长安一中2020-2021学年度第一学期第一次教学质量检测高三年级数学（理科）试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先利用一元二次不等式的解法和对数函数的单调性化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解.【详解】因为集合，，所以故选：C2.已知为虚数单位，复数的共轭复数为，且满足，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】设，则，由，得：，即易得：，∴故选A3.已知等差数列中，,且，则数列的前项和为()A.B.C.D.-23-
【答案】D【解析】∵∴(+)2=9,又∴+=−3,故S10==5(+)=5(+)=−15故选D4.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布，则，．）A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%【答案】B【解析】试题分析：由题意故选B．考点：正态分布5.函数的图象大致是（）A.B.-23-
C.D.【答案】D【解析】【分析】利用特殊值及函数的导数判断函数的单调性进行排除，即可得到函数的图象．【详解】当x<0时，f（x）0．排除AC，f′（x），令g(x)g′（x），当x∈（0，2），g′（x）＞0，函数g(x)是增函数，当x∈（2，+∞），g′（x）＜0，函数g(x)是减函数，g(0)=，g(3)=3>0，g(4)=<0，存在，使得g()=0，且当x∈（0，），g(x)>0，即f′（x）＞0，函数f（x）是增函数，当x∈（，+∞），g(x)<0，即f′（x）＜0，函数f（x）是减函数，∴B不正确，故选D．【点睛】本题考查函数图象的判断，一般通过函数的定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性、特殊点以及变化趋势判断．6.我国古代名著《庄子天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是()-23-
A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分析程序中各变量的作用，再根据流程图所示的顺序，可得该程序的作用是累加并输出的值，由此可得到结论.【详解】由题意，执行程序框图，可得：第1次循环：；第2次循环：；第3次循环：；依次类推，第7次循环：，此时不满足条件，推出循环，其中判断框①应填入的条件为：，执行框②应填入：，③应填入：.故选：B.【点睛】-23-
本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，其中解答中正确理解程序框图的含义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7.已知，点为斜边的中点，，，，则等于（）A.-14B.-9C.9D.14【答案】D【解析】【分析】利用向量共线及向量的加减法分别表示出，，再利用即可求得，问题得解．【详解】依据题意作出如下图象：因为，所以三点共线．.又所以故选D【点睛】本题主要考查了向量的加减法及数乘运算，还考查了向量垂直的数量积关系，考查转化能力及计算能力，属于中档题．-23-
8.设，随机变量的分布列是则当在内增大时（）A.减小，减小B.减小，增大C.增大，减小D.增大，增大【答案】A【解析】【分析】根据数学期望和方差的计算公式求得关于的函数关系式，根据函数单调性求得结果.【详解】在内增大时，减小在内增大时，减小本题正确选项：【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差的计算，考查对于公式的掌握程度和计算能力.9.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化、相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆被的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）-23-
A.B.C.D.【答案】B【解析】设大圆的半径为R，则：，则大圆面积为：，小圆面积为：，则满足题意的概率值为：.本题选择B选项.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.10.已知双曲线的渐近线与抛物线的准线分别交于两点，若抛物线的焦点为，且，则双曲线的离心率为（）A.B.C.2D.【答案】D【解析】∵双曲线，∴双曲线的渐近线方程是y=x又抛物线的准线方程是x=−，故A,B两点的纵坐标分别是y=，，-23-
又，∴，即，，故选D11.已知函数f（x）＝ax＋b(a>0，且a≠1)的图象经过点P(1，3)，Q(2，5)．当n∈N*时，an＝，记数列{an}的前n项和为Sn，当Sn＝时，n的值为（）A.7B.6C.5D.4【答案】D【解析】【分析】先确定f（x）＝ax＋b，再确定数列的通项公式，利用裂项求和法，即可得出结论.【详解】因为函数f（x）＝ax＋b(a>0，且a≠1)的图象经过点P(1，3)，Q(2，5)，所以得或(舍去)，所以f（x）＝2x＋1，所以an＝，所以Sn＝，令Sn＝，得n＝4.故选：D．【点睛】本题考查数列与函数的综合，考查裂项求和法，确定数列的通项是关键.12.已知函数，若方程有5个解，则的取值范围是（）A.B.C.D.-23-
【答案】D【解析】【分析】利用因式分解法，求出方程的解，结合函数的性质，根据题意可以求出的取值范围.【详解】，，或，由题意可知：，由题可知：当时，有2个解且有2个解且，当时，，因为，所以函数是偶函数，当时，函数是减函数，故有，函数是偶函数，所以图象关于纵轴对称，即当时有，，所以，综上所述；的取值范围是，故本题选D.【点睛】本题考查了已知方程解的情况求参数取值问题，正确分析函数的性质，是解题的关键.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中相应的横线上）13.已知，且，则________．【答案】【解析】试题分析：由得：-23-
解方程组：得：或因为，所以所以不合题意，舍去所以，所以，答案应填：.考点：同角三角函数的基本关系和两角差的三角函数公式.14.已知，则_____，_____．【答案】(1).(2).【解析】【分析】由二项式定理及其通项得：令得，令得，所以，由展开式的通项为，则得解.【详解】因为，令得，令得，所以，由展开式的通项为，则，故答案为，.【点睛】本题考查了二项式定理及其二项式展开式的通项，赋值法，属于中档题15.位同学分成组，参加个不同的志愿者活动，每组至少人，其中甲乙人不能分在同一组，则不同的分配方案有_____种．（用数字作答）-23-
【答案】114【解析】【分析】根据题意，分2步进行：①将5位同学分成3组，要求甲乙2人不能分在同一组，需要分2种情况讨论；②将分好的3组全排列，对应3个不同的志愿者活动，由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2步进行分析：①，将5位同学分成3组，要求甲乙2人不能分在同一组，若分成1、2、2的三组，有种，其中甲乙分在同一组的情况有种，此时有种分组方法；若分成3、1、1三组，有种，其中甲乙分在同一组的情况有种，此时有种分组方法；则符合题意的分法有种；②，将分好的3组全排列，对应3个不同的志愿者活动，有种情况，则有种不同的分配方案；故答案为114．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，可以用间接法分析，避免分类讨论，属于中档题．16.已知平面向量，，，满足，且，则当_____，则与的夹角最大．【答案】.【解析】【分析】以为原点建立平面坐标系，设，，根据向量的数量积的运算公式，分别求得向量的终点所表示的轨迹方程，进而根据圆的性质，即可求解．-23-
【详解】设的起点均为，以为原点建立平面坐标系，如图所示，不妨设，，则，，由可得，即，∴的终点在以为圆心，以为半径的圆上，同理的终点在以为圆心，以为半径的圆上．显然当，为圆的两条切线时，最大，即与的夹角最大．设圆心为，则，∴，则，∴，设与轴交于点，由对称性可知轴，且，∴，即当，则与的夹角最大．故答案为．【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算，以及圆的性质的应用，其中解答中根据向量的数量积的坐标运算公式，求得向量的终点所表示的轨迹方程，利用圆的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．三、解答题：（共7小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.第22､23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.-23-
17.的内角的对边分别为，设.（1）求；（2）若的周长为8，求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由三角形的内角和定理，化简得到，得到，求得的值，进而求得的值.（2）由题设条件和余弦定理，结合基本不等式，化简得，求得，再结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）在中，由，且可得，又因为，可得，所以，则，所以，可得，所以.（2）由的周长为，可得，可得，可得，即，化简，所以或，即或，因为的周长为，当不成立，（舍去）-23-
所以，所以，当且仅当时取“=”，综上可得，的面积的最大值为.【点睛】对于解三角形问题，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.18.如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，，点是的中点.求证：平面；若直线与平面所成角为，求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接交于，连接，利用线面平行的判定定理，即可证得平面；以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，，分别求得平面和平面的一个法向量和，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）连接交于，连接，-23-
由题意可知，，，又平面外，平面，所以平面.以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，，则，，，，，，设平面的法向量，由，得，取，又由直线与平面所成的角为，得，解得，同理可得平面的法向量，由向量的夹角公式，可得，又因为二面角为锐二面角，所以二面角的大小为.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19.新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于-23-
份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验次．二是混合检验，将其中份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时份血液检验的次数总共为次．某定点医院现取得4份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为．（Ⅰ）求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率；（Ⅱ）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）选择方案三最“优”，理由见解析【解析】【分析】（Ⅰ）根据独立事件和对立事件概率公式可计算求得结果；（Ⅱ）确定方案二和方案三检验次数所有可能的取值，并求得每个取值对应的概率，进而得到分布列，由数学期望的计算公式计算得到期望，与方案一的期望进行比较，得到最优方案.【详解】（Ⅰ）该混合样本阴性的概率为：，根据对立事件原理，阳性概率为：．（Ⅱ）方案一：逐个检验，检验次数为．方案二：由（Ⅰ）知，每组个样本检验时，若阴性则检验次数为，概率为；若阳性则检验次数为，概率为，设方案二的检验次数记为，则的可能取值为，；；，则的分布列如下：-23-
可求得方案二的期望为．方案三：混在一起检验，设方案三的检验次数记为，的可能取值为，，，，则的分布列如下：可求得方案三的期望为．比较可得，故选择方案三最“优”．【点睛】本题考查独立事件和对立事件概率问题的求解、离散型随机变量的数学期望的求解问题；关键是能够通过题意准确确定不同方案随机变量所有可能的取值，并准确求得对应的概率，考查学生的分析和解决问题、运算和求解能力.20.已知圆，定点为圆上一动点，线段的垂直平分线交线段于点，设点的轨迹为曲线；（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）若经过的直线交曲线于不同的两点，（点在点,之间），且满足，求直线的方程.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：(1)是线段的垂直平分线，，-23-
轨迹方程；（2）设直线的方程为：，联立方程得：，，由,得，巧借韦达定理建立的方程，解之即可.试题解析：（Ⅰ）设点的坐标为，是线段的垂直平分线，,又点在上，圆，半径是点的轨迹是以为焦点的椭圆，设其方程为，则曲线方程：（Ⅱ）设当直线斜率存在时，设直线的斜率为则直线的方程为：,,整理得：,由，解得：------①又,由,得，结合①得-23-
，即,解得直线的方程为：,当直线斜率不存在时，直线的方程为与矛盾.直线的方程为：21.已知函数，．（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；（2）若函数在定义域上为单调增函数．①求最大整数值；②证明：．【答案】（1）（2）①2②见解析【解析】试题分析：（1）将代入到函数，再对求导，分别求出和，即可求出切线方程；（2）①若函数在定义域上为单调增函数，则恒成立，则先证明，构造新函数，求出单调性，再同理可证，即可求出的最大整数值；②由①得，令，可得，累加后利用等比数列求和公式及放缩法即可得证.试题解析：（1）当时，∴，又，∴，则所求切线方程为，即．（2）由题意知，，-23-
若函数在定义域上为单调增函数，则恒成立．①先证明．设，则，则函数在上单调递减，在上单调递增，∴，即．同理可证∴，∴．当时，恒成立．当时，，即不恒成立．综上所述，的最大整数值为2．②由①知，，令，∴∴．由此可知，当时，．当时，，当时，，，当时，．累加得．又，∴．点睛：（1）导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般用到分类讨论的方法，解题时要注意分类要不重不漏；（2）对于恒成立的问题，直接转化为求函数的最值即可；（3-23-
）对于导数中，数列不等式的证明，解题时常常用到前面的结论，需要根据题目的特点构造合适的不等式，然后转化成数列的问题解决，解题时往往用到数列的求和及放缩法.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.[选修4—4：坐标系与参数方程]22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线：（为参数）和直线：（为参数）．（1）将曲线的方程化为普通方程；（2）设直线与曲线交于两点，且为弦中点，求弦所在的直线方程．【答案】（1）;（2）．【解析】试题分析：熟悉万能代换公式同学都知道，把曲线的方程化为普通方程的方法是换元，令消元更方便，当然本题也可直接消元，先求出后分离常数，与相除，得出，再代入消元整理；第二步为直线的参数方程的几何意义问题，代入参数方程整理为的一元二次方程，由于为弦的中点，则，求出直线方程.试题解析：（1）由，得，即，又，两式相除得，代入，得，整理得，即为的普通方程．（2）将代入，整理得．由为的中点，则-23-
．∴，即，故，即，所以所求的直线方程为．【点睛】本题参数方程属于选修内容，熟悉万能代换公式的同学都知道，把曲线的方程化为普通方程的方法是换元，令消元更方便，当然本题也可直接消元；第二步为直线的参数方程的几何意义问题，代入参数方程整理为的一元二次方程，由于为弦的中点，则，求出直线方程.[选修4—5：不等式选讲]23.设函数的最大值为.（1）求的值；（2）若正实数，满足，求的最小值.【答案】(1)m＝1(2)【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）零点分区间去掉绝对值，得到分段函数的表达式，根据图像即可得到函数最值；（2）将要求的式子两边乘以(b＋1)＋(a＋1)，再利用均值不等式求解即可.解析：（1）f(x)＝|x＋1|－|x|＝由f(x)的单调性可知，当x≥1时，f(x)有最大值1．所以m＝1．（2）由（Ⅰ）可知，a＋b＝1，＋＝(＋)[(b＋1)＋(a＋1)]＝[a2＋b2＋＋]-23-
≥(a2＋b2＋2)＝(a＋b)2＝．当且仅当a＝b＝时取等号．即＋的最小值为．-23-
