2022北京房山高三一模数学本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，则（）（A）（B）（C）（D）（2）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（）（A）5（B）3（C）5－4i（D）3－4i（3）若，且则下列不等式一定成立的是（）（A）（B）（C）（D）（4）若的展开式中的常数项为，则（）（A）2（B）－2（C）1（D）－1（5）已知为抛物线上一点，到抛物线的焦点的距离为4，到轴距离为3，则（）（A）（B）1（C）2（D）4（6）在等差数列中，，则（）（A）（B）9（C）10（D）25,（7）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：m/s）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量，则鲑鱼以1.5m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为（）（A）2600（B）2700（C）26（D）27（8）已知函数，则“”“是为奇函数”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）已知直线被圆所截的弦长不小于2，则下列曲线中与直线一定有公共点的是（）（A）（B）（C）（D）（10）已知是非空数集，若非空集合满足以下三个条件，则称为集合的一种真分拆，并规定与为集合的同一种真分拆．①；②；③的元素个数不是中的元素．则集合的真分拆的种数是（）（A）5（B）6（C）10（D）15第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）若双曲线的一条渐近线方程为，则_______．（12）已知是单位向量，，且，则_______；_______．（13）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则_____；若在区间上的最小值为，则的最大值为_____．,（14）函数的图象在区间上连续不断，能说明“若在区间上存在零点，则”为假命题的一个函数的解析式可以为______．（15）如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动．给出下列四个结论：①；②存在一点，；③若，则面积的最大值为；④若到直线的距离与到点的距离相等，则的轨迹为抛物线的一部分．其中所有正确结论的序号_________．,三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）如图，在三棱柱中，平面，．（I）求证：平面；（I）若，求：①与平面所成角的正弦值；．②直线与平面的距离、（17）（本小题14分）在中，，．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得存在且唯一，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：边上的高为．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．（18）（本小题14分）良好的生态环境是最普惠的民生福祉，北京市集中开展大气污染防治以来，在经济社会快速发展的同时实现了大气主要污染物浓度持续下降．2021年，经过全市共同努力，空气质量首次全面达标，大气污染治理取得里程碑式突破，下表是2021年每个月空气质量优良和污染的天数统计．,月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月合计空气质量优良天数241811272321262927292330288空气质量污染天数7102038952327177（Ⅰ）从2021年中任选1天，求这一天空气质量优良的概率；（Ⅱ）从2021年的4月、6月和9月中各任选大，设随机变量表示选出的3天中空气质量优良的天数，求的分布列；（Ⅲ）在2021年的1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月中，设空气质量优良天数的方差为，空气质量污染天数的方差为会．试判断，之的大小关系．（结论不要求证明）,（19）（本小题14分）已知函数．（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）若在区间存在极小值，求的取值范围．（20）（本小题15分）已知椭圆的离心率为，长轴的两个端点分别为．（Ⅰ）求椭圆的方程：（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于（不与重合）两点，直线与直线交于点．求证：．（21）（本小题14分）若无穷数列满足如下两个条件，则称为无界数列：①；②对任意的正数，都存在正整数，使得．（Ⅰ）若，判断数列，是否是无界数列；（Ⅱ）若，是否存在正整数，使得对于一切，都有成立？若存在，求出的范围；若不存在说明理由；（Ⅲ）若数列是单调递增的无界数列，,求证：存在正整数，使得．,参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。12345678910BACDCBDACA二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）2（12）;（13）（14）答案不唯一，如(x－1)2（15）①③三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）（Ⅰ）在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形AA1CC1为平行四边形.所以AC//A1C12因为AC平面BA1C1，A1C1平面BA1C1，所以AC//平面BA1C12(4)（Ⅱ）因为BB1⊥平面ABC，AB,BC平面ABC，所以BB1⊥AB,BB1⊥BC.又AB⊥BC，所以AB,BB1,BC两两互相垂直.如图建立空间直角坐标系B－xyz，1(5)则A(1,0,0),B1(0,1,0),C1(0,1,1),A1(1，1，0)，B(0,0,0).所以，,6(6)设平面BA1C1的法向量为n＝(x,y,z)，则，即令x＝1，则y＝－1,z＝1.于是n＝(1,－1,1)3（9）①,设直线AA1与平面BA1C1所成的角为θ，则2（11）所以AA1与平面BA1C1所成角的正弦值为②因为AC//平面BA1C1，所以直线AC与平面BA1C1的距离就是点A到平面BA1C1的距离1（12）设A到面BA1C1的距离为h，则.2（14）（17）（本小题14分）（Ⅰ）由正弦定理及2得asinB＝acosB.所以tanB＝1.2因为0º＜∠B＜180º，所以∠B＝45º.1（5）（Ⅱ）选择条件①②，∆ABC存在且唯一，解答如下：由，及0º＜∠A＜135º，得∠A＝120º1（6）由正弦定理及得，解得3（9）方法1：由A＋B＋C＝180º，得∠C＝15º.,3（12）所以2（14）方法2：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得3＝2＋c2－2即，解得所以选择①③，∆ABC存在且唯一，解答如下：由，及，得1（6）因为AB边上的高为，所以2（8）由正弦定理及得，解得：3（9）（以下与选择条件①②相同）（18）（本小题14分）（Ⅰ）记事件A为“从2021年中任选1天，这一天空气质量优良”，则4（Ⅱ）X的所有可能取值为0,1,2,3.1,方法1：记事件B为“从4月任选1天，这一天空气质量优良”，事件C为“从6月任选1天，这一天空气质量优良”,事件D为“从9月任选1天，这一天空气质量优良”.由题意知，事件B,C,D相互独立，且，2所以1111方法2：所以X的分布列为:X0123P1,（Ⅲ）2（19）（本小题14分）（Ⅰ）当a＝0时，则.1所以，2所以曲线在x＝1处的切线方程为1（4）（Ⅱ）1（5）令.则.1（6）解,得.g'(x)与g(x)的变化情况如下：x(0，1)1(1,e)g'(x)-0+g(x)↘极小值↗所以函数g(x)在区间(0,e]上的最小值为g(1)＝1－a2（8）方法1：①当a≤1时，g(1)＝1－a≥0，所以g(x)≥0恒成立，即f'(x)≥0恒成立，所以函数f(x)在区间(0,e]上是增函数，无极值，不符合要求.1（9）②当1＜a＜1＋时，因为g(1)＝1－a＜0,g(e)＝1＋－a＞0，所以存在，使得.,x(1，x0)x0(x0,e)g(x)(f'(x))-0+f(x)↘极小值↗所以函数f(x)在区间(1,e)上存在极小值f(x0)，符合要求4（13）③当时，因为所以函数f(x)在区间(1,e)上无极值.取，则.所以存在，使得.易知，x0为函数f(x)在区间(0，1)上的极大值点.所以函数f(x)在区间(0,e)上有极大值，无极小值，不符合要求1（14）综上，实数a的取值范围是（）.方法2：“f(x)在区间(0,e]上存在极小值”当且仅当“”，解得.证明如下：当时，因为，所以存在x0，使得g(x0)＝0.x1，x0x0(x0,e)g(x)(f'(x))-0+f(x)↘极小值↗所以函数f(x)在区间(1,e)上存在极小值.所以实数a的取值范围是().（20）（本小题15分）（Ⅰ）由长轴的两个端点分别为A(－2,0),B(2,0),可得a＝21,由离心率为，可得，所以1又a2＝b2＋c2，解得b＝11所以椭圆C的标准方程为2(5)（Ⅱ）方法1：当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，易得所以，直线AM所在的方程为求得Q(4,).所以，N,B,Q三点共线，所以1（6）当直线l斜率存在时，设直线l的方程为1（7）由得(1＋4k2)x2－8k2x＋4k2－4＝01（8）设M(x1,y1),N(x2,y2)，则，2（10），直线AM的方程为1,（11）所以1（12）所以所以，N,B,Q三点共线，所以3（15）方法2：设直线l的方程为x＝my＋1,由得(m2＋4)y2＋2my－3＝0．设M(x1,y1),N(x2,y2)，则.，直线AM的方程为.所以.,所以.（21）（本小题14分）（Ⅰ）是无界数列；不是无界数列．4（Ⅱ）存在满足题意的正整数k，且．5当时，因为7，8所以存在正整数，对于一切，有成立.9（Ⅲ）因为数列是单调递增的无界数列，所以所以11即因为是无界数列，取，由定义知存在正整数N1，使所以12由定义可知是无穷数列，考察数列,显然这仍是一个单调递增的无界数列，同上理由可知存在正整数N2，使得13故存在正整数N2，使得14即存在正整数m=N2，使得成立.
