴于点Q，QM与NE交于点P，是否存在直线l使得△PMN的面积等于
，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．27.已知函数在点处的切线方程为．（1）求函数在上的单调区间；（2）当时，是否存在实数m使得恒成立，若存在，求实数m的取值集合，若不存在，说明理由（附：，）．
【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】A【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】BC【12题答案】【答案】ACD【13题答案】【答案】17【14题答案】【答案】【15题答案】
【答案】【16题答案】【答案】【17题答案】【答案】（1）（2）【小问1详解】解：因为，所以由正弦定理得，由余弦定理得，又，则；【小问2详解】因为，，所以，即，因为，所以，所以，所以．【19题答案】【答案】（1）（2）分布列见解析；期望为【小问1详解】
由题意知甲得0分的概率为，乙得0分的概率为，所以甲、乙两人所得分数相同的概率为．【小问2详解】X可能取值为0，1，2，3，4，5，6，则，，，，，，，所以，随机变量X的分布列为：X0123456P所以．【21题答案】【小问1详解】取的中点G，连接EG，FG，AC，因为，平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD，因为，，所以四边形AGFC是平行四边形，，又平面ABCD，平面ABCD，
所以平面ABCD，因为，所以平面平面ABCD，因为平面ABCD，所以平面ABCD．【小问2详解】设，由，得，因为，所以，由题意知CA，CB，两两垂直，以C为坐标原点，分别以CA，CB，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，设平面的一个法向量为，由得，取，得，连接BD，因为，，，所以平面，所以平面的一个法向量为，
所以，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．【23题答案】【小问1详解】由得：，又，数列是以为首项，为公比的等比数列.【小问2详解】由（1）得：，则，，，…，，各式作和得：，又，，，当为偶数时，；当为奇数时，；综上所述：.【25题答案】
【答案】（1）（2）存在；或【小问1详解】由题意知，，因为△AOF的面积为1，所以．又直线AF的方程，即，因为点O到直线AF的距离为，所以，解得，，，所以椭圆C的方程为．【小问2详解】依题意，当直线MN斜率为0时，不符合题意；当直线斜率不为0时，设直线MN方程为，联立，得，易知．设，，则，，因为轴，轴，所以，，所以直线QM：①，直线NE：②，联立①②解得，
因为，ME与直线平行，所以，因为，所以，由，得，解得，故存在直线l的方程为或，使得△PMN的面积等于．【27题答案】【答案】（1）在，上单调递增，在，上单调递减（2）存在；m的取值集合为【小问1详解】由题意知，即，得，因为，所以，得，所以，当时，令，得，令，得，当时，令，得，令，得，所以在，上单调递增，在，上单调递减．【小问2详解】
假设存在实数m，使在上恒成立，即在上成立，令，只需．注意到，所以若在上成立，必为的最大值点，从而为的极大值点，必有．由，得，解得．下面证明符合题意．当时，，令，则．（ⅰ）当时，，所以上单调递增；当时，，所以单调递减，所以当时，，所以在上单调递增；由在和上单调递增得，在上单调递增．（ⅱ）当时，令，由，得，上单调递增，因为，，所以由零点存在定理知存在，使得，当时，，即，单调递减，即单调递减；
当时，，即，单调递增，即单调递增；因为，，所以由零点存在定理得，存在，使得，当时，，单调递减；当时，，单调递增．综合（ⅰ）（ⅱ）的结论，又，，所以，符合题意．综上所述：m的取值集合为．
