2020-2021学年北京市顺义区高三（上）期末数学试卷（一模）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1.设集合＝ݔݔ＝，ሺሻݔͳݔȁݔሺݔȁݔሺሺ，则＝（）A.ȁሺͳݔሺȁ.Dݔሺ.Cݔሺ.Bݔ2.在复平面内，复数对应的点的坐标是ȁ쇐ݔ，则＝（）A.B.C.D.3.在ݔȁ为项数常，中式开展的ݔݔA.B.쇐C.ͳD.4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ͳA.B.C.D.쇐쇐5.我国古代数学论著中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯二百五十四，请问底层几盏灯？”意思是：一座层塔共挂了ͳ盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的ͳ倍，则塔的底层共有灯（）A.쇐ͳ盏B.盏C.ͳ䁡盏D.盏6.设双曲线的方程为，若的一条渐近线的斜率为，则的离心率为（）试卷第1页，总10页
A.B.C.D.7.已知，，且，则下列不等式中不恒成立的是（）A.B.C.D.ͳͳ8.已知两条直线，和平面，且，则“”是“”的（）A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件9.在䳌中，，则cos＝（）A.B.C.D.10.已知函数．若存在ݔݔȁ得使，ݔሺሺȁݔ＝，则实数的取值范围是（）A.B.C.ȁሺݔD.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．)11.＝________．12.设抛物线ͳ＝ݔȁ为点焦的ݔ，则＝________；若点在抛物线上，且＝쇐，则点的坐标为________．13.已知函数ȁݔȁ间区在又数函偶是既ݔݔȁ明说能，ݔͳݔ＝ݔݔ上单调递减的一组整数，，的值依次是________．14.已知单位向量，满足＝，则与夹角的大小为________；ሺݔȁݔݔ的最小值为________．15.已知椭圆的左、右焦点分别为，ͳ，直线ݔ＝ȁሺሻሻݔ与椭圆相交于点，䳌．给出下列三个命题：①存在唯一一个，使得ͳ为等腰直角三角形；②存在唯一一个，使得䳌为等腰直角三角形；试卷第2页，总10页
③存在，使䳌的周长最大．其中，所有真命题的序号为________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．)16.在三棱柱䳌ሺ䳌中，平面䳌，䳌，䳌，是的中点．ȁⅠݔ求证：䳌；ȁⅡݔ求二面角䳌ሺሺ的余弦值．17.函数ȁݔݔȁnis＝ݔݔȁ，，的部分图象如图所示．ȁⅠݔ求函数ȁݔݔ的解析式；ȁⅡݔ求函数在区间上的最小值．18.为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了ͳ名顾客进行回访，调查结果如表：运动鞋款式䳌回访顾客（人数）쇐쇐ͳ满意度意쇐意意意意注：．满意度是指：某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总人数的比值；ͳ．对于每位回访顾客，只调研一种款式运动鞋的满意度．假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立，用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率．ȁⅠݔ从所有的回访顾客中随机抽取人，求此人是款式运动鞋的回访顾客且对该款试卷第3页，总10页
鞋满意的概率；ȁⅡݔ从、两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取人，设其中满意的人数为，求的分布列和数学期望；ȁⅢݔ用“＝”和“＝”分别表示对款运动鞋满意和不满意，用“＝”和“＝”分别表示对䳌款运动满意和不满意，试比较方差ȁݔ与ȁݔ的大小．（结论不要求证明）19.已知椭圆经过点ȁݔ和．ȁⅠݔ求椭圆的方程；ȁⅡݔ＝直线直若ݔ与椭圆交于，䳌两点，且坐标原点到直线的距离为．求证：以䳌为直径的圆经过点．20.已知函数ݔnlሺͳݔݔ.ȁݔ线曲求，ͳ若ݔ的斜率等于쇐的切线方程；ȁͳݔ若ݔ在区间上恰有两个零点，求的取值范围．21.已知ሺ是无穷数列．给出两个性质：①对于ሺ中任意两项，ȁݔ，在ሺ中都存在一项，使得ͳሺ＝；②对于ሺ中任意项ȁ쇐ݔȁ，项两在存都中ሺ在，ݔ，使得＝ͳሺ．ȁⅠݔ若，判断数列ሺ是否满足性质①，说明理由；ȁⅡݔ…,ͳ＝ȁ＝若ݔ，判断数列ሺ是否同时满足性质①和性质②，说明理由；ȁⅢݔ若ሺ是递增数列，＝，且同时满足性质①和性质②，证明：ሺ为等差数列．试卷第4页，总10页
参考答案与试题解析2020-2021学年北京市顺义区高三（上）期末数学试卷（一模）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.B2.D3.A4.A5.C6.A7.C8.C9.D10.B二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.ሺ12.,13.ሺ，，（答案不唯一）14.,15.①③三、解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．16.ȁⅠݔ证明：因为平面䳌，所以䳌．又䳌，，平面，平面，所以䳌平面．因为平面，所以䳌．（2）在三棱柱䳌ሺ䳌中，，试卷第5页，总10页
因为由平面䳌，所以平面䳌．所以䳌，，两两垂直．如图，以为原点，建立空间直角坐标系ሺݔ，所以ȁݔͳȁ，ݔͳȁ，ݔͳȁ䳌，ݔ．设平面䳌的法向量为＝ȁݔݔ，因为䳌＝ȁሺͳͳݔͳሺȁ＝，ݔ，䳌＝ሺͳݔͳ＝所以．即．＝ሺͳ＝令，则ݔͳ，ͳ．所以平面䳌的一个法向量为＝ȁͳͳݔ．因为䳌平面，所以平面的一个法向量为䳌＝ȁͳݔ．䳌ͳ所以cosሻ䳌，＝＝．䳌쇐ͳ所以二面角䳌ሺሺ的余弦值为．쇐17.（1）由题设图象知，周期，因为，所以，而由题意知＝ͳ，所以ȁݔݔͳȁnisͳ＝ݔݔ，因为函数ȁݔݔ的图象过点，所以．试卷第6页，总10页
所以．所以又因为，所以．故函数ȁݔݔ的解析式为．（2）＝＝，＝＝，因为，所以．所以当时，即ݔݔȁ，时＝ݔ取到最小值，且最小值为ሺ쇐．18.（1）由题意知，是款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数为쇐意＝ͳሺሺሺሺሺ故此顾客是款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率是．--------（2）的取值为，，ͳ．---------------------------------设事件为“从款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的人对该款式运动鞋满意”，事件为“从款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的人对该款式运动鞋满意”，且事件与￢相互独立．根据题意，ȁݔ估计为意쇐，ȁݔ估计为意．则----＝意쇐意意意＝意ሺሺሺሺሺሺሺሺሺȁ＝ͳݔȁݔȁ＝ݔȁ＝ݔ＝意쇐意＝意䁡ሺሺሺሺሺሺሺሺሺሺሺሺሺሺ试卷第7页，总10页
所以的分布列为：ͳ意ͳ䁡意意䁡-------的期望是：ȁݔ＝意ͳ䁡意ͳ意䁡＝意．----ȁⅢݔȁሻݔȁݔ．-------------------------------------------19.（1）因为椭圆经过点ȁݔ，所以＝，又因为椭圆经过点，所以，解得＝ͳ，所以椭圆的方程为，（2）证明：由，可得ȁͳݔ䁡ͳݔݔͳሺ＝，由题意，，设ȁݔͳͳݔȁ䳌，ݔݔ，所以，，因为原点到直线的距离为，所以，即ͳ＝ȁͳݔ，因为•＝ݔͳݔȁݔݔȁͳݔݔ＝ͳͳݔݔ＝＝＝，所以䳌．因此以䳌为直径的圆过原点．20.解：ȁݔ数函知可ݔ定义域是.当ͳ时，ݔnlͳሺͳݔݔ，ͳͳݔݔሺݔͳݔሺ，ݔݔ试卷第8页，总10页
ͳ由ݔ，ͳݔ得解，쇐ሺݔͳݔͳሺ(舍去)，ݔͳ又ͳሺͳlnͳ，所以切线方程为ሺሺͳlnͳ쇐ݔሺͳ，即쇐ݔሺሺͳሺͳlnͳ.ȁͳݔͳݔ，时当ݔሺ，ݔ函数单调递增，则不存在两个零点，舍去；ͳݔͳሺ当时，ݔͳݔሺݔݔͳݔሺݔ，ݔ易知ݔ得使要，点值极个一有只ݔ有两个零点，ͳͳͳ则ሻሻ，即ሻሻͳ,ͳͳ此时在上ݔ，ሻݔ单调递减；ͳ在上ݔ，ݔ单调递增；ͳ且ݔ在ݔ时取得极小值ሺlnሻ，ͳͳͳͳͳሺln，ሺ，ͳ解得ͳሻͳ．综上的范围是ȁͳͳ.21.（1）数列ሺ不满足性质①，理由如下：取数列ሺ中的＝ͳ，ͳ＝，所以ͳͳሺ＝．由ͳ＝，解得＝log，显然不是整数．ͳ所以在数列ሺ中不存在，使得ͳͳሺ＝，故数列ሺ不满足性质①；（2）数列ሺ同时满足性质①和性质②，理由如下：对于ሺ中任意两项，ȁݔ，记＝ͳሺ，因此＝ͳሺ，从而数列ሺ满足性质①；对于ሺ中任意项ȁ쇐ݔȁͳሺ＝，ሺ＝记，ݔ，显然有＝ͳሺ，从而数列ሺ满足性质②；综上，数列ሺ同时满足性质①和性质②．ȁⅢݔ证明：ሺ是递增数列，＝，则ͳ，根据性质①ͳͳሺ＝ͳͳሺ，ͳȁͳͳݔሺͳ＝쇐ͳሺ，ͳȁ쇐ͳݔሺͳͳ＝ͳሺ…，由数学归纳法原理，可以证明ͳሺ＝ͳͳͳ쇐ͳ意意意ሺሺ，另一个方面，我们用反证法证明ሺͳሺ＝ͳͳͳ쇐ͳ意意意ሺ，假设ݔȁͳ＝ݔ是ሺ中最小的不能写成ͳ的整倍数的项，根据性质②，存在两项，ȁݔ得使，ݔ＝ͳሺ，我们记＝ͳ，＝ͳ，其中，可知：ͳ＝ݔሺͳȁ＝ͳሺͳͳ＝ݔͳ，易知＝ͳሺ＝ȁሺݔ，根据ݔȁ＝ݔ的最小性，可知道，，可以得到＝ͳሺ，与不是ͳ试卷第9页，总10页
正整数矛盾．综上所述，ሺ是首项为，公差为ͳ的等差数列．试卷第10页，总10页
