2022年普通高等学校招生全国统一模拟考试数学本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定位置上。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保持答题卡的清洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.2.已知，则的虚部是（）A.B.C.D.3.已知，，则（）A.B.C.D.4.下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是（）A.B.C.D.5.下图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2cm、底面边长为1cm的正三棱锥，后段是高为0.6cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为（）
A.B.C.D.6.为提高新农村的教育水平，某地选派4名优秀的教师到甲、乙、丙三地进行为期一年的支教活动，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（）A.18种B.12种C.72种D.36种7.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记，则（）A.B.C.D.8.已知当时，函数的图象与函数的图象有且只有两个交点，则实数k的取值范围是（）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若，则下列不等式中正确的有（）A.B.C.D.10.某市为了研究该市空气中的PM2.5浓度和浓度之间的关系，环境监测部门对该市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5浓度和浓度（单位：），得到如下所示的2×2列联表：PM2.564161010
经计算，则可以推断出（）A.该市一天空气中PM2.5浓度不超过，且浓度不超过的概率估计值是0.64B.若2×2列联表中的天数都扩大到原来的10倍，的观测值不会发生变化C.有超过99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关D.在犯错的概率不超过1%的条件下，认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关附：0.0500.0100.0013.8416.63510.82811.已知正方体的棱长为1，点P是线段上（不含端点）的任意一点，点E是线段的中点，点F是平面内一点，则下面结论中正确的有（）A.平面B.以为球心、为半径的球面与该正方体侧面的交线长是C.的最小值是D.的最小值是12.已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，与C相交于A，B两点，与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则（）A.点M到直线l的距离为定值B.以为直径的圆与l相切C.的最小值为32D.当最小时，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，，若，则______.
14.已知函数，，用表示m，n中的最小值，设函数，若恰有3个零点，则实数a的取值范围是______.15.已知椭圆的左焦点为F，过原点O的直线l交椭圆C于点A，B，且，若，则椭圆C的离心率是______.16.已知函数，，，且在区间上有且只有一个极大值点，则的最大值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知数列是等比数列，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和，并证明：.18.（本小题满分12分）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.（1）求角A的大小；（2）若，求周长的最大值.19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，平面平面，，，四边形是菱形，，是的中点.
（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.20.（本小题满分12分）中医药传承数千年，治病救人济苍生.中国工程院院士张伯礼在接受记者采访时说：“中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用，能显著降低轻症病人发展为重症病人的几率.对改善发热、咳嗽、乏力等症状，中药起效非常快，对肺部炎症的吸收和病毒转阴都有明显效果.”2021年12月某地爆发了新冠疫情，医护人员对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，平均分成A，B两组，A组服用甲种中药，B组服用乙种中药.服药一个疗程后，A组中每人康复的概率都为，B组3人康复的概率分别为，，.（1）设事件C表示A组中恰好有1人康复，事件D表示B组中恰好有1人康复，求；（2）若服药一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高药性越好，请问甲、乙两种中药哪种药性更好?21.（本小题满分12分）已知双曲线的离心率是，实轴长是8.（1）求双曲线C的方程；（2）过点的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B，若直线l上存在不同于点P的点D满足成立，证明：点D的纵坐标为定值，并求出该定值.22.（本小题满分12分）已知函数，.（1）当时，证明：当时，；（2）若对，都，使恒成立，求实数a的取值范围.2022年普通高等学校招生全国统一模拟考试数学参考答案及评分标准2022.3一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【解析】因为集合，集合，所以
，故选C.2.【答案】B【解析】因为，所以z的虚部是，故选B.3.【答案】B【解析】由，，得，所以，故选B.4.【答案】A【解析】因为，所以函数为奇函数；因为，又，所以，故A正确；函数非奇非偶，故B错误；函数为偶函数，故C错误；因为，故D错误，故选A.5.【答案】D【解析】因为正三棱锥的底面边长为1，所以其内切圆半径为，由三棱锥体积与圆柱体积公式可得，故选D.6.【答案】D【解析】4名教师分为3组，有种方法，然后再分别派到甲、乙、丙三地，共有种方案，所以共有36种选派方案.故选D.7.【答案】C【解析】由，得.故选C.8.【答案】A
【解析】由题设，当时，，令，则，所以当时，，则单调递增；当时，，则单调递减.又，，所以当时，直线与的图象有两个交点，即函数的图象与函数的图象有且只有两个交点.故选A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.【答案】AB【解析】对于A选项，因为，所以，故A正确；对于B选项，因为函数在R上单调递增，所以，故B正确；对于C选项，当时，不成立，故C不正确；对于D选项，当，时，，故D不正确.故选AB.10.【答案】ACD【解析】补充完整列联表如下：PM2.5合计641680101020合计7426100对于A选项，该市一天中，空气中PM2.5浓度不超过，且浓度不超过的概率估计值为，故A正确；对于B选项，，故B不正确；因为7.4844>6.635，根据临界值表可知，在犯错的概率不超过1%的条件下，即有超过99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关，故C，D均正确.故选ACD.
11.【答案】ABD【解析】对于A选项，因为平面即为平面，又因为，且平面，平面，所以平面，故A正确；对于B选项，该球面与侧面的交线长为，故B正确对于C，D选项，将沿翻折到与在同一平面且点，D在直线的异侧，作于点G，此时，则的最小值是，故C不正确，D正确.故选ABD.12.【答案】BCD【解析】设，，，，，，直线的方程为，则直线的方程为.将直线的方程代入，化简整理得，则，，故.所以，.因为点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，点M到直线l的距离，又，所以，故A错误；因为，所以以为直径的圆的圆心M到l的距离为，即以为直径的圆与l相切，故B正确；同理，，所以，，，则，当且仅当时等号成立，故C正确；
.设，则，，.当时，即时，最小，这时，故D正确.故选BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】【解析】因为，所以，解得，故填.14.【答案】【解析】若恰有3个零点，则函数在区间上存在两个零点，故解得，故填.15.【答案】【解析】设右焦点为，连接，.因为，即，可得四边形为矩形.在中，，.由椭圆的定义可得，所以，所以离心率，故填.16.【答案】
【解析】由题意知，，，则，，其中，.当时，，，；当时，，，.又在区间上有且只有一个极大值点，所以，得，即，所以.当时，，，此时，此时有2个极大值点，舍去；当时，，，此时，此时有1个极大值点，成立，所以的最大值为，故填.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）解：设等比数列的公比是q，首项是.由，可得.由，可得，所以，所以.（2）证明：因为，所以.又，所以.18.解：（1）由正弦定理，得.
由余弦定理得，，又，所以.（2）由和（1）可知，则，得，即，所以（当且仅当时，取得等号），所以周长的最大值为.19.（1）证明：因为四边形是菱形，，所以.因为平面平面，平面平面，所以平面，所以.因为，所以.又，且，所以平面，所以平面.（2）解：如图，连接.因为，，O是的中点，所以.又因为平面平面，平面平面，所以平面.设，建立空间直角坐标系，则，，，，，，.
设平面的法向量是，则即取，可得.设平面的法向量是，则即取，可得.所以.所以二面角的余弦值是.20.解：（1）依题意有，，.又事件C与D相互独立，则，所以.（2）设A组中服用甲种中药康复的人数为，则，所以.设A组的积分为，则，所以.设B组中服用乙种中药康复的人数为，则，
，，，故的分布列为0123所以.设B组的积分为，则，所以.因为，所以甲种中药药性更好.21.（1）解：依题意得，解得所以双曲线C的方程是.（2）证明：设，，，直线l的方程为.将直线方程代入双曲线方程，化简整理得，，则，.z=1要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B，则应满足
即解得.（无这个范围，也不扣分）由，得，故，所以.又，所以点D的纵坐标为定值.22.（1）证明：当时，.令，则，所以在上单调递增，且，所以，即.令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，且，所以，所以.所以当时，有，所以当时，.（2）解：因为，使恒成立，令，只需，即在上恒成立，.整理得.（*）.设，则.
又，可得时，，单调递增；时，，单调递减，因此当时，有最小值，所以在R上单调递增.所以（*）式即，所以，即.设，，则，令，解得.当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以，所以.所以实数a的取值范围为.
