金台区2022届高三教学质量检测试题文科数学注意事项：1.答卷前，考生将答题卡有关项目填写清楚。2.全部答案在答题卡上作答，答在本试题上无效。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，集合，则（）A．B．C．D．2．设，则（）A．B．C．D．3．若命题：，，命题：，，则下列命题中是真命题的是（）A．B．C．D．4．已知函数，则下列结论中正确的是（）A．的最小正周期为B．的最大值为2C．在区间上单调递增D．的图象关于对称5．若，，，则的最小值是（）A．4B．5C．7D．11高三教学质量检测文科数学试题第11页共11页
6．（）A．B．C．D．7．往正方形内随机放入个点，恰有个点落入正方形的内切圆内，则的近似值为（）A．B．C．D．8．已知函数，则下列函数中为奇函数的是（）A．B．C．D．9．以下给出了4个函数式：①；②；③；④.其中最小值为4的函数共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个10．在长方体中，，，点在上，点在上，，则直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．设是椭圆的右顶点，点在上，则的最大值为（）A．B．C．D．12.设，若为函数的极大值点，则以下四个不等式：①；②；③；④.其中正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，，且，则_______.高三教学质量检测文科数学试题第11页共11页
14.双曲线的左焦点到直线的距离为_______.15．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为_______.16．甲、乙、丙三个几何体的主视图和俯视图分别相同如图（1），左视图分别如图（2）中的三个视图，则这三个几何体中体积最大的是_______（填甲、乙或丙），且其表面积为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第1721题为必考题，每个考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）2021年9月15日20时，中华人民共和国第十四届运动会在西安奥体中心体育场盛大开幕，会歌《追着未来出发》将百年梦想与健康中国高度融合，标志着我国竞技体育水平的提高以及对竞技体育的重视，也激励着广大体育爱好者为梦前行。少年有梦，不应止于心动，更要付诸于行动，某篮球运动爱好者为了提高自己的投篮水平，制定了一个短期训练计划，为了了解训练效果，执行训练前，他统计了10场比赛的得分，计算出得分的中位数为15分，平均得分为15分，得分的方差为42.5分2.执行训练后也统计了10场比赛的得分，分别为：14、9、16、21、18、8、12、23、14、15（单位：分）.（1）请计算该篮球运动员执行训练后统计的场比赛得分的中位数、平均得分与方差.（2）如果仅从执行训练前后统计的各场比赛得分数据分析，你认为训练计划对该运动员的投篮水平的提高是否有帮助？为什么?18.（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，，为的中点，为的中点.高三教学质量检测文科数学试题第11页共11页
（1）求证：平面平面；（2）若且，求四棱锥的体积.19.（12分）已知数列满足且数列是等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.20.（12分）设函数（1）当（为自然对数的底数）时，求的极小值；（2）讨论函数的零点个数.21.（12分）过点的任一直线与抛物线交于两点，且.（1）求的值.（2）已知为抛物线上的两点，分别过作抛物线的切线，且，求证：直线过定点.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22.（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）将的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点的直角坐标为，为上的动点，点满足，写出的轨迹的参数方程，并判断与是否有公共点．23.（10分）[选修4-5：不等式选讲]已知不等式.（1）当时,求不等式的解集.（2）若不等式的解集为,求的取值范围.高三教学质量检测文科数学试题第11页共11页
2021届高三教学质量检测文科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.B本题考查集合的运算.解：集合，集合，因此.2.B本题考查复数的运算.解：由已知得.3.D本题考查命题的真假，或且非命题的真值表.解：因为，所以，，故命题是假命题；命题q：，，q是真命题，所以是真命题.4.C由，根据三角函数图像性质结合选项一一判断即可．解：由，对A项，的最小正周期为，故A错；对B项，的最大值为，故B错；对C项，当时，有，因为在上单调递增，所以在区间上单调递增正确；对D项，当时，有，所以不是的对称轴，故D错．5.B根据目标函数画出可行域，再根据目标函数的斜率判断出过点时，取最小值，把点的坐标代入目标函数即可求出的最小值.解：画出可行域如图阴影部分所示，目标函数可化为，由图可知，当直线过点时，取最小值，且.6.B本题考查诱导公式和二倍角公式.解：高三教学质量检测文科数学试题第11页共11页
.故选：B.7.B．利用几何概型中的面积型列式即可得解.解：令正方形边长为2，其内切圆半径为1，则正方形面积，圆面积为，由几何概型的面积型得：，解得，所以π的近似值为.8.C．本题考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.解：由题意可得，对于A，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.对于B，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于C，是奇函数；对于D，不是奇函数；故选：C9.B．根据二次函数的性质可判断③符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出①④符合题意，②不符合题意．解：对于①，因为，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，①符合题意；对于②，，函数定义域为，而且，如当，，②不符合题意．对于③，，当且仅当时取等号，所以其最小值为4，③符合题意；高三教学质量检测文科数学试题第11页共11页
对于④，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，④符合题意；故选：B．10.A．本题考查空间图形位置关系，异面直线所成角．解：在上取点，使得，连接，.因为，，则，则直线与所成角为直线与所成角.在中，，在中，,,在中，,在中，,在中，．则与所成角的余弦值为.故选：A．11.D．本题考查椭圆的性质，两点间的距离公式，一元二次不等式的最值求解问题．解：设点，点在上，则，即,因为是椭圆的右顶点，所以，，把代入，得：,当时，取到最大值.12.B．本小题主要考查三次函数的图像与性质，利用数形结合的数学思想方法可以解答.先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到、所满足的关系.高三教学质量检测文科数学试题第11页共11页
解：若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.当，即时，由，，由的图像可知：，，故.当，即时，由时，，由的图像可知：，，故.综上所述，成立.故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.．考查向量的数量积的运算，考查数学运算的核心素养.解：由得：，即，得：14.2．考查双曲线的性质、点到直线的距离公式.解：设左焦点为，则左焦点到直线的距离为：15.．考查余弦定理和解三角形有关知识，考查逻辑推理和数学运算的核心素养.解：由余弦定理得：，则，解得：，16.丙（3分），（2分，不带单位不给分）考查三视图，考查直观想象的核心素养.解：由三视图还原甲、丙几何体如下图，乙（略），，高三教学质量检测文科数学试题第11页共11页
，，三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.本题考查中位数、平均得分与方差的求法，考查数学运算及数据分析的核心素养.解：（1）训练后得分的中位数为，………2分平均得分为：（分）………4分方差为：（）………6分（2）尽管中位数训练后比训练前稍小，但平均得分一样，训练后方差小于训练前方差,,说明训练后得分稳定性提高了，这是投篮水平提高的表现，故此训练计划对该运动员的投篮水平的提高有帮助.………12分18.本题考查空间中线面位置关系的判定及几何体体积的求法，考查直观想象的核心素养.解：（1）因为底面是菱形，，所以为等边三角形，所以平分，所以，所以，………3分又因为平面，所以，且，所以平面，又平面，………5分所以平面平面；………6分（2）连接，则为等边三角形，由得为等腰直角三角形，由可得：………9分四棱锥的体积为：………12分19.本题主要考查等差数列及裂项相消法求和，考查了逻辑推理和数学运算的核心素养.解：（1）由可得，………2分∴等差数列是以1为首项，1为公差，………4分∴，得.………6分（2）由（1）可得，………9分∴.………12分20.本题考查了利用导数求函数的单调性、最值问题、零点问题，考查学生的等价转化思想以及数学运算、逻辑推理及数学建模的核心素养.高三教学质量检测文科数学试题第11页共11页
解：（1）易知函数的定义域为，当时，，则，令得.………2分所以，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以，当时，取得极小值,所以的极小值为2.………5分（2）由题设得，令，得.设，则，………8分当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减.所以是的唯一极值点，且是极大值点，也就是最大值点.∴.………10分作出的大致图像，可知①时，函数无零点；②时，函数有两个零点；③或时，函数有且仅有一个零点.………12分21.本题主要考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，定点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想的应用，考察的核心素养是数学运算、逻辑推理.解：（1）设，直线的方程为，与抛物线方程联立，整理可得所以，，所以，所以，………4分（2）抛物线的方程为，即，对该函数求导得，设，则抛物线在点处的切线方程为………6分从而同理，因为，所以，即，………8分又，从而直线的方程为：，………10分将带入化简得：，高三教学质量检测文科数学试题第11页共11页
所以，直线恒过定点.………12分22.本题考查参数方程的求解，考查的核心素养逻辑推理、直观想象和数学运算.解：（1）由曲线C的极坐标方程可得，将代入可得，即，即曲线C的直角坐标方程为；………5分（2）设，设，，则，即，故P的轨迹的参数方程为（为参数）………8分曲线C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为1，则圆心距为，，两圆内含，故曲线C与没有公共点.………10分23.本题考查绝对值不等式求解及恒成立问题，主要考查分类讨论、数形结合的思想及逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养.解：（1）令,则=………2分因为,所以当≤时,由,解得x≤；当时,由,解得≤当时,由,解得.综上得,所求不等式的解集为.………5分（2）由（1）作函数的图像,点,………8分令,则其过定点,如图所示,由不等式的解集为,可得-4≤<,即-4≤.所以,所求实数的取值范围为.………10分高三教学质量检测文科数学试题第11页共11页
