河北省高二年级4月联考数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：选择性必修第二册，选择性必修第三册第六、七章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知3为a，b的等差中项，2为a，6的等比中项，则（）A．B．C．1D．22．从只有2张有奖的8张彩票中不放回地随机逐张抽取，设X表示直至抽到中奖彩票时的次数，则（）A．B．C．D．3．设函数，则（）A．B．C．D．4．2022年北京冬奥会的顺利召开，引起大家对冰雪运动的关注．若A，B，C三人在自由式滑雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有（）A．12种B．16种C．64种D．81种5．已知随机变量X的分布列如下表：X012Pmn
若，则（）A．5B．4C．D．6．设等差数列的前n项和为，若，则当取得最小值时，n的值为（）A．6B．6或7C．8或9D．97．将7名防疫工作人员随机分配到甲、乙、丙3个单位中的某1个单位进行防疫抽检，每个单位至少2人，则不同的分配方法有（）A．572种B．580种C．630种D．840种8．已知等比数列的公比为2，若，则（A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列式子正确的是（）A．B．C．D．10．设，则（）A．B．C．D．11．已知数列的前n项和为，满足，则（）A．B．C．D．12．已知均为锐角，，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．的展开式中，二项式系数最大的项是第_______项，其系数是_______．（用数字作答，本题第一空2分，第二空3分）14．曲线上的点到直线的最短距离是________．15．给图中A，B，C，D，E
五个区域填充颜色，每个区域只填充一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则共有_________种不同的方案．16．有红、黄、蓝3套卡片，每套5张，分别标有字母A，B，C，D，E．若从这15张卡片中抽取5张，且这5张卡片的字母各不相同，则这5张卡片三色齐全的概率为_________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）4名男生和4名女生（包含甲、乙）站成一排表演节目．（1）若这4名女生不能相邻，有多少种不同的排法？（2）已知这4名女生身高互不相等，若按身高从高到低排列，则有多少种不同的排法？（3）若甲不能站在左端，乙不能站在右端，有多少种不同的排法？18．（12分）已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）求曲线过坐标原点的切线方程．19．（12分）车辆定位系统由全球卫星定位系统（GPS）和地理信息系统（GIS）组成，可以实现对汽车的跟踪和定位，某地区通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度．（1）预估该地区某辆家用汽车导航的精确度在的概率；（2）记Y表示随机抽取的10辆家用汽车中导航精确度在之外的汽车数量，求及Y的数学期望．附：若，则，，．
20．（12分）在正项数列中，已知．（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前n项和为，求使得的整数n的最小值．21．（12分）甲，乙两名羽毛球爱好者进行杀球训练，甲每次杀球成功的概率为，乙每次杀球成功的概率为．已知甲、乙各进行2次杀球训练，记X为甲、乙杀球成功的总次数，假设甲、乙两人杀球是否成功相互没有影响，且每次杀球训练相互独立．（1）求的概率；（2）求X的分布列及数学期望．22．（12分）已知函数有两个极值点．（1）求a的取值范围．（2）证明：．河北省高二年级4月联考数学参考答案1．A由题可得，则．2．D．3．B．令．则．则，所以．4．C每个人都可在四项运动中选一项，即每人都有四种选法，可分三步完成，根据分步乘法计数原理，不同的选法共有种．5．A由题可知，解得，则
，故．6．A设等差数列的公差为d，因为，所以，所以，所以．故当时，取得最小值．7．C根据题意将这7名防疫工作人员以2，2，3“形式分配到甲，乙、丙3个单位，共有种分配方法．8．D因为，所以，则，则．9．ABC，所以．10．BCD令，解得，令，得，令，得，故，即，，故选BCD．11．AB由，可得，当n为奇数时，，即，当n为偶数时，，所以当时，，当时，，解得．12．AC由，可得，令，则，因为为锐角，且单调递增，所以，则．
13．5；70二项式的展开式共有9项，根据二项式系数的性质，可得第5项的二项式系数最大，所以二项式系数最大的项是，且其系数为70．14．设与平行的直线l与相切，则切线l的斜率，因为，所以，由，得．当时，，即切点坐标为，则点到直线的距离就是直线上的点到直线的最短距离，所以点到直线的距离，所以曲线上的点到直线的最短距离为．15．72当B，E同色时，共有种不同的方案，当B，E不同色时，共有种不同的方案，所以共有72种不同的方案．16．设这5张卡片的字母互不相同为事件A，这5张卡片三色齐全为事件B．，依题意，5张卡片的颜色可分两类：3，1，1和2，2，1．所以，所以．17．解：（1）这4名女生不相邻的排法有种．3分（2）这4名女生按身高从高到低的排法有种．6分（3）①甲站在右端，其余6人全排列，有种排法，8分②甲不站在右端，有6种排法，乙有6种排法，其余6人全排，有种排法．故一共有种排法．10分18．解：（1），则，2分又，3分
所以曲线在处的切线方程为．5分（2）设切点为，则，6分则切线方程为，7分切线过坐标原点，则，8分整理可得，即，9分解得，则．11分故所求切线方程为．12分19．解：（1）由，易知，1分预估该地区某辆家用汽车导航的精确度在的概率，则预估该地区某辆家用汽车导航的精确度在的概率为0.8186．5分（2），7分则．8分，10分故．12分20．解：（1）因为，所以数列是等差数列，2分公差，3分故，即．5分
（2），7分，10分令，则，11分故使得的整数n的最小值为100．12分21．解：（1）甲2次杀球成功，且乙2次杀球失败的概率，1分甲2次杀球恰有1次成功，且乙2次杀球恰有1次成功的概率，2分甲2次杀球失败，且乙2次杀球成功的概率，3分故的概率．4分（2）由题意可知X的所有取值是0，1，2，3，4．5分，6分，7分，8分．9分则X的分布列为X01234P10分故．12分
22．解：（1）由，得．1分记，由题意知，在上存在两个零点，则，当时，在上单调递增，不符合题意，2分故，令，解得，则在上单调递减，在上单调递增，所以，则，所以a的取值范围为．5分（2）由（1）可知则两式相减可得．7分要证，即证．即．9分令，即，设．则，所以在区间上单调递增，则，即，故成立．12分
