文科数学学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________评卷人得分一、选择题(共12小题,共60分)1.(5分)已知集合A＝{x|x－2≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B等于( )A.{0}B.{1}C.{2}D.{1,2}2.(5分)设z＝＋2i，则|z|等于( )A.0B.C.1D.3.(5分)已知a＝π0.2，b＝logπ2，c＝cos2，则( )A.c<b<aB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b4.(5分)要得到函数y＝cosx的图象，只需将函数y＝·sin的图象( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度
C.向上平移个单位长度D.向下平移个单位长度5.(5分)如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于( )A.B.5C.6D.76.(5分)释迦塔全称佛宫寺释迦塔，位于山西省朔州市应县城西北佛宫寺内，俗称应县木塔，是中国现存最高最古老且唯一一座木构塔式建筑，全国重点文物保护单位．与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”．木塔顶部可以近似地看成一个正八棱锥，其侧面和底面的夹角大小为30°，则该正八棱锥的高和底面边长之比为(参考数据：tan22.5°＝－1)( )A.B.C.D.7.(5分)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9
组，制成了如图所示的频率分布直方图．则估计全市居民月均用水量的中位数是( )A.2.25吨B.2.24吨C.2.06吨D.2.04吨8.(5分)已知O为坐标原点，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F且与x轴垂直的直线与双曲线C的一条渐近线交于点A(点A在第一象限)，点B在双曲线C的渐近线上，且BF∥OA，若·＝0，则双曲线C的离心率为( )A.B.C.D.29.(5分)2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示)．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln0.6≈－0.511，ln0.9≈－0.105)( )
A.4B.5C.6D.710.(5分)已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，且f(1－x)＝f(1＋x)，则下列结论一定正确的是( )A.f(x＋2)＝f(x)B.函数y＝f(x)的图象关于点(2,0)对称C.函数y＝f(x＋1)是奇函数D.f(2－x)＝f(x－1)11.(5分)已知三棱锥A－BCD的外接球为球O，△BCD是边长为3的正三角形，若三棱锥A－BCD体积的最大值为，则球O的体积为( )A.πB.πC.100πD.64π12.(5分)若x∈[0,1]时，ex－|2x－a|≥0，则a的取值范围为( )A.[－1,1]B.[2－e，e－2]C.[2－e,1]D.[2ln2－2,1]评卷人得分二、填空题(共1小题,共20分)13.(20分)
13.已知单位向量a，b满足(a＋b)⊥(a－2b)，则a与b的夹角为________．14.若loga4b＝－1，则a＋b的最小值为________．15.已知直线y＝kx与函数f(x)＝lnx的图象相切，则k＝________.16.声音是物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y＝Asinωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)＝sinx＋sin2x，则下列结论正确的是________．(填序号)①2π是f(x)的一个周期；②f(x)在[0,2π]上有3个零点；③f(x)的最大值为；④f(x)在上是增函数．评卷人得分三、解答题(共7小题,共80分)14.(12分)已知各项都不相等的数列{an}满足an＋2＝3an＋1－2an.(1)证明：数列{an＋1－an}为等比数列；(2)若a1＝1，a2＝3，求{an}的通项公式．15.(12分)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，且∠DAB＝，AB＝2，EF∥AC，EA＝ED＝，BE＝.(1)求证：平面EAD⊥平面ABCD；(2)求三棱锥F－BCD的体积．16.(12分)中央电视台“国家品牌计划”栏目组为了做好新能源汽车的品牌推介，利用网络平台对年龄(单位：岁)在[20,60]内的人群进行了调查，并从参与调查者中随机选出600人，把这600人分为对新能源汽车比较关注和不太关注两类，并制成如下表格：
(1)填写列联表，并根据列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与对新能源汽车的关注有关；(2)为了进一步了解不同性别的消费者对新能源汽车的关注情况，采用分层抽样的方法从这600人中选出6人进行访谈，最后从这6人中随机选出2名参与电视直播节目，求其中恰好有一名女性参与电视直播节目的概率．附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.17.(12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于M，N两点，且|MN|＝.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过F2的直线l交椭圆C于A，B两点，若△ABF1内切圆的周长为π，求直线l的方程．18.(12分)已知函数f(x)＝x2＋2x＋alnx.(1)若函数f(x)在区间(0,1)上是单调函数，求实数a的取值范围；(2)当t≥1时，不等式f(2t－1)≥2f(t)－3恒成立，求实数a的取值范围．19.(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，直线l
的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的单位长度，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为(2,1)，求|PA|＋|PB|.20.(10分)[选修4－5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x－a|＋2.(1)当a＝2时，解不等式f(x)>5；(2)若对任意的x∈R，不等式|x－2|＋|x－a|≤f(x)＋2m2＋4m(m>0)恒成立，求实数m的取值范围．
1.【答案】C【解析】A＝{x|x≥2}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝{2}．2.【答案】C【解析】z＝＋2i＝＋2i＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1.3.【答案】A【解析】a＝π0.2>π0＝1，∵1<2<π，∴b＝logπ2∈(0,1)，∵<2<π，∴c＝cos2<0，∴c<b<a.4.【答案】A【解析】因为y＝cosx＝sin，所以由函数y＝sin的图象得到函数y＝·sin的图象，根据左加右减，只需向左平移个单位长度．5.【答案】B【解析】如图，连接BD，在△BCD中，由于BC＝CD＝2，∠C＝120°，∴∠CBD＝＝30°，∴∠ABD＝90°.在△BCD中，由余弦定理知，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD＝22＋22－2×2×2cos120°＝12，∴BD＝2，∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2＋×2×2×sin
120°＝5.6.【答案】D【解析】如图所示，点P是正八棱锥的顶点，点O是底面的中心，AB是底面的一条边，M是AB的中点，根据题意知∠BOM＝22.5°，因为tan22.5°＝－1，设AB＝a，则OM＝＝a，又因为二面角P－AB－O的大小为30°，即∠PMO＝30°，所以OP＝OMtan30°＝a，即正八棱锥的高和底面边长之比为.7.【答案】D【解析】由频率分布直方图可知，月用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝2×0.5×a，解得a＝0.30，设中位数为x吨．因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，所以2≤x<2.5.由0.5×(x－2)＝0.50－0.48，解得x＝2.04.8.【答案】A【解析】如图，易知A，
直线BF的方程为y＝(x－c)，①直线OB的方程为y＝－x，②联立①②得B，∵·＝0，∴AB⊥OB，∴＝⇒a2＝3b2，又c2＝a2＋b2，∴c2＝a2，∴e2＝＝，∴e＝.9.【答案】C【解析】设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，则vn＝100×0.90n－1.由100×0.90n－1<60，得0.90n－1<0.6，则(n－1)ln0.90<ln0.6，即n－1>≈≈4.87，则n>5.87，故至少需要“打水漂”的次数为6.10.【答案】B【解析】在f(1－x)＝f(1＋x)中，把x换成1＋x，得f(1－(1＋x))＝f(1＋(1＋x))，即f(x＋2)＝f(－x)；把x换成1－x，得f(1－(1－x))＝f(1＋(1－x))，即f(x)＝f(2－x)．根据f(－x)＋f(x)＝0，得f(x＋2)＋f(2－x)＝0，在y＝f(x)的图象上任取一点P(2＋x，y)，则y＝f(x＋2)＝－f(2－x)，即点P′(2－x，－y)在y＝f(x)的图象上，而点P(2＋x，y)和点P′(2－x，－y)关于点(2,0)对称，所以由点P的任意性，知函数y＝f(x)的图象关于点(2,0)对称．11.【答案】A【解析】设三棱锥A－BCD的高为h，当球心O在三棱锥A－BCD的高线上时，三棱锥A－BCD的体积最大，此时××3×3×h＝，解得h＝9.设球O的半径为R，则(9－R)2＋＝R2，解得R＝5，所以球O的体积为πR3＝π.12.【答案】D
【解析】由题意得2x－ex≤a≤2x＋ex对∀x∈[0,1]恒成立，令f(x)＝2x－ex，g(x)＝2x＋ex，∵f′(x)＝2－ex在[0,1]上单调递减，且f′(ln2)＝0，∴f(x)在(0，ln2)上单调递增，在(ln2,1)上单调递减，∴a≥f(x)max＝f(ln2)＝2ln2－2，又g(x)＝2x＋ex在[0,1]上单调递增，∴a≤g(x)min＝g(0)＝1，∴a的取值范围为[2ln2－2,1]．13.【答案】13.180°14.115.16.①②③【解析】13.由(a＋b)⊥(a－2b)，得(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝－1－a·b＝0，∴a·b＝－1.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝－1，因此a与b的夹角为180°.14.由loga4b＝－1得a＝>0，即ab＝，所以a＋b≥2＝1.(当且仅当a＝b＝时等号成立)15.设切点为(x0，lnx0)，则k＝f′(x0)＝，所以切线方程为y－lnx0＝(x－x0)，即y＝x＋lnx0－1，所以lnx0－1＝0，所以x0＝e，所以k＝.16.y＝sinx的最小正周期是2π，y＝sin2x的最小正周期是＝π，所以f(x)＝sinx＋sin2x的最小正周期是2π，故①正确；当f(x)＝sinx＋sin2x＝0，x∈[0,2π]时，sinx＋sinxcosx＝0，即sinx(1＋cosx)＝0，即sinx＝0或1＋cosx＝0，解得x＝0或x＝π或x＝2π，
所以f(x)在[0,2π]上有3个零点，故②正确；f(x)＝sinx＋sin2x＝sinx＋sinxcosx，f′(x)＝cosx＋cos2x－sin2x＝2cos2x＋cosx－1，令f′(x)＝0，解得cosx＝或cosx＝－1，当x∈或x∈时，<cosx<1，此时f′(x)>0，则f(x)在，上单调递增，当x∈时，－1≤cosx<，此时f′(x)≤0但不恒为0，则f(x)在上单调递减，则当x＝时，函数f(x)取得最大值，为f＝sin＋sin＝＋＝，故③正确，④错误．14.【答案】(1)证明 由an＋2＝3an＋1－2an可得，an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，(3分)因为各项都不相等，所以a2－a1≠0，{an＋1－an}是公比为2的等比数列．(5分)(2)解 由(1)知{an＋1－an}是公比为2的等比数列，且a2－a1＝2，所以所以当n≥2时，an－an－1＝(a2－a1)·2n－2＝2n－1，an－1－an－2＝2n－2，an－2－an－3＝2n－3，…a2－a1＝2，累加，得an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，所以an＝2n－1.(10分)当n＝1时，21－1＝1＝a1满足上式，(11分)故an＝2n－1.(12分)15.【答案】(1)证明 如图，取AD的中点O，连接EO，BO.
∵EA＝ED，∴EO⊥AD.(1分)由题意知△ABD为等边三角形，∴AB＝BD＝AD＝2，∴BO＝，在△EAD中，EA＝ED＝，AD＝2，∴EO＝＝，(3分)又BE＝，∴EO2＋OB2＝BE2，∴OE⊥OB，(4分)∵AD∩OB＝O，AD⊂平面ABCD，BO⊂平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，又EO⊂平面EAD，∴平面EAD⊥平面ABCD.(6分)(2)解 由题意得S△BCD＝S△ABD＝AD·OB＝×2×＝.(8分)∵EF∥AC，∴点F到平面ABCD的距离等于点E到平面ABCD的距离为EO，∴VF－BCD＝S△BCD·EO＝××＝.(12分)16.【答案】解 (1)由题意知，这600人中男性的人数为40＋120＋160＋80＝400，女性的人数为600－400＝200，男性比较关注新能源汽车的人数为40×20%＋120×60%＋160×70%＋80×60%＝240，女性比较关注新能源汽车的人数为10×50%＋70×70%＋100×80%＋20×80%＝150，作出2×2列联表如下：(3分)
K2＝≈13.187>6.635，因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下可以认为性别与对新能源汽车的关注有关．(6分)(2)由(1)知采用分层抽样从600人中抽取6人，抽取的男性人数为400×＝4，分别记为D，E，F，G，则抽取的女性人数为2，分别记为a，b.再从这6人中随机选出2人，总的基本事件有15个：{a，b}，{a，D}，{a，E}，{a，F}，{a，G}，{b，D}，{b，E}，{b，F}，{b，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}．(8分)记“恰好有一名女性参与电视直播节目”为事件A，其包含的基本事件有8个：{a，D}，{a，E}，{a，F}，{a，G}，{b，D}，{b，E}，{b，F}，{b，G}．(10分)所以P(A)＝，即恰好有一名女性参与电视直播节目的概率为.(12分)17.【答案】解 (1)由题意可知e＝＝.(1分)因为过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于M，N两点，且|MN|＝，所以＝.(3分)结合a2＝b2＋c2，解得a＝，b＝1，c＝1.所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(5分)(2)△ABF1内切圆的半径r＝＝.(6分)由椭圆的定义，得△ABF1的周长为4a＝4，(7分)则△ABF1的面积S＝××4＝.(8分)设点A，B的纵坐标分别为y1，y2，则有S＝|y2－y1|×2＝，得|y2－y1|＝，得(y2＋y1)2－4y1y2＝.(10分)设直线l的方程为my＝x－1.
由消去x并整理，得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，Δ>0显然成立．则有y1＋y2＝－，y1y2＝－，所以＋＝.整理，得20m4－m2－1＝0，解得m＝±.(11分)故直线l的方程为2x±y－2＝0.(12分)18.【答案】解 (1)函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2x＋2＋＝，(1分)因为函数f(x)在区间(0,1)上为单调函数，所以只需使f′(x)≥0或f′(x)≤0在区间(0,1)上恒成立，(3分)即a≥－(2x2＋2x)或a≤－(2x2＋2x)在区间(0,1)上恒成立，解得a≥0或a≤－4，故实数a的取值范围是(－∞，－4]∪[0，＋∞)．(5分)(2)不等式f(2t－1)≥2f(t)－3，可化为2t2－4t＋2≥alnt2－aln(2t－1)，即2t2－alnt2≥2(2t－1)－aln(2t－1)，(8分)记g(x)＝2x－alnx(x≥1)，易知t2≥2t－1，所以g(x)＝2x－alnx(x≥1)是增函数．(10分)即g′(x)＝2－≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≤2x在[1，＋∞)上恒成立，故a≤2，故实数a的取值范围是(－∞，2]．(12分)19.【答案】解 (1)由题意得得圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.(3分)(2)设点A，B对应的参数分别为t1，t2，将代入(x－2)2＋y2＝4整理，
得t2＋t－3＝0，则(5分)又点P在直线l上，所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝＝.(10分)20.【答案】解 (1)因为a＝2时，不等式f(x)>5可变形为|x－2|＋|2x＋1|>5，采用分类讨论的方式：当x≥2时，x－2＋2x＋1>5，解得x>2；当－<x<2时，2－x＋2x＋1>5，无解；当x≤－时，2－x－2x－1>5，解得x<－.故不等式的解集是∪(2，＋∞)．(5分)(2)不等式|x－2|＋|x－a|≤f(x)＋2m2＋4m(m>0)可变形为|x－2|－|2x＋1|≤2m2＋4m(m>0)，设g(x)＝|x－2|－|2x＋1|，则g(x)＝故g(x)的最大值为g＝，(7分)因为对于任意的x∈R，不等式|x－2|＋|x－a|≤f(x)＋2m2＋4m(m>0)恒成立，所以2m2＋4m≥，即4m2＋8m－5≥0，解得m≥或m≤－，(9分)因为m>0，所以m∈.(10分)
