2014-2015学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.)1.数1与9的等差中项是________．2.方程组2x+y=1，3x-2y=0对应的增广矩阵为________．3.行列式4-3125k14-2的元素-3的代数余子式的值为7，则k=________．4.如果limn→+∞3n3n+1+(a+1)n=13，则实数a的取值范围是________．5.已知等差数列{an}的前n项和Sn=48，S2n=60，则S3n=________．6.已知P1(6, -3)，P2(-3, 8)，且|P1P→|=2|PP2→|，点P在线段P1P2的延长线上，则P点的坐标为________．7.已知向量a→，b→满足|a→|=|b→|=|a→+b→|=1，则a→，b→的夹角为________．8.设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=limn→∞（a3+a4+⋯），则q=________．9.执行如图的程序框图，若p=3，则输出的S=________．10.给出下列命题：①若a→2+b→2=0，则a→=b→=0→；②若k∈R，则k⋅0→=0；③若b→ // a→，则|b→|=|a→|；④若两个非零向量a→、b→满足|a→+b→|=|a→|+|b→|，则a→⋅b→=|a→|⋅|b→|；⑤已知a→、b→、c→是三个非零向量，若a→+b→=0→，则|a→⋅c→|=|b→⋅c→|．其中真命题的序号是试卷第5页，总6页
________．11.已知e1→、e2→是两个不平行的向量，实数x、y满足xe1→+(5-y)e2→=(y+1)e1→+xe2→，则x+y=________．12.若数列{an}是等差数列，首项a1>0，a2014+a2015>0，a2014．a2015<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是________．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.)13.“D=a1b1a2b2≠0”是“方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2有唯一解”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条C.充要条件D.既不充分又不必要条件14.若OA→=(-5, 4)，OB→=(7, 9)，向量AB→同向的单位向量坐标是（）A.(-1213，-513)B.(1213，513)C.(-1213，513)D.(1213，-513)15.用数学归纳法证明1+2+...+(2n+1)=(n+1)(2n+1)，在验证n=1成立时，左边所得的代数式是（）A.1B.1+2C.1+2+3D.1+2+3+416.由9个正数组成的矩阵a11a12a13a21a22a23a31a32a33中，每行中的三个数成等差数列，且a11+a12+a13，a21+a22+a23，a31+a32+a33成等比数列，给出下列判断：①第2列a12，a22，a32必成等比数列；②第1列a11，a21，a31不一定成等比数列；③a12+a32≥a21+a23；④若9个数之和等于9，则a22≥1．其中正确的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.)17.已知关于x的不等式(x+a)x-2<0的解集为(-1, b)．求实数a、b的值．18.设{an}为等差数列，{bn}为等比数列．已知a1=b1=1，a2+a6=b4，b2b6=a4．分别求出a10和b10．19.一航模小组进行飞机模型实验，飞机模型在第一分钟时间里上升了15米高度．（1）若通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的每一分钟里，上升的高度都比它前一分钟上升的高度少2米，达到最大高度后保持飞行，问飞机模型上升的最大高度是多少？（2）若通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的每一分钟上升的高度是它在前一分钟里上升高度的80%，那么这个飞机模型上升的最大高度能超过75米吗？请说明理由．20.已知：a→、b→、c→是同一平面内的三个向量，其中a→=(1, 2)试卷第5页，总6页
（1）若|c→|=25，且c→ // a→，求c→的坐标；（2）若|b→|=52，且a→+2b→与2a→-b→垂直，求a→与b→的夹角θ；（3）若b→=(1, 1)，且a→与a→+λb→的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．21.设x轴、y轴正方向的单位向量分别为i→，j→，坐标平面上的点An满足条件：OA1→=i→+j→，AnAn+1→=2ni→-j→(n∈N*)．（1）若数列{an}的前n项和为sn，且sn=OA1→⋅AnAn+1→，求数列{an}的通项公式．（2）求向量 OAn+1→的坐标，若△OA1An+1(n∈N*)的面积S△OA1An+1构成数列{bn}，写出数列{bn}的通项公式．（3）若cn=bnan-2，指出n为何值时，cn取得最大值，并说明理由．试卷第5页，总6页
参考答案与试题解析2014-2015学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1.52.2113-203.34.-4<a<25.36．6.(-12, 19)7.2π38.-1+529.7810.①、④、⑤11.512.4028二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.13.C14.B15.C16.B三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17.解：原不等式(x+a)x-2<0，即x2+ax-2<0，由题意得，-1，b是方程x2+ax-2=0的两根，则-1+b=-a-1×b=-2，解得a=-1，b=2．18.解：∵{an}为等差数列，{bn}为等比数列，∴a2+a6=2a4，b2b6=b42，由已知a2+a6=b4，b2b6=a4，∴b4=2a4，a4=b42．即 b4=2b42．又b4≠0，∴b4=12，a4=14，由a1=1，a4=14知{an}的公差为d=-14，∴a10=a1+(10-1)d=-54；由b1=1，b4=12知{bn}的公比为q3=12，∴b10=b1q9=18试卷第5页，总6页
19.解：（1）由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成a1=15，d=-2的等差数列，则Sn=na1+n(n-1)2d=15n+n(n-1)2×(-2)=-n2+16n当n=8时，(Sn)max=S8=64即，飞机模型在第8分钟上升到最大高度为64米． （2）不能超过． 由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成b1=15，q=0.8的等比数列，则Sn=b1(1-qn)1-q=15(1-0.8n)0.2=75(1-0.8n)飞机模型上升的最大高度是这个等比数列的各项和．即，S=limn→∞Sn=b11-q=151-0.8=75所以，这个飞机模型上升的最大高度不能超过75米．20.解：（1）设c→=(x,y)，由c→ // a→和|c→|=25可得：y=2xx2+y2=20解得，x=2y=4或 x=-2y=-4，∴c→=(2,4)，或c→=(-2,-4)；（2）由(a→+2b→)⊥(2a→-b→)得，(a→+2b→)⋅(2a→-b→)=0，即，2a→2+3a→⋅b→-2b→2=0，2|a→|2+3a→⋅b→-2|b→|2=0，即有2×5+3a→⋅b→-2×54=0，所以a→⋅b→=-52；得cosθ=|a→|⋅|b→|˙=-1，由 θ∈[0, π]，得，θ=π；（3）a→=(1,2)⇒a→+λb→=(λ+1,λ+2)，由a→与a→+λb→的夹角为锐角，得a→⋅(a→+λb→)>0，λ+1+2λ+4>0⇒λ>-53，若a→ // a→+λb→，得λ=0，所以，λ∈(-53，0)∪(0,+∞)．21.解：（1）由题意sn=OA1→⋅AnAn+1→=2n-1①，当n=1时，a1=s1=2-1=1，当n≥2时，sn-1=2n-1-1②由 ①-②得：an=2n-1-(2n-1-1)=2n-1，又当n=1时，a1=1符合题意，所以an=2n-1(n∈N*) 试卷第5页，总6页
（2）解：OAn+1→=OA1→+A1A2→+...+AnAn+1→=(1+2+22+...+2n)i→+(1-1-1-...-1)j→=(2n+1-1)i→+(1-n)j→，所以，OAn+1→=(2n+1-1,1-n)，由当n∈N*时，△OA1An+1的顶点坐标分别为：O(0,0)、A1(1,1)、An+1(2n+1-1,1-n)得，S△OA1An+1=121110012n+1-11-n1=12(2n+1+n-2)=2n+n-22，即bn=2n+n-22(n∈N*) （3）cn=bnan-2=2n+n-222n-1-2=n-22n，当n≥2时，cn-cn-1=n-22n-n-32n-1=4-n2n，∴1≤n≤3时，{cn}是递增数列，n≥5时，{cn}是递减数列，c1<c2<c3=c4>c5>c6>...>cn>…，∴当n=3或n=4时，cn取得最大值，c3=c4=18．试卷第5页，总6页
