河北区2021-2022学年度第一学期中高二年级质量检测数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线x﹣2y＋1＝0的一个方向向量是（ ）A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（2，﹣1）D．（2，1）2．已知圆的方程为x2＋y2﹣2x＋6y＋1＝0，那么圆心坐标和半径分别为（ ）A．（﹣1，﹣3），9B．（1，﹣3），3C．（﹣1，3），3D．（1，3），93．如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若，则下列向量中与相等的向量是（ ）A．B．C．D．4．空间两点A，B的坐标分别为（a，b，c），（﹣a，﹣b，c），则A，B两点的位置关系是（ ）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于z轴对称D．关于原点对称5．△ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3），则边BC上的高所在直线的方程为（ ）A．5x＋y﹣20＝0B．3x＋2y﹣12＝0C．3x＋2y﹣19＝0D．3x﹣2y﹣12＝06．已知两条直线l1：x＋2y﹣4＝0，l2：2x＋4y＋7＝0，则直线l1与直线l2间的距离为（ ）
A．B．C．D．7．直线y＝x与圆x2＋（y＋3）2＝4的位置关系是（ ）A．相离B．相切C．相交且直线过圆心D．相交但直线不过圆心8．已知直线l1：ax＋2y＝0与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行，则实数a的值为（ ）A．a＝﹣2B．a＝1C．a＝﹣2或a＝1D．不存在9．下列四个命题中，正确命题的个数是（ ）①若是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得；②若两条不同直线l，m的方向向量分别是，则l∥m⇔；③若是空间的一个基底，且，则A，B，C，D四点共面；④若两个不同平面α，β的法向量分别是，且，则α∥β．A．1B．2C．3D．410．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，PA＝AB＝2，以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的一个法向量分别为，则下列结论中正确的是（ ）A．点P的坐标为（0，0，2）B．
C．D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案填在题中横线上．11．直线x﹣y＋1＝0的倾斜角为 ．12．在长方体OABC﹣O1A1B1C1中，OA＝2，OC＝2，OO1＝1，以O为原点，OA，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则点B1的坐标为 ．13．直线l：3x﹣y﹣6＝0被圆C：（x﹣1）2＋（y﹣2）2＝5截得的弦AB的长是 ．14．已知空间向量＝（1，0，1），＝（1，1，2），则•的值为 ，向量，的夹角为 ．15．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（4，0），点P满足，则点P所构成的曲线C的方程为 ．三、解答题：本大题共4个小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步16．（8分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，且AB＝2AD＝2，PA＝2，∠PAB＝∠PAD＝60°．（Ⅰ）求PC的长；（Ⅱ）求异面直线PC与BD所成角的余弦值．
17．（10分）已知两圆C1：x2＋y2﹣2x﹣6y﹣1＝0，C2：x2＋y2﹣10x﹣12y＋45＝0．（1）求证：圆C1和圆C2相交；（2）求圆C1和圆C2的公共弦所在直线方程和公共弦长．18．（10分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E为BA1的中点，F为CC1的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；（Ⅱ）求直线EF与平面ABB1A1所成角的正弦值；（Ⅲ）求点B到平面A1CD的距离．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，△PCD是边长为2的等边三角形，底面ABCD是矩形，BC＝2，M为BC的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥PM；（Ⅱ）求平面AMP与平面AMD的夹角的大小；（Ⅲ）求点D到平面AMP的距离．
参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D；2．B；3．A；4．C；5．B；6．A；7．A；8．C；9．D；10．D；二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案填在题中横线上．11．；12．（2，2，1）；13．；14．3；；15．（x＋4）2＋y2＝16；三、解答题：本大题共4个小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步16．解：(I)设∵AB＝2AD＝2，PA＝2，∠PAB＝∠PAD＝60°，∵(II)，且∴＝
∴异面直线PC与BD所成角的余弦值为17．证明：（1）圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0的圆心C1（1，3），半径，C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0的圆C2（5，6），半径，|C1C2|＝，∵4－＜|C1C2|＝5＜4＋，∴圆C1和圆C2相交．解：（2）∵两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0，C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0，∴两圆相减，得圆C1和圆C2的公共弦所在直线方程为：8x＋6y－46＝0，即4x＋3y－23＝0．圆心C2（5，6）到直线4x＋3y－23＝0的距离，∴圆C1和圆C2的公共弦长．18．证明：（1）取AB中点为H，则EH∥FC，又EH＝FC，
所以四边形EHCF为平行四边形，所以EF∥HC，又EF⊄平面ABCD，所以∥平面ABCD，解：（2）因为EF∥HC，所以EF与平面ABB1A1所成的角的正弦值与HC与平面ABB1A1所成的角的正弦值相等．又即EF与平面ABB1A1所成的角的正弦值为．（3）因为VB−A1CD＝VA1−BCD，所以，解得h＝．所以点B到平面A1CD的距离为．19．解：（Ⅰ）证明：取CD的中点O，连接OA，OM，∵四边形ABCD是矩形，CD＝2，BC＝2，且O，M分别是CD，BC的中点，∴OD＝OC＝1，CM＝BM＝，AB＝2，AD＝2，∴，∴OA2＝OM2＋AM2，∴AM⊥OM，∵△PCD是等边三角形，O是CD的中点，∴PO⊥CD，
又平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，PO⊂平面PCD，∴PO⊥平面ABCD，又AM⊂平面ABCD，∴PO⊥AM，又AM⊥OM，PO∩OM＝O，PO⊂平面POM，OM⊂平面POM，∴AM⊥平面POM，又PM⊂平面POM，∴AM⊥PM；（Ⅱ）由（1）可知AM⊥平面POM，则AM⊥OM，AM⊥PM，∴∠PMO为二面角P－AM－D的平面角，∵△PCD是边长为2的等边三角形，∴PO＝，又OM＝，PO⊥平面ABCD，∴PO⊥OM，∴△POM为等腰直角三角形，则∠PMO＝，∴平面AMP与平面AMD的夹角为；(亚)连接DM，则VP－ADM＝M⊥PM
设点D到平面PAM的距离为则，即点D到平面APM的距离为
