2021~2022学年度第一学期期中学情检测高三数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含[选择题(1~12))填空题(第13题~第16题，共80分)、解答题(第17~22题，共70分)]。本次考试时间120分钟，满分150分。请将答题卡交回。2．答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。3．答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。在试卷或草稿纸上作答一律无效。4．如有作图需要，可用2B铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚。一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M，N，P均为R的非空真子集，且M∪N＝R，M∩N＝P，则M∩(∁P)＝()RA．MB．NC．∁MD．∁NRR12．已知复数z满足z(2＋i)＝－i，则|z|＝()21213A．B．C．D．42222ππ3．“θ＝”是“tanθ＝2cos(＋θ)”的()条件32A．充分而不必要B．必要而不充分C．充分必要D．既不充分也不必要高三数学第1页，共15页
4．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”(如图)，则异面直线AB与CD所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．120°115．已知函数f(x)＝ln(1＋|x|)－在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)＜f()的x的21＋x3取值范围是()12121212A．(，)B．[，)C．(，)D．[，)33332323高三数学第2页，共15页
22xy2226．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)与圆x＋y＝c在第二象限的交点是P点，F(－c，0)是椭圆221ab3的左焦点，O为坐标原点，O到直线PF1的距离是c，则椭圆的离心率是()25－16－1A．2－1B．3－1C．D．22π3π7π7．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的最小正周期T，且x＝是函数f(x)的一条2412πππ对称轴，(，0)是函数f(x)的一个对称中心，则函数f(x)在(－，)上的取值范围是()3461A．(－1，3]B．(－1，2]C．(－，1]D．[－1，2]2高三数学第3页，共15页
8．定义在R上的奇函数f(x)的图象光滑连续不断，其导函数为f′(x)，对任意正实数x恒有2(x2－1))＋g(－1)＜0的解集是()xf′(x)＞2f(－x)，若g(x)＝xf(x)，则不等式g(log3A．(0，2)B．(－2，2)C．(－3，2)D．(－2，－1)∪(1，2)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．19．若sinα＋3cosα＝，则()25π12A．cos(α＋)＝B．3tanα＋83tanα＝－11644π12C．sin(α＋)＝－D．3tanα＋83tanα＝－1234高三数学第4页，共15页
22xy10．已知曲线C：＋＝1，F1，F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列说法正确的是()9mπA．若m＝－3，则曲线C的两条渐近线所成的锐角为3B．若曲线C的离心率e＝2，则m＝－27πC．若m＝3，则曲线C上不存在点P，使得∠FPF＝122D．若m＝3，P为C上一个动点，则△PF1F2面积的最大值为32高三数学第5页，共15页
11．正方体ABCD＝ABCD的棱长为1，点E为BA的中点，下列判断正确的是()11111A．AB//平面ACDB．直线EC与直线AD是异面直线11πC．在直线AC上存在点F，使EF⊥平面ACDD．直线BA1与平面A1CD所成角是1116f(x＋Δx，y)－f(x，y)f(x＋Δx，y)－f(x，y)0000000012．若lim存在，则称lim为二元函数z＝f(x，Δx→0ΔxΔx→0Δxf(x，y＋Δy)－f(x，y)，y)处对x的偏导数，记为f0000y)在点(xx′(x0，y0)；若lim存在，则称00y→0Δyf(x，y＋Δy)－f(x，y)lim0000为二元函数z＝f(x，y)在点(x0，y0)处对y的偏导数，记为fy′(x0，Δy→0Δyy0)，已知二元函数f(x，y)＝x2－2xy＋y3(x＞0，y＞0)，则()A．fx′(1，2)＝－2B．fy′(1，2)＝104C．fx′(m，n)＋fy′(m，n)的最小值为－1D．f(x，y)的最小值为－27高三数学第6页，共15页
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．22xy2213．双曲线－＝1的一条渐近线被圆(x－2)＋y＝4截得的弦长为2，双曲线的实轴长为2a3▲．14．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为43的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周高三数学第7页，共15页
长为4π，则该球的半径是▲．22c2115．已知a＞0，b＞0，c＞0，a－ab＋9b－5c＝0，当最小时，x－3x≥a＋b－c恒成立，ab3则x的取值集合是▲．16．甲乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再减去6；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上6，这样就可得到一个新的实数a2，对实数a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3，当3a3＞a1时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为，则a1的取值范围是▲．4高三数学第8页，共15页
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)2在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线C：x＝2py(p＞0)的焦点为F，抛物线C上不同两点M，N同时满足下列三个条件中的两个：①|FM|＋|FM|＝|MN|；②OM|＝|ON|＝|MN|＝86；③直线MN的方程为y＝6p．请分析说明两点M，N满足的是哪两个条件?并求抛物线C的标准方程；【解析】高三数学第9页，共15页
18．(本小题满分12分)222在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋c－b)sinB＝3accosB．(1)求B：(2)若b＝1，求c－2a的取值范围．【解析】19．(本小题满分12分)22m1已知(x＋)的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为．x2(1)求展开式中所有项的系数和与二项式系数和；(2)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率．高三数学第10页，共15页
【解析】5r14＝Cr·2r·x2720．(本小题满分12分)如图所示，矩形ABCD所在平面与直角梯形ABEF所在平面垂直，点G是边AB上一点，AB＝AF＝4，AD＝2，AG＝BE＝1，AF⊥AB，BE⊥AB．(1)求证：平面DFG⊥平面ACF；(2)求平面DFG与平面CEF所成锐二面角的余弦值．【解析】高三数学第11页，共15页
C(2，4，0)，E(0，4，1)，21．(本小题满分12分)222xy如图，抛物线C：y＝2px(p＞0)的焦点为椭圆C：＋＝1的右焦点，A为椭圆的右顶点，1243O为坐标原点．过A的直线l交抛物线C于C，D两点，射线OC，OD分别交椭圆C于E，12F两点．(1)求抛物线C的方程，并证明O点在以EF为直径的圆的内部；1高三数学第12页，共15页
13(2)记△OEF，△OCD的面积分别为S，S，若S＝S，求直线l的方程．12213【解析】22．(本小题满分12分)x已知f(x)＝x－ae，a∈R．高三数学第13页，共15页
1(1)当a＝时，证明：f(x)＋lnx－x＋1≤0在(0，＋∞)上恒成立；e(2)讨论函数f(x)的零点个数．【解析】的零点x＝1，高三数学第14页，共15页
f(x)在R上无零点．高三数学第15页，共15页
