2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟文科数学•乙卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5．考试结束后，请将本试卷和答题一并上交。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，求（ ）A．B．C．D．【解析】解不等式得，故，所以，故选：D2．设（i是虚数单位，，），则（ ）A．B．C．2D．【解析】因为，所以，所以.故选：B3．已知命题；命题若正实数x，y满足，则，则下列命题中为真命题的是（ ）A．B．C．D．
【解析】因为，可知，所以，命题为真命题；，当且仅当等号成立.命题为真命题.故命题为真命题.故选：A4．函数的最大值是（ ）A．B．1C．D．2【解析】，∵，∴函数的最大值是.故选：C.5．若x，y满足约束条件，则的最大值为（ ）A．1B．2C．3D．4【解析】根据题意，作出可行域，进而根据z的几何意义求得答案.如图，作出可行域.由z的几何意义可知，当直线过点C时取得最大值，联立，则z的最大值为.故选：D.6．已知，则（ ）A．B．C．D．【解析】因为，
又，故.故选：B.7．在区间内任取一个数，使得不等式成立的概率为（ ）A．B．C．D．【解析】因为，所以，解得，，因为，所以，所以的解集的区间长度为，则所求概率，故选：C.8．下列结论中正确的是（ ）A．当时，无最大值B．当时，的最小值为3C．当且时，D．当时，【解析】选项A，由都在单调递增，故在单调递增，因此在上当时取得最大值，选项A错误；选项B，当时，，故，当且仅当，即时等号成立，由于，故最小值3取不到，选项B错误；选项C，令，此时，不成立，故C错误；选项D，当时，，故，当且仅当，即时，等号成立，故成立，选项D正确故选：D9．已知是定义在R上的奇函数，若为偶函数且，则（ ）
A．B．C．3D．6【解析】因为为偶函数，所以函数关于直线对称，则有，因为是定义在R上的奇函数，所以，所以，所以所以是以3为周期的周期函数，故，，所以.故选：A.10．在长方体中，和与底面所成的角分别为30°和45°，异面直线和所成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．【解析】连接，则∥，所以为异面直线和所成角，因为在长方体中，和与底面所成的角分别为30°和45°，所以，设，则，所以，，在中，由余弦定理得，，所以异面直线和所成角的余弦值为，故选：B
11．双曲线的焦距为4，圆与双曲线及的一条渐近线在第一象限的交点分别为，，若点的纵坐标是点纵坐标的2倍，则的方程为（ ）.A．B．C．D．【解析】由题意，双曲线的焦距为4，可得，即，即，又由双曲线的一条渐近线方程为，联立方程组，整理得，即，可得，又由方程组，整理得，即，可得，因为点的纵坐标是点纵坐标的2倍，可得，解得，所以，所以双曲线的方程为.故选：D.12．已知函数，，，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．，e）D．【解析】由已知，得，令，，则，可得，（1）当时，，在上单调递增，，成立；（2）当时，令，则令，则，在上单调递增，
①当时，在上单调递增，在上单调递增，，成立；②当时，，，，当，在上单调递减，即在上单调递减，此时有，在上单调递减，，矛盾；综上.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，，，，则_______【解析】，，即，，又，14．已知抛物线方程为，直线，抛物线上一动点P到直线的距离的最小值为______．【解析】设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，由，得，则，得，所以切线方程为，所以抛物线上一动点P到直线的距离的最小值为，15．中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则的值为______.【解析】解法一：由正弦定理得，∴，∴，∴，∴，即，∴，即，
即.解法二：由正弦定理得，∴，∴，又∵，∴，∴，即.16．已知三棱锥的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且是底边长为，面积为的等腰三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为___________.【解析】三棱锥可以嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，如图，设，，长方体交于一个顶点的三条棱长为，，，则，解得.由题得，，，解之得，，.所以该三棱锥的外接球的半径为，所以该三棱锥的外接球的表面积为.三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分17．(12分)某市为遏制新型冠状病毒肺炎的传播，针对不同的风险区，施行了不同的封控政策.为保障封控区人民群众日常生活和核酸检测的顺利进行，现面向全市招募志愿者，从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分成5组，得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求a的值；(2)若从第2，4组中用分层抽样的方法抽取5名志愿者，再从这5名志愿者中抽取2名志愿者负责某中风险小区的日常生活物资的运输工作，求这2名志愿者来自同一年龄分组的概率.【解析】(1)∵，∴.(2)∵，∴从第2组中抽取2名志愿者，记为A，B；从第4组中抽取3名志愿者，记为c，d，e.从这5名志愿者中抽取2名志愿者的所有基本事件为：，共10种，其中2名志愿者来自同一年龄分组的有：，共4种，∴所求概率为是.18．(12分)已知四棱锥的底面为矩形，，，E为中点，.(1)求证：平面；(2)若平面，，求四棱锥的体积.【解析】(1)设与的交点为M，∵，∴，
∴在中，，∴，即.又，，，平面，∴平面.(2)连接，∵平面，平面，∴，又∵平面，平面，∴，又∵，∴平面，又平面，∴，在中，，，，∴，∴，∴四棱锥的体积.19．(12分)已知正项等比数列的前n项和为，，.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.【解析】(1)由已知可得，设等比数列的公比为，因为，，所以或（舍去），可得，，解得，所以，故的通项公式为(2)由第（1）问可知，，所以,，所以，所以，数列的前n项和为.20．(12分)已知椭圆C：（a>b>0）的左､右焦点分别为，，点满足，且的面积为.
(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的上顶点为P，不过点P的直线l交C于A，B两点，若，证明直线l恒过定点.【解析】(1)由,则，所以又，则点在椭圆上所以，又，联立解得，所以椭圆C的方程；，(2)由题意，根据条件直线的斜率必存在，设直线的方程为，，由，得，所以，（*），由，则，所以，即，即或（舍）将代入（*）成立.所以直线的方程为，所以直线恒过点21．(12分)已知函数（为自然对数的底数）．(1)若时，求的单调区间；(2)设，若对任意，均存在，使得，求实数
的取值范围．【解析】(1)若时，，则，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增.(2)由题意可知，即求成立的的取值范围，因为，，所以，所以（当且仅当时取等号），即，即求对任意成立的的取值范围，当时，，此时在上单调递增，且有，不满足；当时，易知，显然成立；当时，令，得，令，得，在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，解得，所以实数的取值范围为．（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分.22．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线的普通方程和曲线的极坐标方程；(2)若直线和曲线交于，两点，且，求实数的值．【解析】(1)消去直线方程中的参数得，
所以直线的普通方程；消去曲线方程中的参数得曲线的普通方程：，将代入得：，所以曲线的极坐标方程是：.(2)设直线的极坐标方程为，，因，则，即，由消去得：，于是得：，解得，则，解得，所以实数的值为.23．[选修4-5：不等式选讲](10分)已知函数，.(1)当时，解不等式；(2)若在时有解，求实数的取值范围.【解析】(1)当时，，当时，恒成立，当时，由，得，综上，，所以不等式的解集为.(2)，即，又因为，则，
整理得，则，即在有解，则所以实数的取值范围为
