杨浦区2021学年度第一学期高三模拟质量调研数学学科试卷2021.12.21考生注意：1、答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上.2、本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1.函数的最小正周期2.已知集合则3.已知函数的反函数为则4若双曲线上的渐近线方程为,则实数5.在的二项展开式中，项的系数为6.已知圆锥的底面半径为,母线长为,则圆锥的体积为7已知复数满足：(为虚数单位），则8.方程的解为9.某市高考新政规定每位学生在物理、化学、生物、历史、政治、地理中选择三门作为等级考试科目，则甲、乙两位学生等级考试科目恰有一门相同的不同选择共有种（用数字作答）10.在中，三边所对的三个内角分别为,若则边长11.在平面直角坐标系中，已知点为圆上两个动点且,则的最大值为12.等差数列满足：①②在区间中的项怡好比区间中的项少项，则数列的通项公式为5
二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.11.关于的二元一次方程组的增定矩阵为()A.B.C.D.14.记数列的通项公式为,则数列的极限为()A.B.C.D.不存在15.如图，在正方体中，点分别在棱上，则“直线直线”是“直线平面”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件16.已知非空集合满足：,函数,对于下列两个命题：①存在唯一的非空集合对,使得为偶函数；②存在无穷或非空集合对,使得方程无解；下面判断正确的是（）A.①正确，②错误B.①错误，②正确，C.(1)、②都正确D.①、②都错误三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，直三棱柱的底面为直角三角形且,直角边的长分别为,侧棱的长为,点分别为线段的中点.（1)求证：四点共面；（2)求直线与平面所成角的大小.18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）5
已知函数（1)若,求函数在上的零点；（2)已知,函数求函数的值域.19.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分（8分）为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防.规定每人每天定时服用一次，每次服用毫克，已知人的肾脏每小时可以从体内滤除这种药物的,设第次服药后（滤除之前）这种药物在人体内的含量是毫克；（即）（1)已知,求；（2)该药物在人体的含量超过毫克会产生毒副作用，若人需要长期服用这种药物，求的最大值.20.(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）5
如图，椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点与轴垂直的直线交椭圆于两点，动点分别在直线与椭圆上，已知的周长为.（1)求椭圆的方程；（2)若线段的中点在轴上，求三角形的面积；（3)是否存在以为邻边的矩形,使得点在椭圆上？若存在，求出所有满足条件的点的横坐标；若不存在，说明理由：21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）给定区间和正常数,如果定义在上的两个函数与满足：对一切,均有称函数与具有性质.（1)已知,判断下列两组函数是否具有性质①②(不需要说明理由）（2)已知是周期函数，且对任意的,均存在区间,使得函数与具有性质,求证：；（3)已知,若存在一次函数与具有性质,求实数的最大值.5
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