西南大学附属中学校高2022届第二次月考数学试题（满分：150分 考试时间：120分钟）2021年10月注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上。2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整。3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生留存，以备评讲）。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．如图，设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）A．B．C． D．2．已知，，则的值是（）A．B．C．D．13．若已知直线与圆交于两点，则“”是“弦所对圆心角为”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．命题“且”的否定是（）A．且B．或C．且D．或5．将排成一列，要求在排列中顺序为“”或“”（可以不相邻），则这样的排列数有（）A．24种B．40种C．60种D．80种6．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足，则的最小值为（）
A．B．C．D．11．已知，则函数有两个零点的概率为（）A．B．C．D．2．已知，则的大小关系为（）A．B．C．D．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．3．动力电池组对新能源汽车的性能表现以及安全性影响巨大，是新能源汽车非常核心的部件．如图是刀片电池、三元锂电池和磷酸铁锂电池部分指标的雷达图，则下列说法正确的是（）A．刀片电池的安全性更高，价格优势更突出B．三元锂电池的缺点是循环寿命较短、价格偏高、安全性偏低C．对于这7项指标，刀片电池的平均得分低于三元锂电池D．磷酸铁锂电池能量密度低、低温性能好4．若，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．5．已知曲线（其中为参数）（）A．若m>n>0，则C是椭圆，其长轴长为B．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为C．曲线C可表示的所有曲线类型为椭圆、圆、双曲线D．若，则曲线C的离心率的取值范围为6．已知边长为的菱形中，，将沿翻折，下列说法正确的是（）A．在翻折的过程中，直线,可能相互垂直B．在翻折的过程中，三棱锥体积最大值为
C．在翻折的过程中，三棱锥表面积最大时，其内切球表面积为D．在翻折的过程中，点在面上的投影为，为棱上的一个动点，的最小值为三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．1．是虚数单位，已知复数，则________．2．已知数列的前项和为，且满足，则数列的通项公式．3．函数的单调增区间为；若对，均有成立，则的取值范围是．4．已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，圆、的面积为、，则的取值范围是．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．5．如图，在直三棱柱中，，，为的中点，在上且．(1)求证：平面⊥平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．6．已知的内角的对应边分别为，，，．(1)求；(2)设为边上一点﹐且，求的面积．7．从某学校的800名男生中随机抽取50
名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，己知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．(1)求第七组的频率；(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，事件，求．1．已知函数．(1)若曲线在点处的切线为，求的值；(2)若，讨论函数的单调区间．2．已知数列的前n项和为，且，．(1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；(2)设，求数列前项和．3．已知椭圆：的离心率为，点是椭圆短轴的一个四等分点．(1)求椭圆的标准方程；(2)设过点A且斜率为的动直线与椭圆交于两点，且点，直线分别交：于异于点的点，设直线的斜率为，求实数使得恒成立．西南大学附属中学2022级第二次月考数学参考答案【答案】ABADBCAC,AB,ABC,BD,BC
【答案】13.；14.；15.或者，；16.17.【详解】（1）直三棱柱中，，为的中点，在上且．，平面，平面，，又，平面，(3)平面，平面平面．(5)（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，0，，，4，，，3，，，2，，，，，，，，，，，设平面的法向量，，，则，取，得(8)向量则：(9)设直线与平面所成角为，.(10)法二：等体积法；(7)；(9)得：
(10)18.【详解】（1）由正弦定理得：，即，(2)在中，，，所以，(4)因为，所以.(5)（2）由余弦定理可得，即整理得：，解得或（舍去）(7)，，解得，(9)在中，，所以，(11)，即是的中点，所以的面积.(12)19.【详解】解：(1)第六组的频率为，∴第七组的频率为．(3)(2)由直方图得，身高在第一组的频率为，身高在第二组的频率为，身高在第三组的频率为，身高在第四组的频率为，由于，，设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则，由得中位数cm，
(5)．得平均数为174.1cm(7)(3)第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为a，b，c，d，第八组的抽取人数为，设所抽取的人为A，B，(9)则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况，因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以．(12)20.【详解】解：(1)由题意，得点P坐标为又，解得又点P在直线上，，解得.(4)(2)函数，，令分子(5)易知，取值正负与取值正负一致①当时，，，得：当时，，单调递增；当时，，单调递减；(7)②当时，为开口向下的二次函数，，令，得，，得：当时，，单调递增；当时，，单调递减；(9)③当时，为开口向上的二次函数，正负号不确定
R当时，，方程有两个不等的正根，．则：当及时，，单调递增；当时，；单调递减；(11)R当时，恒成立，得：当时，，单调递增；(12)综上：当时：函数在上单增，上单减当时：函数在上单增，上单减当时：函数在及上单增，在上单减当时：函数在上单增21.【详解】解（1）法1：当时，又，则由知，当时，相减得，即，故是等差数列，由，则.(5)法2：由得（），即，则，故是等差数列，则，即，（）(4)即.当时，，满足上式，所以(5)（2）解得：(6)由于(9)则(10)
故(12)22.【详解】解：（1）因为点是椭圆短轴的一个四等分点，所以，又，且，则，所以，，所以椭圆的标准方程为(4)（2）设，直线MN的方程为，则直线BM的方程为，与联立，得：(6)由，且点在上，得，又，即，代入上式得(8)，即点，同理，则(10)将代入上式，得(12)所以时，，恒成立.
