2019-2020学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1.已知集合＝‴㔱⸷‴，＝ᦙ䁡⸷，则＝（）A.⸷䁡B.⸷C.ᦙ䁡D.ᦙ䁡⸷䁡2.复数的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为（）䁡香䁕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.下列函数中既是奇函数，又在区间⸷䁡上单调递减的是（）A.‴＝‴B.‴＝lg㔱‴㔱C.‴＝ᦙ‴D.‴＝cos‴4.已知向量䁞，ᦙ，若ᦙ，则实数＝（）A.ᦙ䁡B.䁡C.D.ᦙ5.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米䁡䁞䁃石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得䁞䁃粒内夹谷粒，则这批米内夹谷约为（）A.䁡䁃石B.䁡晦䁡石C.石D.䁡晦䁞石6.已知＝log䁃，＝log，䁞，则，，的大小关系是（）A.൏൏B.൏൏C.൏൏D.൏൏7.艺术体操比赛共有位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从个原始评分中去掉䁡个最高分、䁡个最低分，得到䁞个有效评分．䁞个有效评分与个原始评分相比，不变的数字特征是（）A.中位数B.平均数C.方差D.极差8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与原正方体体积的比值为（）䁡䁡䁡䁡A.B.C.D.晦䁞9.在等差数列中，设，，，，则香݈香是香݈香的（）䁡试卷第1页，总8页
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要必要条件D.既不充分也不必要条件10.关于曲线‴香‴䁕香䁕＝䁃．给出下列三个结论：①曲线恰好经过晦个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线上任意一点到原点的距离都不大于；③曲线上任意一点到原点的距离都不小于．其中，正确结论的个数是（）A.⸷B.䁡C.D.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．)晦11.在‴ᦙ的二项展开式中，常数项等于________．（用数字作答）‴‴12.已知双曲线的方程为ᦙ䁕䁡，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为________．13.已知数列香为等比数列，＝䁡，＝，则＝________．䁡14.已知平面，，．给出下列三个论断：①；②；③．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________．䁡15.在中，内角，，所对的边分别是，，，已知ᦙ，sin＝䁃sin，则cos的值为________．16.已知向量䁡，是平面内的一组基向量，为内的定点，对于内任意一点，当‴䁡香䁕时，则称有序实数对‴䁕为点的广义坐标，若点、的广义坐标分别为‴䁡䁕䁡、‴䁕，对于下列命题：‴䁡香‴䁕䁡香䁕①线段的中点的广义坐标为；②向量平行于向量的充要条件是‴䁡䁕＝‴䁕䁡；③向量垂直于向量的充要条件是‴䁡‴香䁕䁡䁕＝⸷．其中，真命题是________．（请写出所有真命题的序号）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．)䁡17.已知函数‴cos‴sin‴香cos‴ᦙ．Ⅰ若⸷൏൏，且sin，求的值；䁞Ⅱ求函数‴的最小正周期，及函数‴的单调递减区间．18.一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“晦点”获得䁡䁞分，出现三次“晦点”获得䁡⸷分，没有出现“晦点”则扣除䁡分（即获得ᦙ䁡．Ⅰ设每盘游戏中出现“晦点”的次数为，求的分布列；Ⅱ玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得䁡䁞分的概率；Ⅲ玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．试卷第2页，总8页
19.已知在四棱锥ᦙက中，底面က是边长为䁃的正方形，က是正三角形，က平面က，，，，分别是，က，，က的中点．Ⅰ求证：平面က；Ⅱ求平面与平面က所成锐二面角的大小；Ⅲ线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段晦的长度；若不存在，说明理由．20.已知函数‴＝‴ᦙ‴．Ⅰ求函数‴的单调区间；Ⅱ若＝，‴的图象与䁕轴交于点，求䁕＝‴在点处的切线方程；Ⅲ在Ⅱ的条件下，证明：当‴݈⸷时，‴݈‴ᦙ‴香䁡恒成立．‴䁕21.已知椭圆香䁡过点䁡．Ⅰ求椭圆的方程，并求其离心率；Ⅱ过点作‴轴的垂线，设点为第四象限内一点且在椭圆上（点不在直线上），点关于的对称点为，直线与交于另一点．设为原点，判断直线与直线的位置关系，并说明理由．22.已知由个正整数构成的集合＝൏൏൏，䁡䁡记＝䁡香香香，对于任意不大于的正整数，均存在集合的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于．Ⅰ求䁡，的值；香䁡Ⅱ求证：“䁡，，…，成等差数列”的充要条件是“”；Ⅲ若＝⸷⸷，求的最小值，并指出取最小值时的最大值．试卷第3页，总8页
参考答案与试题解析2019-2020学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.B2.A3.C4.B5.B6.D7.A8.C9.D10.B二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11.ᦙ䁡晦⸷12.䁡13.䁞14.①③②䁡15.ᦙ䁃16.①②③三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.（1）因为⸷൏൏，且sin，䁞所以cos，䁞䁃䁃䁡䁡䁡所以香ᦙᦙ，䁞䁞䁞䁞䁞⸷䁡䁡（2）‴cos‴sin‴香cos‴ᦙcos‴sin‴香‴ᦙ，䁡䁡香cos‴䁡sin‴香ᦙ，䁡sin‴香cos‴，sin‴香，䁃所以函数‴的最小正周期，䁡由香‴香香，䁃试卷第4页，总8页
䁞解得香‴香，，䁞所以函数‴的单调递减区间香香．18.（1）可能的取值为⸷，䁡，，（3）䁡每次抛掷骰子，出现“晦点”的概率为．晦⸷䁡䁡䁞䁡䁡䁡䁞＝⸷䁡ᦙ，＝䁡䁡ᦙ，晦䁡晦晦晦䁡晦䁡䁡䁡䁞䁡䁡＝䁡ᦙ，＝，晦晦䁡晦晦䁡晦所以的分布列为：⸷䁡䁡䁞䁞䁞䁡䁡晦䁡晦（2）设“第䁕盘游戏获得”为事件䁕䁕＝䁡，则䁡䁡香䁡⸷䁞．䁡晦䁡䁡䁞所以“两盘游戏中至少有一次获得䁡䁞分”的概率为䁡ᦙ䁡．䁡䁃䁃䁡䁞因此，玩两盘游戏至少有一次获得䁡䁞分的概率为．䁡䁃䁃Ⅲ设每盘游戏得分为．由Ⅰ知，的分布列为：ᦙ䁡䁡䁞䁡⸷䁡䁞䁞䁡䁡晦䁡䁡晦䁡䁞䁞䁡䁞的数学期望为ᦙ䁡香䁡䁞香䁡⸷ᦙ．䁡晦䁡䁡晦晦这表明，获得分数的期望为负．因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．19.（1）证明：因为က是正三角形，是က的中点，所以က．又因为က平面က，平面က，所以က，ကက＝က，က，က平面က，所以面က；（2）如图，以点为原点分别以、、所在直线为‴轴、䁕轴、轴建立空间直角坐标系．则⸷⸷⸷⸷⸷䁃⸷ᦙ䁃⸷ကᦙ⸷⸷⸷䁃⸷⸷⸷，ᦙ䁡ᦙ䁡⸷，⸷ᦙ⸷䁡ᦙ，设平面的法向量为‴䁕，试卷第5页，总8页
⸷ᦙ䁕⸷由，得‴香䁕ᦙ⸷⸷令＝䁡，则⸷䁡，又平面က的法向量⸷⸷䁡，设平面与平面က所成锐二面角为，㔱㔱䁡所以cos．㔱㔱㔱㔱所以平面与平面က所成锐二面角为；Ⅲ假设线段上存在点，使得直线与平面所成角为，晦设⸷䁡，由香香，所以ᦙ䁃䁡ᦙ．所以sin㔱cos൏݈㔱，晦䁃ᦙ晦香整理得ᦙ香＝⸷，无解，所以，不存在这样的点．20.（1）‴＝‴ᦙ，当⸷时，‴⸷恒成立，所以‴在上单调递增，当݈⸷时，令‴＝⸷，解得‴＝ln．当‴变化时，‴，‴的变化情况如表：‴lnlnᦙln香‴-⸷+‴减极增小值所以݈⸷时，‴在ᦙln上单调递减，在ln香上单调递增．试卷第6页，总8页
（2）令‴＝⸷，得䁕＝䁡，则⸷䁡，因为‴＝‴ᦙ，所以⸷＝䁡ᦙ＝ᦙ，所以在点处的切线方程为䁕ᦙ䁡＝ᦙ‴ᦙ⸷，即䁕＝ᦙ‴香䁡Ⅲ证明：令‴＝‴ᦙ‴ᦙ‴香䁡＝‴ᦙ‴ᦙ䁡，则‴＝‴ᦙ‴．令‴＝‴ᦙ‴，则‴＝‴ᦙ，当⸷൏‴൏ln时，‴൏⸷，‴单调递减，当‴݈ln时，‴݈⸷，‴单调递增；所以‴ln＝lnᦙln＝ᦙln݈⸷，即‴݈⸷恒成立．所以‴在ᦙ香上单调递增，所以‴݈⸷＝䁡ᦙ⸷ᦙ䁡＝⸷，所以‴ᦙ‴ᦙ䁡݈⸷，即当‴݈⸷时，‴݈‴ᦙ‴香䁡恒成立．‴䁕21.（1）由椭圆方程椭圆香䁡过点䁡，可得＝．所以＝ᦙ＝ᦙ＝晦，‴䁕晦所以椭圆的方程为香䁡，离心率，（2）直线与直线平行．证明如下：设直线䁕ᦙ䁡＝‴ᦙ，䁕ᦙ䁡＝ᦙ‴ᦙ，设点的坐标为‴䁡䁕䁡，‴䁕，‴䁕香䁡由得䁃香䁡‴香䁡ᦙ‴香䁡晦ᦙ䁡晦ᦙ䁃＝⸷，䁕‴ᦙ香䁡䁡晦ᦙ䁡晦香䁃∴‴䁡，䁃香䁡ᦙᦙ∴‴䁡䁡香䁃香ᦙ同理‴，䁃香䁡䁡晦所以‴䁡ᦙ‴ᦙ，䁃香䁡由䁕䁡＝‴䁡ᦙ香䁡，䁕＝ᦙ‴䁡香香䁡有䁕䁡ᦙ䁕＝‴䁡香‴ᦙ䁃ᦙ，䁃香䁡因为在第四象限，所以⸷，且不在直线上．䁕䁡ᦙ䁕䁡∴，‴䁡ᦙ‴䁡又，故＝，所以直线与直线平行．22.（1）由条件知䁡，必有䁡，又䁡൏൏൏均为整数，䁡＝䁡，，由的定义及䁡൏൏൏均为整数，必有，＝；（2）证明：必要性：由“䁡，，…，成等差数列”及䁡＝䁡，＝，得䁕＝䁕䁕＝䁡,…,此时＝䁡满足题目要求，䁡从而䁡香香香香香䁡；充分性：由条件知䁡൏൏൏，且均为正整数，可得䁕䁕䁕＝䁡,…,，试卷第7页，总8页
䁡故䁡香香香香香䁡，当且仅当䁕＝䁕䁕＝䁡,…,时，上式等号成立．䁡于是当香䁡时，䁕＝䁕䁕＝䁡,…,，从而䁡，，…，成等差数列．䁡所以“䁡，，…，成等差数列”的充要条件是“香䁡”；Ⅲ由于含有个元素的非空子集个数有ᦙ䁡，故当＝䁡⸷时，䁡⸷ᦙ䁡＝䁡⸷，此时的非空子集的元素之和最多表示䁡⸷个不同的整数，不符合要求．而用䁡䁡个元素的集合＝䁡䁃䁡晦晦䁃䁡䁞晦䁞䁡䁡⸷䁃的非空子集的元素之和可以表示䁡，，，…，⸷䁃晦，⸷䁃共⸷䁃个正整数．因此当＝⸷⸷时，的最小值为䁡䁡．记䁡⸷＝䁡香香香䁡⸷，则䁡⸷香䁡䁡＝⸷⸷并且䁡⸷香䁡䁡䁡．事实上若䁡⸷香䁡൏䁡䁡，⸷⸷＝䁡⸷香䁡䁡൏䁡䁡，则䁡䁡݈䁡⸷䁡⸷，䁡⸷൏䁡䁡൏䁡⸷䁡⸷，所以＝䁡⸷䁡⸷时无法用集合的非空子集的元素之和表示，与题意不符．⸷䁡于是⸷⸷＝䁡⸷香䁡䁡䁡䁡ᦙ䁡，得䁡䁡，䁡䁡，所以䁡䁡䁡⸷䁡⸷．当䁡䁡＝䁡⸷䁡⸷时，＝䁡䁃䁡晦晦䁃䁡䁞晦䁃䁡䁡䁡⸷䁡⸷满足题意，所以当＝⸷⸷时，的最小值为䁡䁡，此时的最大值䁡⸷䁡⸷．试卷第8页，总8页
