单元素养评价(一)(第一章)(120分钟 150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.若=2kπ+(k∈Z),则的终边在( )A.第一象限B.第四象限C.x轴上D.y轴上【解析】选D.由=2kπ+,k∈Z,可得α=6kπ+π,k∈Z,所以=3kπ+,k∈Z,当k为奇数时,的终边在y轴的非正半轴上,当k为偶数时,的终边在y轴的非负半轴上,综上可知,终边在y轴上.2.若一个α角的终边上有一点P(-4,a),且sinα·cosα=,则a的值为( )A.4B.±4C.-4或-D.【解析】选C.由三角函数定义可知,r=,sinα=,cosα=,sinα·cosα==,解得a=-4或-.3.(2020·宜昌高一检测)已知扇形AOB的周长为4,当扇形的面积取得最大值时,扇形的弦长AB等于( )A.2B.sin1C.2sin1D.2cos1【解析】选C.设扇形的半径为r,可得出扇形的弧长为l=4-2r(0<r<2),所以,扇形的面积为S=lr=r(4-2r)=-r2+2r=-(r-1)2+1,当r=1时,该扇形的面积取到最大值1,扇形的弧长为l=4-2r=2,此时∠AOB==2,如图所示.12
取AB的中点C,则OC⊥AB,且∠AOC=1,因此,AB=2AC=2rsin1=2sin1.4.点P从(1,0)点出发,沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动弧长到达Q点,则Q点坐标为( )A.B.C.D.【解析】选A.设∠POQ=θ,则θ=.又设Q(x,y),则x=cos=,y=sin=.5.(2020·天津高考)已知函数f(x)=sin.给出下列结论:①f(x)的最小正周期为2π;②f是f(x)的最大值;③把函数y=sinx的图象上所有点向左平移个单位长度,可得到函数y=f(x)的图象.其中所有正确结论的序号是( )A.①B.①③C.②③D.①②③【解析】选B.因为f(x)=sin,所以最小正周期T==2π,故①正确;f=sin=sin=≠1,故②不正确;将函数y=sinx的图象上所有点向左平移个单位长度,得到y=sin的图象,故③正确.6.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式是( )12
A.f(x)=2sinB.f(x)=2sinC.f(x)=2sinD.f(x)=2sin【解析】选D.由图象可得T=π-π,所以T=π,则ω=2.又图象过点,所以2sin=2,又|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=2sin.7.已知a=tan,b=cos,c=sin,则a,b,c的大小关系是( )A.b>a>c B.a>b>cC.b>c>a D.a>c>b【解析】选A.a=tan=-tan=-,b=cosπ=cos=cos=,c=sin=sin=-sin=-,所以b>a>c.8.(2020·石家庄高一检测)设f(θ)=,则f的值为( )A.-B.2C.1D.【解析】选A.由题意得f(θ)==,12
则f===-.9.若α∈,sin+cosα=,则sinα-cosα的值为( )A.B.-C.D.-【解析】选C.由诱导公式得sin+cosα=sinα+cosα=,平方得(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=,则2sinαcosα=-<0,所以(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=,又因为α∈(0,π),所以sinα-cosα>0,所以sinα-cosα=.10.夏季来临,人们注意避暑.如图是成都市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线,若该曲线近似地满足函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0),则成都市这一天中午12时天气的温度大约是( )A.28℃B.27℃C.26℃D.25℃【解析】选B.由题图知,A==10,B==20,函数y=Asin+B的最小正周期为T=2×(14-6)=16,所以ω==,所以,y=10sin+20,将点(14,30)代入函数解析式得10sin+20=30,得sin=1,所以,+φ=+2kπ,所以φ=+2kπ(k∈Z),则y=10sin12
+20=10sin+20,当x=12时,y=10sin+20=10sin+20=5+20≈27.11.被称为“华东第一高”的济南动物园大摩天轮,它的最高点离地面160米,直径为156米,并以每30分钟一周的速度匀速旋转,若从最低点开始计时,则摩天轮运行5分钟后离地面的高度为( )A.41米 B.43米 C.78米 D.118米【解析】选B.摩天轮转轴离地面高160-=82(米),ω==,摩天轮上某个点P离地面的高度h(米)与时间t(分钟)的函数关系是h=82-78cost,当摩天轮运行5分钟时,其离地面高度为h=82-78cost=82-78×=43(米).12.函数f(x)=sin(ωx+φ)+1的部分图象如图所示,将f(x)的图象向右平移个单位长度后得函数g(x)的图象,则g(x)=( )A.sinB.sinC.sin+1D.sin+1【解析】选D.由函数f(x)=sin(ωx+φ)+1的部分图象知1+sinφ=,即sinφ=.因为|φ|<,所以φ=.所以f(x)=sin+1.12
因为点在f(x)的图象上.所以sin=1.所以ω+=2kπ+(k∈Z).因为ω>0,结合图象可知ω=2,所以f(x)=sin+1.将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象.则g(x)=sin+1=sin+1.二、填空题(每小题5分,共20分)13.已知角α的终边过点,则cosα+sinα= . 【解析】因为角α的终边过点,则cosα==,sinα==,所以cosα+sinα=+×=-.答案:-14.(2020·宝鸡高一检测)函数y=的定义域为 . 【解析】依题意可得,解得即-+2kπ<x≤+2kπ,故函数的定义域为(k∈Z).答案:(k∈Z)15.设f(n)=cos,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)等于 . 【解析】f(n)=cos的周期T=4,12
且f(1)=cos=cos=-,f(2)=cos=-,f(3)=cos=,f(4)=cos=.所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)=f(1)+f(2)+f(3)=-.答案:-16.给出下列4个命题:①函数y=的最小正周期是;②直线x=是函数y=2sin的一条对称轴;③若sinα+cosα=-,且α为第二象限角,则tanα=-;④函数y=cos(2-3x)在区间上单调递减.其中正确的是 .(写出所有正确命题的序号) 【解析】函数y=sin的最小正周期是π,故①正确.对于②,当x=π时,2sin=2sinπ=-2,故②正确.对于③,由(sinα+cosα)2=得2sinαcosα=-,α为第二象限角,所以sinα-cosα==,所以sinα=,cosα=-,所以tanα=-,故③正确.对于④,函数y=cos(2-3x)的最小正周期为,而区间长度>,显然④错误.答案:①②③三、解答题(共70分)17.(10分)已知12
cos=cos,sin=-sin,0<α<π,0<β<π,求α、β.【解析】由已知得sinα=sinβ,cosα=cosβ.两式平方相加得sin2α+3cos2α=2,即sin2α+3=2,所以sin2α=.又0<α<π,所以sinα=,则α=或.当α=时,cosβ=cosα=,又0<β<π,所以β=;当α=时,cosβ=cosα=-,又0<β<π,所以β=.综上可得,α=,β=或α=,β=.18.(12分)已知α是第四象限角,f(α)=.(1)化简f(α).(2)若cos=,求f(α)的值.【解析】(1)f(α)====-cosα.(2)因为cos=cos=-sinα=,所以sinα=-.因为α是第四象限角,12
所以cosα=,所以f(α)=-cosα=-.19.(12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<0)的图象中相邻两条对称轴之间的距离为,且直线x=是其图象的一条对称轴.(1)求ω,φ的值;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位长度,得到y=g(x)的图象.求g(x)的解析式.【解析】(1)因为f(x)相邻两条对称轴之间的距离为,所以f(x)的最小正周期T=π.所以=π,所以ω=2.因为直线x=是函数y=f(x)的图象的一条对称轴,所以sin=±1.所以+φ=kπ+,k∈Z.因为-π<φ<0,所以φ=-.(2)由y=sin的图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到y=sin,图象向左平移个单位长度后得到y=sin=sin=-cos4x,所以g(x)=-cos4x.20.(12分)已知函数f(x)=2sin+1.(1)求f(x)的单调递增区间.(2)求f(x)在区间上的最值,并求出取最值时x的值.(3)求不等式f(x)≥2的解集.【解析】(1)-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.12
所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.(2)由-≤x≤,得-≤2x+≤,故-≤sin≤1,所以0≤f(x)≤3.当且仅当2x+=,即x=时,f(x)取最大值3;当且仅当2x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值0.(3)由f(x)≥2可得,sin≥,所以2kπ+≤2x+≤2kπ+,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,即不等式f(x)≥2的解集为,k∈Z.21.(12分)设函数f(x)=cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f=.(1)求ω和φ的值.(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0,π]上的图象.(3)若f(x)>,求x的取值范围.【解析】(1)因为函数的最小正周期T==π,所以ω=2.因为f=cos=cos=-sinφ=,所以sinφ=-.又-<φ<0,所以φ=-.12
(2)由(1)知f(x)=cos,列表如下:x0π2x--0πf(x)10-10描点、连线得到图象如图所示:(3)由题意得cos>,所以2kπ-<2x-<2kπ+,k∈Z,2kπ+<2x<2kπ+,k∈Z,所以kπ+<x<kπ+,k∈Z,即x的取值范围是.22.(12分)函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为g(a)(a∈R).(1)求g(a).(2)若g(a)=,求a及此时f(x)的最大值.【解析】(1)由f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x=1-2a-2acosx-2(1-cos2x)=2cos2x-2acosx-(2a+1)=2--2a-1.这里-1≤cosx≤1.12
①若-1≤≤1,则当cosx=时,f(x)min=--2a-1;②若>1,则当cosx=1时,f(x)min=1-4a;③若<-1,则当cosx=-1时,f(x)min=1.因此g(a)=(2)因为g(a)=.所以①若a>2,则有1-4a=,得a=,矛盾;②若-2≤a≤2,则有--2a-1=,即a2+4a+3=0,所以a=-1或a=-3(舍);③若a<-2时,g(a)≠,矛盾.所以g(a)=时,a=-1.此时f(x)=2+,当cosx=1时,f(x)取得最大值5.12
