沧州市2021—2022学年第一学期期末教学质量监测高二数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角是（）A.B.C.D.【1题答案】【答案】A【解析】【分析】将直线方程化为斜截式，由此确定斜率；根据斜率和倾斜角关系可得结果.【详解】设直线的倾斜角为，则，由得：，则斜率，.故选：A.2.如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（）AB.C.D.【2题答案】【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的加减法、数乘运算推导即可.
【详解】.故选：B.3.已知等差数列的前项和为，若，，则（）A.B.C.D.【3题答案】【答案】B【解析】【分析】根据和可求得，结合等差数列通项公式可求得.【详解】设等差数列公差为，由得：；又，，.故选：B.4.已知抛物线，则抛物线的焦点到其准线的距离为（）A.B.C.D.【4题答案】【答案】D【解析】【分析】将抛物线方程化为标准方程，由此确定的值即可.【详解】由可得抛物线标准方程为：，，抛物线的焦点到其准线的距离为.故选：D.5.在数列中，，，则（）A.985B.1035C.2020D.2070【5题答案】【答案】A
【解析】【分析】根据累加法得，，进而得.【详解】解：因为所以，当时，，，……，，所以，将以上式子相加得，所以，，.当时，，满足；所以，.所以.故选：A6.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点到直线的距离为（）A.B.C.D.6【6题答案】【答案】C【解析】【分析】按照空间中点到直线的距离公式直接求解.【详解】由题意，，，方向向量，，则点到直线的
距离为.故选：C.7.已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（）A.B.C.D.【7题答案】【答案】D【解析】【分析】设垂直于直线，可知圆恒过垂足；两条直线方程联立可求得点坐标.【详解】设垂直于直线，垂足为，则直线方程为：，由圆的性质可知：以为直径的圆恒过点，由得：，以为直径的圆恒过定点.故选：D.8.如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶距离水面6米，水面宽米，若水面下降6米，则水面宽()A.米B.米C.米D.米【8题答案】【答案】B【解析】【分析】以双曲线的对称中心为原点，焦点所在对称轴为y轴建立直角坐标系，求出双曲线方程，数形结合即可求解.
【详解】如图所示，以双曲线的对称中心为原点，焦点所在对称轴为y轴建立直角坐标系，设双曲线标准方程为：(a＞0)，则顶点，，将A点代入双曲线方程得，，当水面下降6米后，，代入双曲线方程得，，∴水面宽：米.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知椭圆：，则下列关于椭圆的结论正确的是（）A.焦点坐标为，B.长轴长为C.离心率为D.直线与无交点【9题答案】【答案】BC【解析】【分析】由椭圆方程可求得，依次判断焦点、长轴长和离心率可知ABC正误；根据直
线与椭圆位置关系的判断方法可知D错误.【详解】由椭圆方程知：椭圆焦点在轴上，，，；对于A，焦点坐标为，，A错误；对于B，长轴长，B正确；对于C，离心率，C正确；对于D，由得：，则，直线与交于两点，D错误.故选：BC.10.已知圆：，直线：．圆上恰有个点到直线的距离为，则的值为（）A.B.C.D.【10题答案】【答案】BC【解析】【分析】由圆上恰有个点到直线的距离为可确定圆心到直线距离为，由此构造方程求得结果.【详解】由圆的方程知：圆心，半径；圆上恰有个点到直线的距离为，圆心到直线的距离，即，解得：或.故选：BC.11.已知点为双曲线右支上一点，、分别为圆：、：上的动点，则的值可能为（）A.2B.6C.9D.12
【11题答案】【答案】BC【解析】【分析】先由已知条件可知双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用平面几何知识把转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离，结合双曲线的定义可求出的范围，从而可得答案【详解】由双曲线的方程可得，焦点为，圆：的圆心为，半径为2，圆：的圆心为，半径为1，所以，，所以,，所以，故选：BC12.如图，在正四棱柱中，，，点在上，且．则下列说法正确的是（）A.B.异面直线与所成角的正切值为
C.平面D.直线与平面所成角的正弦值为【12题答案】【答案】ACD【解析】【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据线线垂直、线面垂直的向量判断方法，线线角和线面角的向量求法依次判断各个选项即可.【详解】以为坐标原点，为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，对于A，，，，，A正确；对于B，，，设异面直线与所成角为，，，B错误；对于C，，，，，，又，平面，平面，C正确；对于D，，，设平面的法向量，，令，则，，，
又，，即直线与平面所成角的正弦值为，D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：利用空间向量法求解直线与平面所成角的基本步骤为：（1）建立空间直角坐标系，利用坐标表示出所需的点和向量；（2）求得平面的法向量，设所求角为，则.（3）根据可求得线面所成角的大小.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.13.已知向量与是平面的两个法向量，则__________．【13题答案】【答案】【解析】【分析】由且为非零向量可直接构造方程求得，进而得到结果.【详解】由题意知：，，解得：（舍）或，.故答案为：.14.已知直线与之间的距离为，则__________．【14题答案】【答案】或##或【解析】
【分析】利用平行直线间距离公式构造方程求解即可.【详解】方程可化为：，由平行直线间距离公式得：，解得：或.故答案为：或.15.已知，，，…，为抛物线：上的点，为抛物线的焦点．在等比数列中，，，，…，．则的横坐标为__________．【15题答案】【答案】【解析】【分析】利用在抛物线上可求得，结合等比数列的公比可求得，利用抛物线的焦半径公式即可求得结果.【详解】在抛物线上，，解得：，抛物线；数列为等比数列，又，，公比，，即，解得：，即的横坐标为.故答案为：.16.已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，则__________，的最小值为__________．【16题答案】【答案】①.②.【解析】【分析】首先确定的正负，分别在和两种情况下求得，代入即可求得；由可求得，分别在和两种情况下结合一次函数和对勾函数单调性得到最小值，综合可得最终结果.
【详解】令，解得：，则当时，；当时，；当时，；当时，；；，当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增，又，，，当时，；综上所述：.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：本题考查含绝对值的数列前项和的求解问题，解题关键是能够确定数列的变号项，从而以变号项为分类基准进行分类讨论得到数列的前项和；求解数列中的最值问题的关键是能够利用数列与函数的关系，结合函数单调性和来进行求解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线过点．（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；（2）若直线在两坐标轴的截距相等，求直线的方程．【17~18题答案】
【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)由两条直线垂直可设直线的方程为，将点的坐标代入计算即可；(2)当直线过原点时，根据直线的斜截式方程即可得出结果；当直线不过原点时可设直线的方程为，将点的坐标代入计算即可.【小问1详解】解：因为直线与直线垂直所以，设直线的方程为，因为直线过点，所以，解得，所以直线的方程为．【小问2详解】解：当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是，即．当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入方程得，所以直线的方程是．综上，所求直线的方程为或．18.已知双曲线的渐近线方程为，且过点．（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线的一个焦点作斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长．【18~19题答案】【答案】（1）；（2）.
【解析】【分析】（1）根据双曲线渐近线斜率、双曲线过点可构造方程求得，由此可得双曲线方程；（2）由双曲线方程可得焦点坐标，由此可得方程，与双曲线方程联立后，利用弦长公式可求得结果.小问1详解】由双曲线方程知：渐近线斜率，又渐近线方程为，；双曲线过点，；由得：，双曲线的方程为：；【小问2详解】由（1）得：双曲线的焦点坐标为；若直线过双曲线的左焦点，则，由得：；设，，则，；由双曲线对称性可知：当过双曲线右焦点时，；综上所述：.19.如图1，在中，，，，分别是，边上的中点，将沿折起到的位置，使，如图2．
（1）求点到平面的距离；（2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为．若存在，求出长；若不存在，请说明理由．【19~20题答案】【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）根据题意分别由已知条件计算出的面积和的面积，利用求解，（2）如图建立空间直角坐标系，设，然后求出平面与平面的法向量，利用向量平夹角公式列方程可求得结果【小问1详解】在中，，因为，分别是，边上的中点，所以∥，，所以，所以，因为，所以平面，所以平面，因为平面，所以，
所以，因为平面，平面，所以平面平面，因为，所以，因为，所以等边三角形，取的中点，连接，则，，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，在中，，所以边上的高为，所以，在梯形中，，设点到平面的距离为，因为，所以，所以，得，所以点到平面的距离为【小问2详解】由（1）可知平面，，所以以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则,设，则，
设平面的法向量为，则，令，则，设平面的法向量为，则，令，则，则平面与平面夹角的余弦值为，两边平方得，，解得或（舍去），所以，所以20已知圆：，直线：．圆与圆关于直线对称．（1）求圆的方程；（2）点是圆上的动点，过点作圆的切线，切点分别为、．求四边形面积的取值范围．【20~21题答案】
【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）圆关于直线对称，半径不变，只需求出圆心对称的坐标即可.（2）将四边形面积分成两个全等的直角三角形，利用直角三角形的性质，一条直角边不变时，斜边与另外一条直角边的大小成正相关，从而得到面积的最小值与最大值.【小问1详解】由题可知的圆心为，圆的半径与之相同，圆心与之关于对称，设的圆心为，故可根据中点在对称的直线上得到①，根据斜率相乘为-1得到②，联立①②可得，所以圆心坐标为，且半径为，故的方程为【小问2详解】连接，将四边形分割成两个全等的直角三角形，所以有，四边形面积的范围可转化为MP长度的范围，在中，根据勾股定理可知，因为为半径长度不变，所以最大时最大；所以最小时最小；画出如下图，当动点P移动至在时面积最小，时面积最大；设点P的坐标为，所以有，解得，所以，，所以，所以；，所以.所以
21.已知数列的通项公式为：，其中．记为数列的前项和．（1）求，；（2）数列的通项公式为，求的前项和．【21~22题答案】【答案】（1）；；（2）.【解析】【分析】（1）验证可知数列是以为周期的周期数列，则，；（2）由（1）可求得，利用错位相减法可求得结果.【小问1详解】当时，；当时，；当时，；数列是以为周期的周期数列；，；【小问2详解】
由（1）得：，，，，两式作差得：.22.已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点满足，且的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆有且只有一个公共点，过点作直线的垂线．设直线交轴于，交轴于，且点，求的轨迹方程．【22~23题答案】【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用可得，由椭圆关系可求得，进而得到椭圆方程；（2）将与椭圆方程联立可得，得，结合韦达定理可确定点坐标，由此可得方程，进而得到，化简整理即可得到所求轨迹方程.【小问1详解】由焦点坐标可知：；，即，，
，解得：，，解得：（舍）或，，椭圆的方程为：；【小问2详解】由得：，，整理可得：；，解得：，，则，令，解得：；令，解得：；，即，又，，则的轨迹方程为：.【点睛】思路点睛：本题考查动点轨迹方程的求解问题，解题基本思路是能够利用变量表示出所求点的坐标，根据坐标之间关系，化简整理消掉变量得到所求轨迹方程；易错点是忽略题目中的限制条件，轨迹中出现多余的点.
