大联考2021—2022学年（下）高一年级期中考试数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z满足，则z的虚部为（）A.B.C.D.2.已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的周长为（）A.9B.10C.12D.143.已知向量，若，则实数（）A.1B.C.D.4.一个正四棱锥的侧棱长为10，底面边长为，该四棱锥截去一个小四棱锥后得到一个正四棱台，正四棱台的侧棱长为5，则正四棱台的高为（）A.5B.4C.3D.25.已知为实数，则“”是“复数为纯虚数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.如图所示，已知是圆O的直径，且，点C，D是半圆弧的两个三等分点，
则（）A.lB.2C.4D.67.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美，如图是一个半正多面体，它的表面由正方形和等边三角形组成，它可由正方体截去八个一样的四面体得到，且所有顶点都在该正方体的棱上，从正面观察该图形，得到的平面图形为（）A.B.C.D.8.下列说法中正确的个数为（）①各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；②各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥；③各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；④底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥．AB.C.D.
9.下列命题正确是（）①若复数z满足，则；②若复数z满足，则z是纯虚数；③若复数，满足，则；④若复数，满足且，则．A.①③B.②④C.①④D.②③10.如图，一座垂直建于地面的信号发射塔的高度为，地面上一人在A点观察该信号塔顶部，仰角为，沿直线步行后在B点观察塔顶，仰角为，若，此人的身高忽略不计，则他的步行速度为（）AB.C.D.11.设平面向量满足与的夹角为，则的最大值为（）AB.C.D.12.已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，则球O的表面积为（）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，复平面内表示复数的点位于第三象限内，则的取值范围是____________14.有一块空地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形（如图所示），
//，则这块空地的实际面积为_______．15.已知向量满足，，则_______．16.如图所示，在平面四边形中，已知，则的最大值为_______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知向量满足与的夹角为．（1）若，求实数k的值；（2）若，求与的夹角的余弦值．19.如图，在中，，以C为圆心的圆弧与相切于点D，将阴影部分绕所在直线旋转一周得到一个旋转体，求这个旋转体的表面积和体积．
20.已知复数和它的共轭复数满足．（1）求z；（2）若z是关于x的方程的一个根，求复数的模．22.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B为锐角，且．（1）求B；（2）若的面积为，求外接圆的半径．24.如图所示，正四棱台两底面边长分别为4和8．（1）若其侧棱所在直线与上、下底面中心的连线夹角为，求该四棱台的表面积；（2）若其侧面积等于两底面面积之和，求该四棱台的体积．参考公式：上下底面面积分别为，高为，26.在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，已知．（1）证明：；（2）若，求面积的最大值．
【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】D【9题答案】【答案】B【10题答案】【答案】D【11题答案】【答案】B【12题答案】【答案】D【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】##【15题答案】
【答案】-2【16题答案】【答案】56【17题答案】【答案】（1）（2）小问1详解】当时，设，则，∴，且，∴.【小问2详解】由题意得，∴，∴．∴，设与的夹角为，则．【19题答案】【答案】表面积为，体积为【详解】如图，连接，因为D是切点，是半径，所以，由已知可得．
阴影部分绕所在直线旋转一周得到的旋转体，可以看作是一个圆锥挖去一个半球所得的几何体，圆锥的底面半径为2，高为，挖去的半球的半径为．该几何体的表面包含一个圆锥侧面，一个半球面和一个圆环，所以其表面积，体积.【20题答案】【答案】（1）；（2）1.【小问1详解】设，则，，所以，即，所以.【小问2详解】将代入已知方程可得，整理可得，所以，解得，所以，又，所以复数的模为1.【22题答案】【答案】（1）；（2）.【小问1详解】解：由，得．
因为B为锐角，所以，所以.【小问2详解】解：由条件得，得，由余弦定理可得，因为，所以，解得，设外接圆的半径为R，则，所以.【24题答案】【答案】（1）；（2）.【小问1详解】设分别为正四棱台上、下底面的中心，连接，过作于E，过E作于F，连接，如图，则，为正四棱台的斜高，依题意，在中，，，在等腰中，，在中，斜高，于是得正四棱台侧面积
，而正四棱台的上下底面面积分别为，，所以正四棱台的表面积.【小问2详解】由（1）知，，解得，又，因此，，即四棱台的高，所以正四棱台的体积.【26题答案】【小问1详解】，即，由正弦定理得，∵，∴，∴，∴，∴，即.【小问2详解】由已知得，,∴的面积，由余弦定理知，整理得，∴.当时，S取得最大值，最大值为．
