绝密★启用并使用完毕前山东省实验中学三月诊断训练试题数学试题2022.3一、单项选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分1.已知集合，集合，则()A.B.C.D.2，若z为实数，则a的值为A.B.C.D.3..若非零向量满足，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.2020年4月30日，我国的5G信号首次覆盖了海拔超过8000米的珠穆朗玛峰峰顶和北坡登山路线，为了保证中国登山队测量珠峰高程的顺利直播，现从甲、乙、丙、丁这4名技术人员中随机安排3人分别去往北坡登山路线中标记为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的3个崎岖路段进行信号检测，若甲没有安排去往标记为Ⅰ的崎岖路段，则不同的安排方法共有（）A.12种B.18种C.24种D.6种5.函数的图象大致为（）6.2020年11月24日4时30分，长征五号途五运载火箭在我国文昌航天发射场成功发射，飞行约2200秒后，顺利将探月工程常娥五号探测器送人预定轨道，开启我国首次地外天体采样返回之旅.已知火箭的最大速度单位与燃料质量(单位)､火箭质量单位
的函数关系为，若已知火箭的质共为火箭的最大速度为则火箭需要加注的燃料为(参考数值为结果精确到0.01（）7.如图，已知F为双曲线的右焦点，平行于x轴的直线分别交C的渐近线和右支于点，且，则的渐近线方程为 A.B.C.D.8.已知函数，则函数的零点个数是()A. B. C. D.二、多项选择题：（本大题共4小题,每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个行业都面临着很大的营收压力年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如图所示：图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重．以下关于我国上半年经济数据的说法正确的是
A.在第三产业中，“批发和零售业”与“金融业”的生产总值之和同“其他服务业”的生产总值基本持平B.若“租赁和商务服务业”生产总值为15000亿元，则“房地产业”生产总值为40000亿元C.若“金融业”生产总值为42000亿元，则第三产业生产总值为262500亿元D.若“金融业”生产总值为42000亿元，则第一产业生产总值为45000亿元10.数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：，以下说法正确的是A.B.数列是等比数列；C.数列的前n项和为D.若存在正整数，使，则.11.已知点是函数图象的一个对称中心，其中为常数且，则以下结论正确的是A.函数的最小正周期为B.将的图象向右平移个单位所得的图象关于y轴对称C.函数在上的最小值为D.若，则12.已知函数，则下列结论正确的是A.函数在0，上单调递减B.函数在上有极小值C.方程在上只有一个实根D.方程在上有两个实根三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13.曲线在点处的切线方程为__________．14.若抛物线上的点到其焦点的距离是A到y轴距离的2倍，则等于________15.若的展开式中第5项为常数项，则该常数项为______用数字表示．16.矩形中，，，现将沿对角线AC向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的表面积为______；若翻折过程中BD的长度在范围内变化，则点D的运动轨迹的长度是______．四．解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（本小题10分）在中，内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）是线段上的点，若，，求的面积．18.（本小题12分）已知数列中，，，前项和为，若，（，且）．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前项和．19.（本小题12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点．（1）求证：平面平面．（2）试确定点的位置，使平面与平面所成的锐二面角为．20.（本小题12分）某学校的自主招生考试中有一种多项选择题，每题设置了四个选项ABCD，其中至少两项、至多三项是符合题目要求的．在每题中，如果考生全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．小明同学参加考试时遇到一道这样的多选题，他没有能力判断每个选项正确与否，只能瞎猜．假设对于每个选项，正确或者错误的概率均
为．（1）写出正确选项的所有可能情况;如果小明随便选2个或3个选项，求出小明这道题能得5分的概率；（2）从这道题得分的数学期望来看，小明应该只选一个选项？还是两个选项？还是三个选项？21.（本小题12分）已知离心率为的椭圆（）过点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知椭圆E的内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点，且，，求直线AB的斜率．22.（本小题12分）已知函数．（1）证明：在区间存在唯一的极值点；（2）试讨论的零点个数．山东省实验中学三月诊断训练试题答案一、二选择题123456789101112DDCBACCDACACDBCABD三、填空题：13、14、315、3516、； 四、解答题：17解析：（1）由正弦定理得．则，化简得：．…………………2分
即，则．…………………4分（2）设，由题意得：．………………5分在中，，则．……………6分，得．………………………7分结合，可得．…………………………8分则．………………………9分．……………………………10分18．解析：（1）在数列中，，①②且，∴①式÷②式得：………………1分所以数列是以为首项，公差为1的等差数列，……2分．…………3分当时，，………4分当时，，也满足上式，…………5分所以数列的通项公式为．………6分（2）由（1）知，，，
则①…7分②…8分，得：……9分．……11分．………12分19.【解析】解法一：（1）因为底面，平面，所以.1分因为为正方形，所以，又因为，所以平面.2分因为平面，所以.3分因为，为线段的中点，所以，4分又因为，所以平面5分又因为平面，所以平面平面.6分（2）因为底面，，以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为2，则，7分所以设点的坐标为所以设为平面的法向量，则所以取，则.……………………8分设为平面的法向量，则所以取，则.……………………10分因为平面与平面所成的锐二面角为，
所以，11分解得，故当点为中点时，平面与平面所成的锐二面角为......12分20【解析】（1）依题意，对于这道多选题，可能的正确答案AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD共有种，….....................2分且这10种正确答案是等可能的．记事件A为“小明这道题随便选2个或3个选项能得5分”，根据古典概型的概率计算公式，有．…………………………………4分（2）如果小明只选一个选项，那么他这道题的得分X的所有可能取值为0和2，且，，故X的分布列为X的数学期望为．…………………………………………………6分如果小明只选两个选项，那么他这道题的得分Y的所有可能取值为0，2，5，且，，，故Y的分布列为Y的数学期望为．……………………………………9分如果小明只选三个选项，那么他这道题的得分Z的所有可能取值为0和5，且，，故Z的分布列为
Z的数学期望为．……………………………………………11分因为，所以从这道题得分的数学期望来看，小明应该只选一个选项．……………………………………………………………………………………………12分21【解析】（1）依题意，．…………………………………1分又在椭圆E上，有，所以．……………………3分因此，椭圆E的标准方程为．…………………………………………4分（2）设点，则由可得．………5分由A、C因此两点在椭圆E上，有………………………6分两式相减得，即．…………………8分同理可得．…………………………………………………………10分因此，直线AB的方程为，进而可得直线AB的斜率为．……12分22【解析】（1）函数的定义域为，导函数为．……1分当时，，所以在单调递减．………2分又因为，，根据函数零点存在定理，在区间有且只有一个零点．…………3分
当时，；当时，．因此，在单调递增，在单调递减，故在区间存在唯一的极值点．…………4分（2）令，则．当时，；当时，．因此，在单调递增，在单调递减．………………………5分由于，且当时，，故当时，，从而在区间没有零点．………………7分当时，，从而，在单调递减．又，根据函数零点存在定理，在区间有且只有一个零点．………………………………………………9分当时，由（1）知在单调递增，在单调递减．又，根据函数零点存在定理，在区间有且只有一个零点．………11分综上所述，有且只有2个零点．…………………………………………………12分6.因为所以所以所以故选
6.8．【答案】D令.①当时，，则函数在上单调递增，由于，，由零点存在定理可知，存在，使得；②当时，，由，解得，.作出函数，直线、、的图象如下图所示：由图象可知，直线与函数的图象有两个交点；线与函数的图象有两个交点；线与函数的图象有且只有一个交点.综上所述，函数的零点个数为.故选：D.9【解析】解：对于选项A：在第三产业中，“批发和零售业”与“金融业”的生产总值之和所占比为，“其他服务业”的生产总值占比，所以“批发和零售业”与“金融业”的生产总值之和同“其他服务业”的生产总值基本持平，故选项A正确，对于选项B：若“租赁和商务服务业”生产总值为15000亿元，因为“租赁和商务服务业”生产总值占比，所以第三产业生产总值为亿元，
又因为“房地产业”生产总值占比，所以“房地产业”生产总值为亿元，故选项B错误，对于选项C：若“金融业”生产总值为42000亿元，因为“金融业”生产总值占比，所以第三产业生产总值为亿元，故选项C正确，对于选项D：若“金融业”生产总值为42000亿元，因为“金融业”生产总值占比，所以第三产业生产总值为亿元，又因为第三产业生产总值占比，第一产业生产总值占比，所以第一产业生产总值为亿元，所以选项D错误
11【解析】解：因为点是函数图象的一个对称中心，所以，即，解得，，又因为，所以．A.最小正周期为故错误．B.向右平移个单位得函数，关于y轴对称，故正确．C.当时，，所以所以，所以函数f x 在上的最小值为故正确．D.当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，则，故错误．故选：BC．12【解析】解：因为，所以，当，即，所以，所以，，所以，，当时，，当时，；当，即，所以，所以，，所以，，
当时，，当时，，所以当 0， 时，，单调递减，故A正确；又因为当时，，时，，所以在处取得极小值，故B正确；因为，，，所以在上不只有一个实数根，故C错因为方程，即，所以，所以，正切函数在上单调递增，，，当时，时，，当时，，且当时，，作出两函数的大致图象，如图所示：由图象可得，当，函数与的图象有两个交点，故D正确．16【解析】解：由于，，四面体外接球的半径为，所以外接球表面积为；过D作，垂足为E，连接BE，．矩形ABCD中，，，，，则，
点的轨迹为以E为圆心，以为半径的圆弧．为二面角的平面角．以E为原点，以EA，ED，为坐标轴建立空间直角坐标系，设，则，，，解得，，点轨迹的圆心角为，点轨迹的长度为故答案为：
