安徽省2020年春季联赛（高一）数学（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至第2页，第II卷第3至第4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.2.答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答第II卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分别化简集合，再求.【详解】或，，则．故选：B.【点睛】本题考查了对集合描述法的理解与化简，函数定义域的求法，集合的交集运算，属于基础题.-20-
2.已知，，且，则的最小值为（）A.8B.9C.12D.6【答案】B【解析】【分析】由，则，化简用均值不等式求最值.【详解】由题意可得，则，当且仅当，时等号成立，故的最小值为9.故选：B.【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值时，注意“一正、二定、三相等，”，应用了“1”的变形，属于基础题.3.定义在上的函数同时满足：①对任意的都有；②当时，.若函数恰有3个零点，则的最大值是（）.A.5B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】先根据时，，画出图象，再由函数周期，画出函数在的图象，由函数恰有3个零点，则与有3个交点，数形结合，列出式子，求得的最大值.【详解】画出函数，的图象，如下图所示.-20-
由题意，要使两函数的图象有三个交点，则需满足，解得，所以实数最大值为3.故选：C.【点睛】本题考查了函数周期性的应用，已知函数零点的个数求参数值，考查了数形结合思想，转化思想，属于中档题.4.已知向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（）.A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意可知，且不共线，列式即可解出．【详解】依题可得，且不共线，即，解得且．故选：A．【点睛】本题主要考查向量的数量积的定义的理解和应用，数量积的坐标表示以及向量不共线的坐标表示，属于基础题．5.已知各项均为正数的等比数列的前3项和为7，且，则（）.A.16B.8C.4D.2【答案】C【解析】【分析】由条件列式求首项和公比，再求.-20-
【详解】设的公比为，由得，得，因为数列的各项均为正数，所以，又，所以，所以.故选：C【点睛】本题考查等比数列基本量求法，重点考查计算能力，属于基础题型.6.若，则（）.A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式可得，再根据二倍角的余弦公式即可求出．【详解】．故选：C．【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角的余弦公式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于基础题．7.已知锐角的内角，，的对边分别为，，，，，则的周长取最大值时面积为（）A.B.C.D.4【答案】C【解析】-20-
【分析】由条件结合正弦定理可得，从而可得出，由正弦定理可得的周长为，则可得出答案.【详解】∵，∴，由，则，∴.∵为锐角三角形，∴.由正弦定理，得，∴，，∴的周长为，∴当，即为等边三角形时，周长取得最大值，此时面积为，故选：C.【点睛】本题考查利用正弦定理进行边角的互化，求三角形的周长的最值，属于中档题.8.已知为的重心，为边上的中线，令，，过点的直线分别交，于，两点，且，，则（）A.3B.4C.5D.【答案】A【解析】【分析】由为的重心可得，，结合已知可用表示，然后由共线可求.-20-
【详解】解：由为的重心可得，，∵，，，∵共线，，则，故选：A.【点睛】本题主要考查了向量共线基本定理及三角形的重心性质的综合应用，属于中等试题.9.函数的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】采用排除法，先判断函数的奇偶性，然后判断其单调性，再带特殊点求函数值得出结果.【详解】因为函数为奇函数，所以其图象关于原点对称，当时，-20-
，所以函数在上单调递减，所以排除选项B，D；又当时，，所以排除选项A.故选：C.【点睛】本题考查函数的图象判断问题，难度一般.一般地，解决根据函数的解析式判断函数图象问题时，要仔细分析原函数的定义域、奇偶性、单调性等，采用排除法选出答案.10.若数列的首项，且满足，则的值为（）A.1980B.2000C.2020D.2021【答案】A【解析】【分析】由条件可得，从而数列是首项为21，公差为1的等差数列，由，可得，得出的通项公式，进一步得出答案.【详解】∵，∴，∴，所以数列是首项为21，公差为1等差数列，∴，∴.，故选：A.【点睛】本题考查根据数列的递推公式求数列的通项公式，注意构造数列的方法，属于中档题.-20-
11.已知是函数的图像的一个最高点，，是与相邻的两个最低点.设，若，则的图像对称中心可以是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析】根据点坐标及，求得的坐标，由，的中点都是的对称中心，且周期为6，得到答案.【详解】如图所示:取的中点，连接，则，，在中，由，得.所以，，，的中点都是的对称中心，且周期，即对称中心为，，当时，对称中心为故选：D.【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质，属于中档题.12.已知函数为奇函数，与图像关于对称，若，则（）A.2B.C.1D.【答案】A【解析】【分析】根据奇函数的对称关系结合图象可知的对称性，进而得到图象的对称性，再由-20-
可知点的对称，由此得出结论.【详解】解法一：函数为奇函数，故的图象关于原点对称，而函数的图象可由向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，故函数的图象关于对称，与图像关于对称，故函数图象关于对称，所以，而.解法二：（特例法）设，令，∴，，∴.∵与关于对称，，，∵，所以.故选：A【点睛】本题考查利用换元法求函数的解析式及图象的对称性问题，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.第Ⅱ卷（非选择题共90分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.）13.在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点，且，则的值是________.-20-
【答案】【解析】【分析】根据三角函数定义可求出，由同角基本函数关系及诱导公式即可求解.【详解】由三角函数定义知，，.∴，∴，∴，∴.故答案为：【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，诱导公式，二倍角公式，属于中档题.14.平行四边形中，，，，点在边上，则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】由，，，可求得，然后如图建立平面直角坐标系，设点，再利用坐标把表示出来，，求此二次函数在上的最小值即可.【详解】解：如图，∵，，，∴，-20-
∴，，∴.以点为原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，则.令，，则在上单调递减，在上单调递增，所以.故答案为：，【点睛】此题考查平面向量的数量积运算，建立坐标系利用了坐标求解，考查了二次函数的性质，考查数形结合的思想和计算能力，属于中档题.15.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，成等比数列，且，则的值是____________.【答案】【解析】【分析】由条件得，利用正弦定理边化角，将化弦，再由求出可得.【详解】∵，，成等比数列，∴，由正弦定理得，-20-
∴，∵，∴，∴.故答案为：【点睛】该题考查正弦定理，同角三角函数的基本关系，等比中项，三角式的恒等变形，属于中档题目.16.已知函数，若，则的取值范围是____________.【答案】【解析】【分析】画出的图象，对进行讨论：，，，，，结合单调性解不等式，即可得到所求范围.【详解】函数的图象如图所示：由于，-20-
当，即时，函数单调递减，显然合乎题意；当，即时，函数递增，显然不合乎题意；当，即，可得，解得，当，即有，由题意可得，解得，当，即时，函数单调递减，显然合乎题意；综上可得的范围是，故答案为：.【点睛】本题主要考查了关于分段函数的不等式，考查了分类讨论思想以及学生的计算能力，有一定难度.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知全集为.函数的定义域为集合，集合.（1）求；（2）若，，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求解集合，，再求交集；（2）先计算，再对分和讨论，最后综合即可.【详解】（1）由得，函数的定义域，-20-
又，得或，∴.（2）∵，①当时，满足要求，此时，得；②当时，要，则，解得；由①②得，，∴实数的取值范围.【点睛】本题考查集合的关系及运算，考查运算能力，是基础题.18.的内角，，的对边分别为，，，已知，，.（1）求角；（2）若点满足，求的外接圆半径.【答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，可求，结合的范围可求结果；（2）先由正弦定理得，即，在中，由余弦定理可得，最后由正弦定理即可得结果.【详解】（1）由，由正弦定理可得，又∵，∴，∵，∴.又，所以.-20-
（2）由正弦定理易知，解得.又，所以，即.在中，因为，，所以，所以在中，，，由余弦定理得，即，由可知的外接圆半径为1.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，通过三角恒等变换化简求值，属于中档题.19.已知公差不为零的等差数列，若，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和，证明.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由已知列出关于首项与公差的方程组，解得首项与公差，代入等差数列的通项公式得答案；（2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可证明；【详解】（1）设数列的公差为，依题意，，解得，，∴数列的通项公式为.（2），-20-
∴.因为，所以，所以，所以【点睛】本题考查等差数列的通项公式与等比数列的性质，考查裂项相消法求数列的前项和，属于中档题．20.已知的面积为，且内角是，的等差中项.（1）若，求边的长；（2）当边上中线取最小值时，试判断的形状.【答案】（1）；（2）为等边三角形.【解析】【分析】（1）由条件可得，由，得到，由结合正弦定理，得，可求出，再由余弦定理可求出答案.（2）由，平方可得，根据取等条件可得出答案.【详解】∵三个内角、、依次成等差数列，∴，设、、所对的边分别为、、，由的面积，可得.（1）∵，由正弦定理知，∴，.在中，由余弦定理可得，∴，即的长为.（2）∵是边上的中线，，-20-
当且仅当时取“＝”，，即长的最小值为3，此时为等边三角形.【点睛】本题主要考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，中点公式的向量式的应用，三角形面积公式的应用，以及利用向量的数量积以及基本不等式求最值，意在考查学生的数学运算能力和转化能力，属于中档题．21.已知函数，的所有正数的零点构成递增数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）令可得出，根据题意确定数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式；（2）求出，然后利用错位相减法可求得.【详解】（1），这就是函数的全部零点，已知函数的全部正数的零点构成等差数列，则其首项等于，公差等于1，的通项公式就是.（2），则，①-20-
，②①②：，所以，，因此，数列的前项和为.【点睛】本题考查数列通项公式的求解，同时也考查了错位相减法求和，涉及三角函数零点的求解，考查计算能力，属于中等题.22.已知，定义函数表示不超过的最大整数，例如：，，.（1）若，写出实数的取值范围；（2）若，且，求实数的取值范围；（3）设，，若对于任意，都有，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由表示不超过的最大整数，可得的取值范围为；（2）由指数函数的单调性，可得，则，即有，考虑，解不等式即可得到所求范围；（3）化简得在单调递减,在单调递增，求得的最值，可得所以在恒成立，讨论当时，当时，由新定义和二次函数的最值求法，即可得到所求的范围.-20-
【详解】（1）若，则表示不超过的最大整数，所以，故的取值范围为；（2）若，可得，，则，，当时，，不符合；当时，，不符合；则时，，不符合；当时，，所以，解得；所以实数的取值范围为.（3）∵，∴单调递减，在单调递增.可得，，则，所以在恒成立，即，整理得在恒成立，当时，在恒成立，即，当时，在恒成立，即，综上可得：实数的取值范围为.【点睛】本题考查定义新运算中函数参数的求法,属于创新题型,解决此类型题要注重对新运算的理解.-20-
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