东北三省三校2022年高三数学（文）第二次联合模拟考试试卷（PDF版附答案）

,,,,哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2022年高三第二次联合模拟考试文科数学试题及答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．21．已知集合Mx=xN{log=xx∣∣1},{1}，则MN=（C）2A．(−,1]B．(−,2)C．[)−1,2D．(0,1]43i−2．复数z=（其中i为虚数单位）的模为（B）2i−A.1B．5C．25D．522xy3.双曲线−=1的渐近线方程为（B）1694353A．y=xB．y=xC．y=xD．y=x343524.命题“x2，xx−+440”的否定是（D）22A．x2，xx−+440B．x2，xx−+44022C．x2，xx−+440D．x2，xx−+4405.为研究变量xy,的相关关系，收集得到下面五个样本点(,)xy：x99.51010.511y1110865若由最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为yˆ=−3.2xa+ˆ，则据此计算残差为0的样本点是（B）A．(9,11)B．(10,8)C.(10.5,6)D.(11,5)6.将函数yx=+sin(4)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位，所得图象对应的函数66（A）A．在区间(0,)上单调递增B．在区间()−，上单调递减3612C．图象关于点(,0)对称D．图象关于直线x=对称3127．下列说法错误的是(C)．．−1−1A.由函数yxx=+的性质猜想函数yxx=−的性质是类比推理B.由ln10,ln21,ln32猜想lnn−n1(nN*)是归纳推理C.由锐角x满足sinxx及0，推出sin是合情推理1221212试卷第1页，共10页,D.“因为cos()−cos=xx=ycosx恒成立，所以函数是偶函数”是省略大前提的三段论推理18．在ABC中，角ABC,,的对边分别为abc,,,若a=4,sin2sin,AC=cosA=−，则ABC的面积S=（D）4315A．15B．215C．1D．49.已知圆锥的顶点为点S，高是底面半径的2倍，点A,B是底面圆周上的两点，当SAB是等边三角形时面积为33，则圆锥的侧面积为（D）A.3B.23C.33D.4310．定义域为R的奇函数fx()满足fx(f)x=−+(2)，则f(2022)=(A)A.0B.-1C.1D.不确定22xy11.椭圆Ca:1(b0)+=的左焦点为点F，过原点O的直线与椭圆交于PQ,两点，若PFQ=120，22abOFOP==3,7，则椭圆C的离心率为（B）33236A.B.C.D.2333112.已知实数a,b,c满足a2，aalna2ln2−=−2,b2，bblnb2ln2−=−2,c，2111cclncln−=−,则（D）222A.cbaB.bcaC.acbD.abc二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.盒子中装有编号为01234,,,,的五个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是9.1014.在爱尔兰小说《格列佛游记》里，有格列佛在小人国一顿吃了1728份小人饭的叙述，作者为什么要使用这么复杂的数字呢？许多研究者认为，之所以选用这个数字，跟英国人计数经常使用的十二进制有关系.中国文化中，十二进制也有着广泛应用，如12地支,12个时辰，12生肖….十二进制通常使用数字0-9以及字母AB,表示，其中A即数字10，B即数字11.对于下面的程序框图，若输入a=1728，k=12，则输出的结果为1000.此题答1000也可以给分.(12)试卷第2页，共10页,15.在正六边形ABCDEF中，点G为线段DF上的动点（包含端点），若CGCB=+CDR(,)，则+的取值范围是[,]14.16.如图，多面体ABCDEF中，面ABCD为正方形，DE⊥平面ABCD，ECFDE//，且AB=DE=2,CF=1,G为棱BC的中点，H为棱DE上的动点,FH有下列结论：①当H为棱DE的中点时，GH//平面ABE；②存在点H，使得GHAC⊥；③三棱锥BGHF−的体积为定值；④三棱锥ABCF−的外接球表面CD积为9.其中正确的结论序号为①③④.（填写所有正确结论的序号）GAB三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）如图，正三棱柱ABCABC−中,BABB==2,点D是棱AA的中点.11111（1）求证:BDBC⊥；1（2）求点B到平面DCB的距离.1（1）证明：设AB的中点为M，连接BMCM,1正方形ABBABB中，BABM==AD，BBMBAD,≌，⊥BDBM，11111MAA⊥平面ABC，CM平面ABC⊥AACM，11又ACBCM=⊥,AB为CMAB中点，，ABAAA=，⊥CM平面ABBA，------------------3分111BD平面ABBA⊥BDCM，11BMCMMBM=BCM,,平面CM平面BCM，⊥BD平面BCM11111BC平面BCM，⊥BDBC------------------6分111（2）设点B到平面DCB的距离为h，11V=S=hV，------------------7分BDCB−13DCB1CBDB−11BD11DC===BC5,22=SDCB=2236------------------8分123由（1）CM⊥平面ABBA11，CM==23为CBDB−1的高21123又S==222,V==23------------------10分BDB12CBDB−1331236=h，=h2，故点B到平面DCB的距离为2.------------------12分133试卷第3页，共10页,18.（本小题满分12分）五常市是黑龙江省典型农业大县（市）、国家重要的商品粮食基地，全国粮食生产十大先进县之一，也是全国水稻五强县之一，被誉为张广才岭下的“水稻王国”．五常大米受产区独特的地理、气候等因素影响，干物质积累多，直链淀粉含量适中，支链淀粉含量较高。由于水稻成熟期产区昼夜温差大，大米中可速溶的双链糖积累较多，对人体健康非常有益．五常大米根据颗粒、质地、色泽、香味等评分指标打分，得分在区间(0,25],(25,50],(50,75],(75,100]内分别评定为四级大米、三级大米、二级大米、一级大米．某经销商从五常市农民手中收购一批大米，共400袋（每袋25kg）,并随机抽取20袋分别进行检测评级，得分数据的频率分布直方图如图所示．频率组距0.0140.012a0.0040255075100分数（1）求a的值，并用样本估计,该经销商采购的这批大米中,一级大米和二级大米的总量能否达到采购总量一半以上；（2）该经销商计划在下面两个方案中选择一个作为销售方案：方案1：将采购的400袋大米按每袋300元不分等级直接售出；方案2：将采购的400袋大米逐袋检测分级，并将每袋大米重新包装成5包（每包5kg）,检测分级所需费用和人工费共8000元，各等级大米每包的售价和包装材料成本如下表所示：大米等级四级三级二级一级售价（元/包）55688598包装材料成本（元/包）2245该经销商采用哪种销售方案所得利润更大？通过计算说明理由．解：（1）(0.004+0.012+0.014+a)×25=1∴a=0.010------------------2分(0.014+0.010)×25=0.6>0.5∴估计经销商采购的这批大米中，一级大米和二级大米的总量能够达到采购总量的一半以上.------------------4分（2）若经销商采用方案1，则收入为400×300=120000元.------------------5分若经销商采用方案2400袋大米中四级大米约400×0.004×25=40袋，40×5=200包三级大米约400×0.012×25=120袋，120×5=600包二级大米约400×0.014×25=140袋，140×5=700包一级大米约400×0.010×25=100袋，100×5=500包------------------7分400袋大米共卖200×55+600×68+700×85+500×98=160300元400袋大米的包装袋成本为200×2+600×2+700×4+500×5=6900元∴收入为160300-6900-8000=145400元------------------10分145400>120000，且400袋大米成本相同，∴该经销商采用方案2所得利润更大.------------------12分试卷第4页，共10页,19．（本小题满分12分）已知等差数列an公差不为零，a1+a2+a3=a5，aa23=a8，数列bn各项均为正数，22b1=1，bnbnbbnn−=32++11．（1）求数列an，bn的通项公式；（2）若+6≥an恒成立，求实数的最小值.bn+1解：（1）设等差数列{}an的公差为d，3a3d4+a=d+，11由条件，------------------1分()(ada2)++=7d+ad，111a=0a=1a=1111解得，或，d0，d=0d=2d=2∴annn=+11)2（−=21−------------------3分221∵3b2nbb0nn++11+bn−=，∴(b)(3nbn++bn11)n0b+−=，∵bn0，∴bbnn+1=3b1bb=10,0,，n+1又1n=，b3n1∴{}bn是以1为首项，为公比的等比数列.3n−11∴bn=------------------6分31n−127n−（2）bnannn=a=()n−,21,+6621+−，即n，即n恒成立3bn+1133------------------7分27n−25n2n−7n−4(−−4)设c=，则cc−=−=，------------------9分nnnn+1nn++n113333即nc=c1,2,3==nc时4c5,*nn+,nn1+n1+n1n；nN时cc；时1=n45或时，c=为{}c的最大项，------------------11分nn8111∴，故实数的最小值为.------------------12分8181试卷第5页，共10页,a20.（本小题满分12分）设函数f(x)=(x+a)lnx−(x+1).2（1）若a=2，过点A(−2,−8)作曲线y=f(x)的切线，求切点的坐标；（2）若f(x)在区间(2,+)上单调递增，求整数a的最大值.2解：（1）afx==2+x时()x−x+，fx(=2)ln+xx(1),'()ln(0)，---------------1分x2设切点为Pxy(,)，则点P处切线方程为：yx−x+x(2)ln+xxx+=+(1)−(ln)()，0000000x02将A(2,8)−−代入得：−−8(+2)ln+xx+x=x+(x1)−−(ln)(2)，00000x0−4即x−=72−，解得xx==1,4或，----------------------------3分000x0xyfx==1时=−()xy，fx=2;=4=()12ln25−时，，000000所求切点坐标为(1,-2)和(4,12ln2-5).----------------------------4分aaa（2）fx()xa=+()ln−x+xgx=(1),=+fx()+'()1ln−xx(记0)22xaa(2,)+()2上()fx=x+ln单gx1调0+−x递增，时，恒成立，-----------------5分x21axa−gx'()=−=22xxx①20,−2aa即时，2xxa−2时0,x0,gx，'()gx0,()(2,+)在上单调递增，aagx=()+g+−(2)ln2=+1ln210,22故aZa,2时满足条件.---------------------------7分②20,−2aa即时，22(2,)a上xa−0,x0,'()0,()gxgx单调递减；(,a+)上xa−0,x0,'()gx0,()gx单调递增，a=gx=()+−ga()aln2,---------------------------9分min2a11记ha()aha=lnha+−2+,(2,=−)上'()0,()单调递减，22a2115155h(8)=ln82−lne−=20,(9)h=(4ln35)−=(ln81ln−e)(ln81ln())−02222aZ,3a8时满足条件.---------------------------11分由①②知，满足条件的整数a的最大值为8.---------------------------12分试卷第6页，共10页,221.（本小题满分12分）已知点F为抛物线Ey:=2pxp(0)的焦点，点P(3,2),|−=PF|25,若过点P作直线与抛物线E顺次交于AB,两点，过点A作斜率为1的直线与抛物线的另一个交点为C.（1）求抛物线E的标准方程；（2）求证：直线BC过定点.pp2解：（1）焦点FFP(,0),(3)4=25−−+=pp=02222抛物线E的标准方程为yx=4-----------------2分（2）显然，直线AB斜率存在，设AB的方程为y−=2kx(+3)ykx−=2(3)+22由2得，kyyk−k++4kk812=0,=0,16(3−−+21)0,yx=448设Axy(,),(,11Bxy22)，则y1+y2=,yy12=+12，yy12−12=2(y1+y2)---------①kk2y1直线AC的方程为yy−x=−，142y1yy−x=−1222由4得，yyy−y+4y−y4=0=1644−11−11)0，(，yx2=4设Cxy(,33)则yy13+=4---------②由①②得(4)−12−yy=2(432−32+2y),2(3y2y+3y=yy+)20---------③-----------------4分22y3（i）若直线BC没有斜率，则yy23+=0，又2()y202y3yy+23=+，=yx33==20，5,4=BC的x方程为5.----------------5分yy−423（ii）若直线BC有斜率，为=，xxy−+y232324y2直线BC的方程为y−y2=()x−，即4x−(y2+yy3)+yy23=0，yy+423将③代入得4(x)y−2(yy+)200+2+3y2−y3=，+()(2y−23y+y)4(−x=5)0，故直线BC有斜率时过点(5,2).由（i）（ii）知，直线BC过点(5,2).-----------------8分试卷第7页，共10页,11(3)S=|PQ|y−y=8y−y=4y−y11212122211SPQ=y−y=|y|8yy4y4y4−y=−=+−-----------------9分2232323122224816324321−−kk+由（2）得y1+y2=,yy12=+12，yy12−=−−=248kkkkk||21kkk=k0k，16(3−−+−21)0,1,0,且322S1yy12−432−1−3k+2k−1k−k+===-----------------10分Syyk+−−414212||k4−k1设kut−=1,=，u2S1−(u+2)(3u+2)3u+8u+422==−=−4t−8t−=−34(t+1)+122Suu21312−1,0,k(,1)kt−1且)−−（，-−4(++t1)1(0,1)，322S1故的取值范围是(0,1).-----------------12分S2（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.[选修4-4:坐标系与参数方程]5在平面直角坐标系中以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点AB,的极坐标为AB(2,),(2,)，圆C以144AB为直径，直线l的极坐标方程为cos()6+=.4（1）求圆C及直线l的直角坐标方程；12xx=，2（2）圆C1经过伸缩变换得到曲线C2，设点P为曲线C2上的任意一点，求点P到l距离的取值范围.6yy=2解(1)极点OAB为的OAOB中点，C==2,2=1的极坐标方程为,2222由=+xyC,得1的直角坐标方程为xy+=4,-----------------3分由cos(+)=6,得cos−sin−62=0,4cos=x,sin=y,l的直角坐标方程为x−−y62=0.-----------------5分试卷第8页，共10页,2xx=，xx=2222224(2)由得2，代入xy+=4,得24xy+=6yy=6yy=62xy22x=2cos,所以C2的普通方程为+=1，C2的参数方程为(为参数），------------7分26y=6sin设P(2cos,6sin)为C2上任意一点，点P到l的距离为d，22cos（+-2）62cos-6sin-623则d==−+=62cos()223所以当cos(+)18=−=时,d，当cos()1+=4=时，dmaxmin33所以P到l的距离的取值范围是4,8------------------10分23.[选修4-5:不等式选讲]已知函数fx()x2x=1−−21+的值域为Mab=,.2222（1）若xMyM,，求证：xyxy+164+4；（2）若yaz++byz2,1，求证：z1.12,x−，211解：（1）fx()=−4,x−x，221−2,x，211fx()[在,]−上单调递减，所以fx()的值域为−2,2-------------------------2分22方法二：21xx−−xx21+(21)(2−−1)+2=11，当且仅当(21)(2xx−+1)0，即x−或x等号取到22−221−−21xx2+，所以fx()的值域为−2,2222222222原不等式xy−4x−4y+160xy（−4)4(4+−y)0（−−4)(4yx)022−2x2,2−y2,(4−y)(4−x)0成立，2222xy+164x+4y成立.-------------------------5分试卷第9页，共10页,（2）由（1）得ab=−2,=2，−y2z2,2yz+1=5+z(2yz−)2(−++yz2)yz−2+=2y2z1225，z1.-------------------------10分试卷第10页，共10页