江西省九校2021-2022学年高二上学期期中联考数学学科试卷（理科）第I卷（选择题）一、单选题(本大题共12个小题，每题5分，共60分)1．在空间直角坐标系中，点关于原点O的对称点的坐标为（）A．B．C．D．2．某企业有职工150人，中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，现抽取30人进行分层抽样，则各职称人数分别为（）A．5，10，15B．5，9，16C．3，10，17D．3，9，183．在正方体中，下列直线与成60°角的是（）A．B．C．D．4．下列结论正确的是（）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线5．如图，在正方体中，E是棱的中点，则过三点A、D1、E的截面过（）A．AB中点B．BC中点C．CD中点D．BB1中点年份年份代码年销量/万斤
6．山竹，原产地在印度尼西亚东北部岛屿的一组群岛马鲁古，具有清热泻火､生津止渴的功效，被誉为夏季的“水果之王”，受到广大市民的喜爱.现统计出某水果经销商近年的山竹销售情况，如下表所示.根据表中的数据用最小二乘法求得关于的线性回归方程为，若年的年份代码为，则可以预测年该经销商的山竹销量大约为（）A．万斤B．万斤C．万斤D．万斤7．已知空间向量，，则下列结论错误的是（）A．B．C．D．与夹角的余弦值为8．已知圆台的上下底面的半径分别为3，4，母线长为，若该圆台的上下底面圆周均在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．50πB．100πC．150πD．200π9．已知为三条不同的直线，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若，则B．若且，则C．，，则D．若且，则10．已知一个几何体的三视图如图所示，若正（主）视图（等腰三角形）与俯视图（半圆加等腰三角形）的面积分别为，，则该几何体的体积为（）第10题第11题A．B．C．D．11．运行下图所示的算法框图，若输出结果为，则判断框中应该填的条件是（）A．k>1009B．k>1010C．k>1011D．k>101212．已知球O的半径为2，三棱锥P－ABC四个顶点都在球O上，球心O在平面ABC内，△ABC是正三角形，则三棱锥P－ABC的最大体积为（）A．3B．2C．D．3
第II卷（非选择题）二、填空题(本大题4个小题，每题5分，共20分)13．已知平均数为a，标准差是b，则的平均数是________，标准差是________．14．已知平面的法向量为，点在平面内，若点到平面的距离为，则________.15．已知正三棱锥的底面是边长为的等边三角形，若一个半径为的球与此三棱锥所有面都相切，则该三棱锥的侧面积为___________.16．在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点与不重合），则下列结论正确的是____.①存在点，使得平面平面；②存在点，使得平面；③的面积不可能等于；④若分别是在平面与平面的正投影的面积，则存在点，使得.三、解答题(本大题共6个小题，共70分)17．(本题10分)如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且．求证：（1）、、、四点共面；（2）与的交点在直线上．18．在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．求：
（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积V；（2）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF．19．(本题12分)抚州市为了了解学生的体能情况，从全市所有高一学生中按80：1的比例随机抽取200人进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，分为组画出频率分布直方图如图所示，现一，二两组数据丢失，但知道第二组的频率是第一组的3倍．（1）若次数在以上含次为优秀，试估计全市高一学生的优秀率是多少？全市优秀学生的人数约为多少？（2）求第一组、第二小组的频率是多少？并补齐频率分布直方图；（3）估计该全市高一学生跳绳次数的中位数和平均数？20．(本题12分)如图，四边形ABCD是正方形，四边形BEDF是菱形，平面平面.
（1）证明：；（2）若，且平面平面BEDF，求平面ADE与平面CDF所成的二面角的正弦值.21．(本题12分)某保险公司根据官方公布的历年营业收入，制成表格如下：表1年份2011201220132014201520162017201820192020年份序号x12345678910营业收入y（亿元）0.529.3633.6132352571912120716822135由表1，得到下面的散点图：根据已有的函数知识，某同学选用二次函数模型（b和a是待定参数）来拟合y和x的关系.这时，可以对年份序号做变换，即令，得，由表1可得变换后的数据见表2.
表2t149162536496481100y0.529.3633.6132352571912120716822135（1）根据表中数据，建立y关于t的回归方程（系数精确到个位数）；（2）根据（1）中得到的回归方程估计2021年的营业收入，以及营业收入首次超过4000亿元的年份.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.参考数据：.22．(本题12分)如图，在三棱柱中，平面，，.（1）求证：平面；（2）点M在线段上，且，试问在线段上是否存在一点N，满足平面，若存在求的值，若不存在，请说明理由？数学（理科）答案1．B2．D3．B4．D5．B6．A7．B8．B9．D10．A11．B12．B
13．14．-1或-1115．16．①②④①如图当是中点时，可知也是中点且，，，所以平面，所以，同理可知，且，所以平面，又平面，所以平面平面，故正确；②如图取靠近的一个三等分点记为，记，，因为，所以，所以为靠近的一个三等分点，则为中点，又为中点，所以，且，，，所以平面平面，且平面，所以平面，故正确；③如图
作，在中根据等面积得：，根据对称性可知：，又，所以是等腰三角形，则，故错误；④如图设，在平面内的正投影为，在平面内的正投影为，所以，，当时，解得：，故正确.故填：①②④.17．（1）证明见解析；（2）证明见解析．证明（1）∵，∴．--------1分∵，分别为，的中点，--------3分
∴，∴，∴，，，四点共面．--------5分（2）∵，不是，的中点，∴，且，故为梯形．∴与必相交，设交点为，-------6分∴平面，平面，∴平面，且平面，-------8分∴，即与的交点在直线上．-------10分18．(1)(2)见解析.试题解析：（1）在中，.在中,---------2分--------4分.则.---------6分（2），为的中点，.平面.---------8分平面.为中点，为为中点，，则.--------10分平面.--------12分考点：四棱锥的体积公式；直线与平面垂直的判定与证明.19．（1）8640；（2）第一组频率为，第二组频率为．频率分布直方图见解析；（3）中位数为，均值为121.9（1）由频率分布直方图，分数在120分以上的频率为，因此优秀学生有（人）；-------4分（2）设第一组频率为，则第二组频率为，所以，，第一组频率为，第二组频率为．-------6分
频率分布直方图如下：-------8分（3）前3组数据的频率和为，中位数在第四组，设中位数为，则，．------10分均值为．------12分20．（1）证明见解析；（2）.（1）证明：如图，连接交于点，连接．四边形为正方形，，且为的中点．又四边形为菱形，．-------2分平面平面-------4分又平面OAE．--------6分（2）解：如图，建立空间直角坐标系，不妨设，则，，
则．由（1）得又平面平面，平面平面，平面ABCD，故，同理，．------8分设为平面的法向量，为平面的法向量，则故可取，同理故可取，-------10分所以．设平面与平面所成的二面角为，则，所以平面与平面所成的二面角的正弦值为．-------12分21．（1）；（2）估计2021年的营业收入约为2518亿元，估计营业收入首次超过4000亿元的年份为2024年.（1），--------3分，--------5分故回归方程为.--------6分（2）2021年对应的t的值为121，营业收入，所以估计2021年的营业收入约为2518亿元.-------8分依题意有，解得，故.因为，-------10分所以估计营业收入首次超过4000亿元的年份序号为14，即2024年.--------12分
22．（1）证明见解析；（2）存在，的值为.（1）在三棱柱中，平面ABC，，.∴，，，∵，------2分∴平面，∵平面，∴，-------4分∵，∴平面.-------5分（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，，，，，所以，，--------7分设平面的法向量，则，取，得，--------8分点M在线段上，且，点N在线段上，设，，设，则，，，即，
解得，，，-------10分∵，∴，解得.∴的值为.--------12分
