2020～2021学年度第一学期期中校际联考试题高二数学注意事项：1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟；2．答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚；3．第I卷选择题必须使用2B铅笔填涂，第II卷非选择题必须使用0．5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；4．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．第I卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合，2，，，则（）A.B.C.，D.，2，【答案】B【解析】【分析】先求出集合，再利用交集运算求解即可．【详解】集合，2，，，．故选：B.【点睛】本题考查了交集的运算，是基础题．2.在等差数列中，若为其前项和，，则的值是（）A.60B.11C.50D.55【答案】D【解析】【分析】根据题中条件，由等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，即可求出结果.-17-
【详解】因为在等差数列中，若为其前项和，，所以.故选：D.3.过点（1，0）且与直线=平行的直线方程式（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意利用点斜式求直线的方程．【详解】解：过点且与直线平行的直线方程式为，即，故选：．【点睛】本题主要考查用点斜式求直线的方程,考查直线与直线平行条件的应用，属于基础题．4.在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则此三角形解的情况为（）A.无解B.只有一解C.有两解D.解的个数不确定【答案】B【解析】【分析】由正弦定理可得，进而判断解的情况.【详解】因为，，，所以由正弦定理可得，，所以或，-17-
当时，，满足题意；当时，，不能构成三角形，舍去.综上，，即三角形的解只有一个.故选：B．5.函数的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，由，可知为奇函数，图象关于原点对称，排除，；令，可知，可知图象与轴只有一个交点，据此分析可得答案.【详解】解：由，可知-17-
为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A，B；令，可知，可知图象与轴只有一个交点，排除D，故选：C.【点睛】本题考查函数的图象分析，注意分析选项中函数图象的异同，利用排除法分析.属于中档题.6.若且，则下列不等式中一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质即可判断.【详解】对于A，若，则不等式不成立；对于B，若，则不等式不成立；对于C，若均为负值，则不等式不成立；对于D，不等号的两边同乘负值，不等号的方向改变，故正确；故选：D【点睛】本题主要考查不等式的性质，需熟练掌握性质，属于基础题.7.若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题中条件，得到恒成立，分别讨论和两种情况，即可得出结果【详解】因为关于的不等式的解集为，-17-
所以不等式恒成立，若，则不等式可化为，显然恒成立；若，又恒成立，只需，解得，综上，实数的取值范围是.故选：C.8.《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为：（）A.15.5尺B.12.5尺C.9.5尺D.6.5尺【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出立夏的影子长即可.【详解】因为从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，故可设该等差数列为，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种的日影子长分别计为，，，，，公差为，由题可得：，即，解之得：，所以立夏的日影子长为：（尺）.故选：D.【点睛】本题考查等差数列的应用，考查等差数列基本量的计算，考查逻辑分析能力和运算求解能力，属于常考题.9.已知函数，则（）A.是奇函数，在R上单调递减B.是偶函数，在R上单调递增-17-
C.奇函数，在R上单调递增D.是偶函数，在R上单调递减【答案】C【解析】【分析】根据奇偶性的定义和单调性的知识可得答案.【详解】因为，所以是奇函数因为单调递增，单调递减，所以在R上单调递增故选：C10.已知数列的首项为2，且数列满足，数列的前项和为，则为()A.504B.588C.D.【答案】C【解析】【分析】算出数列前项，则可发现为周期数列，故可求．【详解】∵，，∴，，，，……，∴数列的周期为4，且，∵，∴，故选C.【点睛】对于数列，我们考虑其单调性和周期性，所谓周期性，就是存在不为零的正整数，是的对任意的恒成立，而数列为增数列，则指任意的，总有．11.在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是（）A.25B.C.5D.-17-
【答案】B【解析】【分析】由等比数列的性质，求得，再结合基本不等式，即可求得的最大值，得到答案.【详解】由等比数列的性质，可得，又因为，所以，所以，当且仅当时取等号．故选：B.12.数列满足，对，都有，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意知，利用累加法可求得，所以，根据列项相消法求得和.【详解】因为对，都有且，所以，则，，所以.-17-
故选：D【点睛】本题考查累加法求数列通项公式，列项相消法求数列前n项和，属于中档题.第II卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，进行求解即可．【详解】不等式等价为，即，即，则不等式的解集为，故答案为．【点睛】本题主要考查分式不等式的求解，将其转化为一元二次不等式是解决本题的关键，注意分母不为0．14.若直线与圆相交于，两点，且（其中为原点），则的值为________．【答案】【解析】【分析】首先根据题意画出图形，再根据求出直线的倾斜角，求斜率即可.【详解】如图所示-17-
直线与圆恒过定点，不妨设，因为，所以，两种情况讨论，可得，.所以斜率.故答案为：【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，同时考查了数形结合的思想，属于简单题.15.若，满足约束条件，则的最大值为_____________．【答案】6【解析】【分析】首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式，之后在图中画出直线，在上下移动的过程中，结合的几何意义，可以发现直线过B点时取得最大值，联立方程组，求得点B的坐标代入目标函数解析式，求得最大值.【详解】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：-17-
由，可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线在y轴截距最大时，z取得最大值，由，解得，此时，故答案为6.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.16.如图所示，为了测量、两岛屿的距离，小明在处观测到、分别在处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶10海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西60°方向，则、两岛屿的距离为______海里.-17-
【答案】【解析】【分析】中利用正弦定理求出，中求得，再在中利用余弦定理即得结果.【详解】连接AB，依题意，中，，故由正弦定理得，即，得.中，，故.中，，故由余弦定理得.故答案为：.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.在中,角,,所对的边分别为,,,且.（1）求；-17-
（2）若,的面积为,求.【答案】（1）（2）【解析】分析】(1)利用正弦定理边角互化,结合两角和的正弦公式化简求解即可.(2)根据三角形的面积公式可得,再代入余弦定理求解即可.【详解】解：（1）由正弦定理得,所以,则,又因为,所以,,所以；（2）的面积为,所以,解得,由,所以.【点睛】本题主要考查了解三角形与三角恒等变换的运用,需要根据题意选择合适的公式进行化简.属于基础题.18.已知数列的前项和为.（1）求证：数列是等差数列；（2）求的最大值及取得最大值时的值.【答案】（1）证明见解析；（2）前16项或前17项和最大，最大值为.【解析】【分析】（1）先由求通项公式，再利用定义法证明即可；（2）先判断的n的范围，得到数列的正负分布，即得何时最大.-17-
【详解】解：（1）证明：当时，，又当时，，满足，故的通项公式为，∴.故数列是以32为首项，为公差的等差数列；（2）令，即，解得，故数列的前16项或前17项和最大，此时.19.在中，角，，的对边分别为，，，且，.（1）求的外接圆半径；（2）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先利用正弦定理化角为边，结合余弦定理求出角C，再利用正弦定理即得外接圆半径；（2）先利用余弦定理和基本不等式求得的最大值，再利用面积公式即得到面积的最大值.【详解】（1）由正弦定理得，即，故由余弦定理得，∵，∴，；-17-
（2），由，，得，由，得，即，∴，当且仅当时取等号.∴面积的最大值为.20.已知正项等比数列满足，，数列满足.（1）求数列，的通项公式；（2）令求数列的前n项和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据等比数列的性质得出公比为，从而得出数列的通项公式，由对数的运算性质得出的通项公式；（2）求出，利用错位相减法求和即可.【详解】（1）正项等比数列的公比为，由，，可得，解得（舍）可得，则（2）两式相减可得-17-
化简可得【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式以及利用错位相减法求和，属于中档题.21.如图，在四棱锥中，为正三角形，平面平面，，，.（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的体积；【答案】（1）证明见解析过程；（2）.【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合平行线的性质、线面垂直和面面垂直的判定定理进行证明即可；（2）根据棱锥的体积公式进行求解即可.【详解】（1）取的中点，连结，如下图所示：-17-
因为为正三角形，所以，而平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以.在平面中，因为，，所以，又因为平面，所以平面，而平面，所以平面平面；（2）由（1）可知：平面.因为为正三角形，，所以.设三棱锥的体积为，所以有.【点睛】本题考查了面面垂直的证明，考查了棱锥的体积公式，考查了面面垂直的判定定理和性质定理，考查了线面垂直的判定定理和性质，考查了推理论证能力和数学运算能力.22.某市财政下拨一项专款百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金(单位：百万元)的函数单位：百万元)：处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金(单位：百万元)的函数(单位：百万元)：（1）设分配给植绿护绿项目的资金为(百万元)，则两个生态项目五年内带来的生态收益总和为，写出关于的函数解析式和定义域；（2）求出的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？【答案】（1），；（2）y的最大值为52百万元，分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为40百万元，60百万元．【解析】分析】-17-
（1）由题意可得处理污染项目投放资金为百万元，由此可得，再将与相加可得，再写出定义域即可.（2）将变形后利用基本不等式可得最大值以及取得最大值条件.【详解】（1）由题意可得处理污染项目投放资金为百万元，所以，所以，．（2）由（1）可得，，当且仅当＝，即时等号成立，此时，所以的最大值为百万元，分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为百万元，百万元．【点睛】本题主要考查了函数的应用，基本不等式求最值，属于中档题.-17-
