河南省重点高中2021-2022学年高三上学期阶段性调研联考二理科数学试卷满分150分，时间120分钟注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考场填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集为R，集合，，则（）A．B．C．D．2．已知，，则对应的点的轨迹为（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．线段3.下列命题为真命题的个数是（）①是无理数，是无理数；②若，则或；③命题“若，，，则”的逆否命题为真命题；④函数是偶函数.A．B．C．D．4．在等差数列中，，，则（）A．0B．mC．nD．5．如图，在直三棱柱中，，，，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（）16
A．B．C．D．6．函数在的图象大致为（）A．B．C．D.7．我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问几何日相逢，各穿几何？意思是：今有土墙厚5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天也打洞一尺，大鼠之后每天打洞厚度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞厚度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？此时，各打洞多少？两鼠相逢需要的天数最小为（）A．2B．3C．4D．58．函数，当上恰好取得5个最大值，则实数的取值范围为A．B．C．D．9.设是定义域为的偶函数，且在单调递增，设，，，则（）A．B．C．D．10．若函数在上取得极大值，在上取得极小值，则的取值范围是（）16
A．B．C．D．11．已知函数满足，且对任意的，都有，则满足不等式的的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知三棱锥中，底面为等边三角形,点为的中点，点为的中点，若点是空间中的两动点，且则（）A．3B．4C．6D．8二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知等比数列的公比，其前项和为，且，，则 ．14.设实数、满足约束条件，则的取值范围为．15.已知椭圆，，是的长轴的两个端点，点是上的一点，满足，，设椭圆的离心率为，则．16.在中，若，，则的面积为．三、解答题：（共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生读必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分17．（本题12分）下图的茎叶图记录了甲，乙两组各八位同学在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数为24，乙组数据的平均数为25.（1）求的值；16
（2）计算甲、乙两组数据的方差，并比较哪一组的成绩更稳定？18．（本题12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，是边长为的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19．（本题12分）已知等比数列的前项和为，且，数列满足，其中.（1）分别求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前项和.16
20．（本题12分）如图所示，已知椭圆的两焦点分别为，，为椭圆上一点，且+.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点在第二象限，，求的面积.．21．（本题12分）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间与极值.（3）若对任意的，都有恒成立，求的取值范围.（二）选考题，共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.（10分）22．在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若点的极坐标为，直线经过点且与曲线相交于两点，求两点间的距离的值．（10分）23．已知函数.16
（1）若，解不等式；（2）若，且的最小值为，求证：.理科数学1-12BDBACABCADAB13．214．15．16．三．解答题17．下图的茎叶图记录了甲，乙两组各八位同学在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数为24，乙组数据的平均数为25.（1）求x，y的值；（2）计算甲、乙两组数据的方差，并比较哪一组的成绩更稳定？【详解】（1）由，得，由，得．…………5分（2）设甲、乙两组数据的方差分别为、，16
甲组数据的平均数为，，，因为，所以乙组的成绩更稳定．…………12分18．如图，在四棱锥中，平面平面，，，是边长为的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可得出平面，可得出，再由已知条件结合线面垂直的判定定理可得出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；16
（2）证明出平面，，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，平面，所以.又因为，，所以平面.因为平面，所以平面平面；…………6分（2）取的中点，连接、，因为，所以.又因为平面，平面平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以.因为，所以.以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，由题意得、、、、，所以，，.16
设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以.所以，，则直线与平面所成角的正弦值为.…………12分19．已知等比数列的前项和为，且，数列满足，其中.（1）分别求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【详解】（1）设等比数列的公比为，16
由已知，可得，两式相减可得，即，整理得，可知，已知，令，得，即，解得，故等比数列的通项公式为；由得：，那么，以上个式子相乘，可得，，又满足上式，所以的通项公式.…………6分（2）若，所以，16
，两式相减得：，所以.…………12分20．如图所示，已知椭圆的两焦点分别为，，为椭圆上一点，且+.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点在第二象限，，求的面积.【详解】（1）设椭圆的标准方程为，焦距为，因为椭圆的两焦点分别为，，可得，，所以，可得，所以，则，16
所以椭圆的标准方程为．…………6分（2）因为点在第二象限，，在中，由．根据余弦定理得，即，解得，所以．…………12分21．已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间与极值.（3）若对任意的，都有恒成立，求a的取值范围.【详解】（1）当时，，，∴，∴，切点为，∴曲线在点处的切线方程为，即；…………4分16
（2），①当时，恒成立，∴函数的递增区间为，无递减区间，无极值；②当时，令，解得或（舍）x，，的变化情况如下表：x－0＋极小值∴函数的递增区间为，递减区间为，.综上：当时，函数的递增区间为，无递减区间，无极值；当时，函数的递增区间为，递减区间为，.…………8分（3）对任意的，使恒成立，只需对任意的，.所以由（2）的结论可知，①当时，函数在上是增函数，∴，∴满足题意；16
②当时，，函数在上是增函数，∴，∴满足题意；③当时，，函数在上是减函数，在上是增函数，∴，∴不满足题意.综上，a的取值范围为.…………12分22．在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若点的极坐标为，直线经过点且与曲线相交于，两点，求，两点间的距离的值．．【详解】（1）由参数方程可得，消去参数可得直线的普通方程为：，即；即，转化为直角坐标方程可得曲线的直角坐标方程为；…………5分16
（2）∵的极坐标为，∴点的直角坐标为．∴，直线的倾斜角．∴直线的参数方程为．代入，得．设，两点对应的参数为，，则，∴．…………10分23．已知函数.（1）若，解不等式；（2）若，且的最小值为，求证：.【详解】解：（1）当时，函数①当时，由得，所以无解②当时，由得，所以；③当时，由得，所以.综上，不等式的解集为.…………5分（2）因为，16
当时，取到最小值，所以，即.所以，当且仅当时等号成立.即成立.…………10分16
