2021～2022学年高三第一学期期中试卷数 学(满分：150分 考试时间：120分钟)2021．11一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1.已知集合A＝{x|y＝lg(x－2)}，B＝{x|x2－4x<0}，则(∁RA)∩B＝( )A.(－∞，2]B.(0，2]C.(2，4)D.[2，＋∞)2.已知i为虚数单位，复数z满足z·(2＋i)＝3＋4i，记z为z的共轭复数，则|z|＝( )A.B.C.D.3.已知函数y＝f(x)的部分图象如图所示，则函数y＝f(x)的解析式可能为( )A.y＝xcos(x＋π)B.y＝C.y＝sinx－xexD.y＝sinx－xcosx4.在平面直角坐标系xOy中，已知平面向量a，b满足a＝(1，)，|a＋b|＝4，则|b|的取值范围是( )A.[2，6]B.[2，2]C.[2，6]D.[1，2]5.已知关于x的不等式ax2＋2bx＋4＜0的解集为(m，)，其中m<0，则＋的最小值为( )A.－2B.1C.2D.86.某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务．若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲、乙两名成员前往同一基地，丙、丁两名成员前往不同基地，则不同的分配方案总数为( )A.86种B.64种C.42种D.30种7.设x，y，z∈R，已知＝＝，若0＜x＜1，则( )A.x＞y＞zB.z＞x＞yC.x＞z＞yD.y＞z＞x8.由二倍角公式cos2x＝2cos2x－1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式，对于cos3x，我们有cos3x＝cos(2x＋x)＝cos2xcosx－sin2xsinx＝(2cos2x－1)cosx－2sinxcosxsinx＝4cos3x－3cosx，可见cos3x也可以表示为cosx的三次多项式．一般地，存在一个n次多项式Pn(t)，使得cosnx＝Pn(cosx)，这些多项式Pn(t)称为切比雪夫(P.L.Tschebyscheff)多项式．(提示：
18°×3＝90°－18°×2)如图，在等腰三角形ABC中，已知A＝54°，AB＝AC，且△ABC的外接圆半径OC＝1，结合上述知识，可得BC＝( )A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中有多个选项符合要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到y＝g(x)的图象，则下列说法正确的是( )A.φ＝－B.f(x－)＝f(－x)C.函数g(x)为奇函数D.函数g(x)在区间(，)上单调递减10.已知(1－2x)2021＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2021x2021，则( )A.展开式中所有项的系数和为－1B.展开式中二项式系数最大项为第1010项C.＋＋＋…＋＝－1D.a1＋2a2＋3a3＋…＋2021a2021＝202111.若实数x，y满足x＞y＞0，则使得x－y＜1成立的一个充分不必要条件是( )A.x＋y＜1B.log2x－log2y＜1C.sinx－siny＜1D.4x－2·4y＜012.观察如下数阵：第1行 1 2第2行 1 3 2第3行 1 4 3 5 2第4行 1 5 4 7 3 8 5 7 2… …
第n行 1 x1 x2 …………… xk 2该数阵特点：在第n行每相邻两数之间都插入它们的和得到第n＋1行的数，n∈N*.设第n行数的个数为an，第n行的所有数之和为Sn，则( )A.an＋1＝2an－1B.Sn＋1＝3Sn－3C.Sn＝3[(n－1)2＋1]D.k＝2n－1－1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知角θ的终边与直线x＋2y＋1＝0垂直，则sin(＋2θ)的值为________．14.写出满足条件“函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(xy)＝f(x)＋f(y)”的一个函数f(x)＝________．15.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且与圆O：x2＋y2＝a2相切的直线与双曲线C的一条渐近线相交于点M(点M在第一象限).若MF1⊥MF2，则双曲线C的离心率e＝________．16.某同学高考后参加国内3所名牌大学A，B，C的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所大学A，B，C招生考试的概率分别为x，y，，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为________；该同学恰好通过A，B两所大学招生考试的概率最大值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)为推动实施健康中国战略，树立国家大卫生、大健康概念，手机APP也推出了多款健康运动软件，如“某信运动”，某运动品牌公司140名员工均在某信好友群中参与了“某信运动”，且公司每月进行一次评比，对该月内每日运动都达到10000步及以上的员工授予该月“运动达人”称号，其余员工均称为“参与者”，下表是该运动品牌公司140名员工2021年1月～5月获得“运动达人”称号的统计数据：月份12345“运动达人”员工数1201051009580(1)由表中看出，可用线性回归模型拟合“运动达人”员工数y与月份x之间的关系，求y关于x的回归直线方程y＝bx＋a，并预测该运动品牌公司6月份获得“运动达人”称号的员工数；(2)为了进一步了解员工们的运动情况，选取了员工们在3月份的运动数据进行分析，统计结果如下：运动达人参与者合计男员工60m80女员工n2060合计10040140请补充上表中的数据(直接写出m，n的值)，并根据上表判断是否有95%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关？
参考公式和数据：b＝，a＝y－bx，K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d).P(K2>k0)0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.63518.(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列{an}，{bn}满足a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列．(1)求证：数列为等差数列；(2)记cn＝＋，记{cn}的前n项和为Sn，若Sk>，求正整数k的最小值．19.(本小题满分12分)如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝4，b＝2，sin2C＝sinB，且D为BC的中点，点E满足＝＋.(1)求a的值；(2)求cos∠DAE的值．
20.(本小题满分12分)为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自高一年级3人，高二年级4人，高三年级5人．本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛(每场比赛都采取5局3胜制)，最后根据积分选出最后的冠军、亚军和季军．积分规则如下：每场比赛5局中以3∶0或3∶1获胜的队员积3分，落败的队员积0分；而每场比赛5局中以3∶2获胜的队员积2分，落败的队员积1分．(1)比赛结束后冠亚军恰好来自不同年级的概率是多少？(2)已知最后一轮比赛两位选手是甲和乙，假设每局比赛甲获胜的概率均为.记这轮比赛甲所得积分为X，求X的概率分布及数学期望E(X).21.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1的左、右顶点和右焦点分别为A，B和F，直线l：x＝my＋t与椭圆C交于不同的两点M，N，记直线AM，BM，BN的斜率分别为k1，k2，k3.(1)求证：k1k2为定值；(2)若k1＝3k3，求△FMN的周长．22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lnx－ax＋1，x＞0.(1)当a＝1时，求函数f(x)的最大值；(2)若关于x的不等式f(x)＋＋a－2≥0对任意的实数x≥1恒成立，其中e为自然对数的底数，求实数a的取值范围．
(电子稿下载邮箱：zgk_001@163.com密码：zGkzgk001)2021～2022学年高三第一学期期中试卷(如皋)数学参考答案及评分标准1.B 2.A 3.D 4.C 5.C 6.D 7.C 8.A 9.BCD 10.AC 11.AD 12.ABD13.－ 14.log2x 15.2 16. 17.解：(1)由表格数据得x＝＝3，y＝＝100，所以b＝＝＝－9，a＝y－bx＝100－(－9)×3＝127，所以y关于x的回归直线方程为y＝－9x＋127.(4分)令x＝6，则y＝－9×6＋127＝73，即该运动品牌分公司6月份获得“运动达人”称号的员工数为73.(5分)(2)依题意，m＝20，n＝40.(7分)根据列联表数据得K2＝≈1.167<3.841，所以没有95%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关．(10分)18.(1)证明：因为an，bn，an＋1成等差数列，所以2bn＝an＋an＋1 ①.又bn，an＋1，bn＋1成等比数列，所以a＝bnbn＋1 ②.因为an>0，bn>0，由②得an＋1＝，代入①得，当n≥2，n∈N*时，2bn＝＋，整理得2＝＋，所以数列{}为等差数列．(5分)(2)解：在①中，令n＝1，得2b1＝a1＋a2，可得a2＝6.在②中，令n＝1，得a＝b1b2，可得b2＝9.由(1)可知，数列{}是等差数列，结合＝2，＝3，故＝n＋1，bn＝(n＋1)2.所以a＝bnbn＋1＝(n＋1)2(n＋2)2，an＋1＝(n＋1)(n＋2)，所以当n≥2，n∈N*时，an＝n(n＋1).又a1＝2符合上式，所以an＝n(n＋1).(8分)故cn＝＋＝＋＝－＋－＝－，所以Sn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－－.
据Sk>，得－－>，解得k>(负舍)，又k∈N*，故k的最小值为7.(12分)19.解：(1)根据题意，sin2C＝sinB，即2sinCcosC＝sinB，结合正弦定理，有2ccosC＝b.又b＝2，c＝4，所以cosC＝＝.(3分)在△ABC中，据余弦定理可知cosC＝＝，解得a＝4.(5分)(2)由(1)知，a＝c，可知A＝C，故cosA＝.记＝a，＝b，则|a|＝4，|b|＝2.又＝a＋b，＝a＋b，所以·＝(a＋b)·(a＋b)＝a2＋a·b＋b2＝×42＋×4×2×＋×22＝5，(8分)||＝＝＝＝，||＝＝＝＝6，故cos∠DAE＝＝＝.(12分)20.解：(1)比赛结束后冠亚军恰好来自不同校区的概率是p＝＝.(3分)(2)X的可能取值为0，1，2，3.P(X＝0)＝(1－)3＋C××(1－)3＝；P(X＝1)＝C×()2×(1－)3＝；P(X＝2)＝C×()2×(1－)2×＝；P(X＝3)＝()3＋C×()2×(1－)×＝.(11分)所以X的分布列为X0123
P数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(12分)21.(1)证明：设M(x1，y1)，依题意得A(－2，0)，B(2，0).因为点M在椭圆C上，故＋＝1，所以y＝(4－x)，所以k1k2＝·＝＝＝－为定值．(4分)(2)解：由(1)知k1k2＝－，又k1＝3k3，所以k2k3＝－.联立方程组消去x，整理得(3m2＋4)y2＋6mty＋3t2－12＝0.设N(x2，y2)，则(*)(6分)由k2k3＝－，得·＝－，即＝－，整理，得(m2＋4)y1y2＋m(t－2)(y1＋y2)＋(t－2)2＝0，将(*)式代入可得(m2＋4)·＋m(t－2)·＋(t－2)2＝0，化简得t2－t－2＝0，故t＝－1或t＝2.(10分)当t＝2时，直线l经过右顶点B(2，0)，与题意不符，故t＝2舍去；所以t＝－1，直线l的方程为x＝my－1恒过椭圆C的左焦点F′(－1，0)，所以△FMN的周长为FM＋MN＋NF＝FM＋MF′＋NF′＋NF＝2a＋2a＝4a＝8.(12分)22.解：(1)当a＝1时，f(x)＝lnx－x＋1，x＞0，所以f′(x)＝－1＝，令f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0，1)时，f′(x)>0，f(x)在(0，1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以f(x)的最大值为f(1)＝0.(4分)(2)记g(x)＝f(x)＋＋a－2，x≥1，即g(x)＝lnx＋－ax＋a－1，x≥1，g′(x)＝＋－a，g″(x)＝－＋.由(1)可知，当a＝1时，f(x)的最大值为0，即lnx－x＋1≤0，所以lnx≤x－1，其中x>0，故ex－1≥x对∀x>0恒成立，所以g″(x)＝－＋≥－＝≥0，故g′(x)在[1，＋∞)上是单调增函数，
所以，当x≥1时，g′(x)≥g′(1)＝1－a.(7分)①若1－a≥0，即a≤1时，g′(x)≥1－a≥0，g(x)在[1，＋∞)上是单调增函数，g(x)≥g(1)＝0，故a≤1符合题意；(8分)②若1－a<0，即a＞1时，g′(1)<0，因为g′(4a＋1)＝＋－a>－a＝a＝a，据ex－1≥x，其中x>0，可得ex≥x＋1对任意x>0都成立，所以a＞1时，e2a≥2a＋1>2a＋，>1，所以g′(4a＋1)>0.结合g′(x)在[1，＋∞)上的图象是一条不间断的曲线，所以存在x0∈(1，4a＋1)，使得g′(x)＝0，且当x∈(1，x0)时，g′(x)<0，g(x)在(1，x0)上是单调减函数，所以存在x＝x0，g(x0)<g(1)＝0，与题意矛盾，故a＞1不符合题意．综上所述，实数a的取值范围是a≤1.(12分)
