2020-2021学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分，每小题只有一个选项符合题意）1．（4分）如图所示的几何体的俯视图是（ ）A．B．C．D．2．（4分）已知点（3，﹣1）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点也在该反比例函数图象上的是（ ）A．（1，3）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣1，3）D．（3，1）3．（4分）方程x2＝4的解是（ ）A．x1＝4，x2＝﹣4B．x1＝x2＝2C．x1＝2，x2＝﹣2D．x1＝1，x2＝44．（4分）如图，已知AB∥CD∥EF，若AC＝6，CE＝2，BD＝3，则BF的长为（ ）A．6B．5.5C．4D．4.55．（4分）抛物线y＝x2﹣2x的对称轴是（ ）A．直线x＝﹣2B．直线x＝﹣1C．y轴D．直线x＝16．（4分）在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同，其中摸到白色球的概率是，则口袋中白色球可能有（ ）A．12个B．24个C．32个D．28个7．（4分）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，△ABC的顶点均在小正方形的顶点上，则sinA的值为（ ）第29页（共29页）,A．B．C．D．8．（4分）关于方程2x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列说法正确的是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断9．（4分）如图，D是△ABC的AB边上的一点，过点D作DE∥BC交AC于E，已知AD：DB＝2：3，则S△ADE：S△ABC（ ）A．2：3B．4：9C．4：5D．4：2510．（4分）如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，∠BCD＝25°，则∠AOD的度数为（ ）A．120°B．125°C．130°D．135°11．（4分）函数与y＝kx+1（k≠0）在同一坐标系内的图象大致为图中的（ ）A．B．第29页（共29页）,C．D．12．（4分）已知二次函数y＝（m﹣2）x2+2mx+m﹣3的图象与x轴有两个交点，（x1，0），（x2，0），则下列说法正确的是（ ）①该函数图象一定过定点（﹣1，﹣5）；②若该函数图象开口向下，则m的取值范围为：＜m＜2；③当m＞2，且1≤x≤2时，y的最大值为：4m﹣5；④当m＞2，且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣2，﹣1＜x2＜0时，m的取值范围为：＜m＜11．A．①②③④B．①②④C．①③④D．②③④二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分．填空题请直接填写答案．）13．（4分）若＝3，则＝ ．14．（4分）如图，P是反比例函数y＝图象上一点，矩形OAPB的面积是6，则k＝ ．15．（4分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率是 ．16．（4分）在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度为 m．第29页（共29页）,17．（4分）如图，正方形的空地内部要做一个绿化带（阴影部分），已知正方形ABCD外切于⊙O，且边长为10米，则绿化带的周长为 ．（结果保留π）18．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转使∠DPG＝∠DAC，且过D作DG⊥PG，连接CG，则CG最小值为 ．三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（8分）（1）解方程：x2﹣4x+3＝0；（2）计算：tan30°+（π﹣3.14）0﹣|﹣6|．20．（6分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，如果BC＝，AC＝3，求CD的长．第29页（共29页）,21．（6分）学校进行实践活动，喜欢数学的小伟沿笔直的河岸BC进行数学实践活动，如图，河对岸有一码头A，小伟在河岸B处测得∠ABC＝45°，沿河岸到达C处，在C处测得∠ACB＝30°，已知河宽为20米，求B、C两点之间的距离．22．（8分）中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．某超市现有甲品牌A、B、C三个口味的月饼，乙品牌有A、B、D三个口味的月饼．小明计划在甲、乙两个品牌中各选择一个口味的月饼；（1）小明在甲品牌月饼中恰好选中A口味的概率是 ；（2）请利用列表法或画树状图的方法，求小明选择到不同口味月饼的概率．23．（8分）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．（1）若∠ADE＝28°，求∠C的度数；（2）若AC＝2，CE＝2，求⊙O半径的长．24．（8分）如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．（1）如果要围成面积为45m2的花圃，求AB的长度．（2）如果要使围成的花圃面积最大，求最大面积是多少m2．25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象经过点C第29页（共29页）,（0，2），与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，a）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）一次函数y＝x+b的图象与x轴交于B点，求△ABO的面积；（3）设M是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，N是直线AB上一点，若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．26．（12分）△ABC为等边三角形，AB＝8，D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，连接EF、CE，分别取EF、CE的中点M、N，连接MN、DN．（1）如图1，MN与DN的数量关系是 ，∠DNM＝ ；（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，①当0°＜α＜90°时，（1）中的结论是否依然成立？说明理由；②连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，求△ADN的面积．27．（12分）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y1＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y2＝﹣（x﹣1）2+2．（1）请写出抛物线y1＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标 ；及其“同轴对称抛物线”y2＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标 ；第29页（共29页）,（2）求抛物线y＝﹣2x2+4x+3的“同轴对称抛物线”的解析式．（3）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点B′、C′，连接BC、CC′、B′C′、BB′．①当四边形BB′C′C为正方形时，求a的值．②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．第29页（共29页）,2020-2021学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分，每小题只有一个选项符合题意）1．（4分）如图所示的几何体的俯视图是（ ）A．B．C．D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．【解答】解：从上面看，是一行两个矩形．故选：B．2．（4分）已知点（3，﹣1）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点也在该反比例函数图象上的是（ ）A．（1，3）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣1，3）D．（3，1）【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．【解答】解：∵点（3，﹣1）在反比例函数y＝的图象上，∴k＝3×（﹣1）＝﹣3，而1×3＝﹣3×（﹣1）＝3×1＝3，﹣1×3＝﹣3，∴点（﹣1，3）在该反比例函数图象上．故选：C．3．（4分）方程x2＝4的解是（ ）A．x1＝4，x2＝﹣4B．x1＝x2＝2C．x1＝2，x2＝﹣2D．x1＝1，x2＝4【分析】直接开平方法求解可得．【解答】解：∵x2＝4，∴x＝2或x＝﹣2，第29页（共29页）,故选：C．4．（4分）如图，已知AB∥CD∥EF，若AC＝6，CE＝2，BD＝3，则BF的长为（ ）A．6B．5.5C．4D．4.5【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝，然后根据比例的性质求BF．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，即＝，∴BF＝4．故选：C．5．（4分）抛物线y＝x2﹣2x的对称轴是（ ）A．直线x＝﹣2B．直线x＝﹣1C．y轴D．直线x＝1【分析】根据二次函数的对称轴公式列式计算即可得解．【解答】解：抛物线y＝x2﹣2x的对称轴是直线x＝﹣＝1．故选：D．6．（4分）在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同，其中摸到白色球的概率是，则口袋中白色球可能有（ ）A．12个B．24个C．32个D．28个【分析】根据概率的意义，由频数＝数据总数×频率计算即可．【解答】解：∵摸到白色球的频率是，∴口袋中白色球可能有40×＝24个．故选：B．7．（4分）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，△ABC的顶点均在小正方形的顶点上，则sinA的值为（ ）第29页（共29页）,A．B．C．D．【分析】在直角△AEC中，根据边角间关系，计算得结论．【解答】解：如图所示，AE＝3，CE＝4，则AC＝5．在Rt△ACE中，sinA＝＝．故选：B．8．（4分）关于方程2x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列说法正确的是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况．【解答】解：∵方程2x2﹣3x+1＝0中的a＝2，b＝﹣3，c＝1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．9．（4分）如图，D是△ABC的AB边上的一点，过点D作DE∥BC交AC于E，已知AD：DB＝2：3，则S△ADE：S△ABC（ ）第29页（共29页）,A．2：3B．4：9C．4：5D．4：25【分析】根据DE∥BC推出△ADE∽△ABC，再结合图形根据线段之间的和差关系推出AD：AB＝2：5，进而利用相似三角形的性质进行求解即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，又AD：DB＝2：3，AD+BD＝AB，∴AD：AB＝2：5，∴S△ADE：S△ABC＝4：25，故选：D．10．（4分）如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，∠BCD＝25°，则∠AOD的度数为（ ）A．120°B．125°C．130°D．135°【分析】由∠BCD＝25°，根据圆周角定理得出∠BOD＝50°，再利用邻补角的性质即可得出∠AOD的度数．【解答】解：∵∠BCD＝25°，＝，∴∠BOD＝2∠BCD＝50°，∴∠BCD＝180°﹣50°＝130°．故选：C．11．（4分）函数与y＝kx+1（k≠0）在同一坐标系内的图象大致为图中的（ ）第29页（共29页）,A．B．C．D．【分析】根据反比例函数及一次函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、由此反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0；而一次函数的图象经过一、三象限k＞0，相矛盾，故本选项错误；B、由此反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0；而一次函数的图象经过二、四象限，k＜0，相矛盾，故本选项错误；C、由此反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0；而一次函数的图象经过一、三象限，k＜0，两结论一致，故本选项正确；D、由此反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0；而一次函数的图象经过一、三象限，k＜0，因为1＞0，所以此一次函数的图象应经过一、二、三象限，故本选项错误．故选：C．12．（4分）已知二次函数y＝（m﹣2）x2+2mx+m﹣3的图象与x轴有两个交点，（x1，0），（x2，0），则下列说法正确的是（ ）①该函数图象一定过定点（﹣1，﹣5）；②若该函数图象开口向下，则m的取值范围为：＜m＜2；③当m＞2，且1≤x≤2时，y的最大值为：4m﹣5；④当m＞2，且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣2，﹣1＜x2＜0时，m的取值范围为：＜m＜11．A．①②③④B．①②④C．①③④D．②③④【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①y＝（m﹣2）x2+2mx+m﹣3＝m（x+1）2﹣2x2﹣3，当x＝﹣1时，y＝﹣5，故该函数图象一定过定点（﹣1，﹣5），符合题意；第29页（共29页）,②若该函数图象开口向下，则m﹣2＜0，且Δ＞0，Δ＝b2﹣4ac＝20m﹣24＞0，解得：m，且m＜2，故m的取值范围为：＜m＜2，符合题意；③当m＞2，函数的对称轴在y轴左侧，当1≤x≤2时，y的最大值在x＝2处取得，故y的最大为：（m﹣2）×4+2m×4+m﹣3＝9m﹣11，故原答案错误，不符合题意；④当m＞2，x＝﹣3时，y＝9（m﹣2）﹣6m+m﹣3＝4m﹣21，当x＝﹣2时，y＝m﹣11，当﹣3＜x1＜﹣2时，则（4m﹣21）（m﹣11）＜0，解得：＜m＜11；同理﹣1＜x2＜0时，m＞3，故m的取值范围为：＜m＜11正确，符合题意；故选：B．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分．填空题请直接填写答案．）13．（4分）若＝3，则＝ ．【分析】根据已知条件求出x＝3y，再代入求出答案即可．【解答】解：∵＝3，∴x＝3y，∴＝＝＝，故答案为：．14．（4分）如图，P是反比例函数y＝图象上一点，矩形OAPB的面积是6，则k＝ 6 ．第29页（共29页）,【分析】根据“P是反比例函数y＝图象上一点，矩形OAPB的面积是6”可得S矩形OAPB＝|k|＝6，由此可得k值．【解答】解：∵P是反比例函数y＝图象上一点，四边形OAPB是矩形，∴S矩形OAPB＝|k|，∵矩形OAPB的面积是6，∴|k|＝6，由图象可知，k＞0，∴k＝6故答案为5．15．（4分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率是 ．【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两枚硬币全部正面向上的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为1，所以两枚硬币全部正面向上的概率＝．故答案为．16．（4分）在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度为 12 m．【分析】利用平行投影的性质，相似三角形的对应边成比例解答．【解答】解：设旗杆的高度为xm，第29页（共29页）,根据题意，得：＝，解得x＝12，即旗杆的高度为12m，故答案为：12．17．（4分）如图，正方形的空地内部要做一个绿化带（阴影部分），已知正方形ABCD外切于⊙O，且边长为10米，则绿化带的周长为 5π+10 ．（结果保留π）【分析】连接OE，OF，OH，OG，根据切线的性质得到OE⊥AB，OH⊥AD，求得∠A＝∠AHO＝∠AEO＝90°，推出∠EOF＝∠HOG＝∠GOF＝90°，DH＝AH＝OH，得到△DHH与△CFG是等腰直角三角形，根据弧长公式即可得到结论．【解答】解：连接OE，OF，OH，OG，∵正方形ABCD外切于⊙O，∴OE⊥AB，OH⊥AD，∴∠A＝∠AHO＝∠AEO＝90°，∵OH＝OE，∴四边形AHOE是正方形，∴∠HOE＝90°，AH＝OH，同理，∠EOF＝∠HOG＝∠GOF＝90°，DH＝AH＝OH，∴△DHG与△CFG是等腰直角三角形，∴绿化带的周长为2×+2×5＝5π+10．故答案为：5π+10．第29页（共29页）,18．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转使∠DPG＝∠DAC，且过D作DG⊥PG，连接CG，则CG最小值为 ．【分析】如图，作DH⊥AC于H，连接HG延长HG交CD于F，作HE⊥CD于E．证明△ADP∽△DHG，推出∠DHG＝∠DAP＝定值，推出点G在射线HF上运动，推出当CG⊥HF时，CG的值最小，想办法求出CG即可．【解答】解：如图，作DH⊥AC于H，连接HG延长HG交CD于F，作HE⊥CD于E．∵DG⊥PG，DH⊥AC，∴∠DGP＝∠DHA，∵∠DPG＝∠DAH，∴△ADH∽△PDG，∴，∠ADH＝∠PDG，∴∠ADP＝∠HDG，∴△ADP∽△DHG，第29页（共29页）,∴∠DHG＝∠DAP＝定值，∴点G在射线HF上运动，∴当CG⊥HF时，CG的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADH+∠HDF＝90°，∵∠DAH+∠ADH＝90°，∴∠HDF＝∠DAH＝∠DHF，∴FD＝FH，∵∠FCH+∠CDH＝90°，∠FHC+∠FHD＝90°，∴∠FHC＝∠FCH，∴FH＝FC＝DF＝1.5，在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，∴AC＝＝5，DH＝，∴CH＝＝，∴EH＝＝，∵∠CFG＝∠HFE，∠CGF＝∠HEF＝90°，CF＝HF，∴△CGF≌△HEF（AAS），∴CG＝HE＝，∴CG的最小值为，故答案为．三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（8分）（1）解方程：x2﹣4x+3＝0；（2）计算：tan30°+（π﹣3.14）0﹣|﹣6|．【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）先代入三角函数值、计算零指数幂和绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可．【解答】解：（1）∵x2﹣4x+3＝0，∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，第29页（共29页）,则x﹣1＝0或x﹣3＝0，解得x1＝1，x2＝3；（2）原式＝×+1﹣6＝1+1﹣6＝﹣4．20．（6分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，如果BC＝，AC＝3，求CD的长．【分析】根据题意∠DBC＝∠A，结合图形中公共角∠DCB＝∠BCA，推出△BCD∽△ACB，从而利用相似三角形的对应边成比例列出式子进行求解即可．【解答】解：∵∠DBC＝∠A，∠DCB＝∠BCA，∴△BCD∽△ACB，∴＝，即＝，解得CD＝2，故CD长为2．21．（6分）学校进行实践活动，喜欢数学的小伟沿笔直的河岸BC进行数学实践活动，如图，河对岸有一码头A，小伟在河岸B处测得∠ABC＝45°，沿河岸到达C处，在C处测得∠ACB＝30°，已知河宽为20米，求B、C两点之间的距离．【分析】根据由图可知AD⊥BC，于是∠ABD＝∠BAD＝45°，以及∠ACD＝30°，利用特殊角三角函数求出即可．【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，第29页（共29页）,∴∠ABD＝∠BAD＝45°，∠ACD＝30°．在Rt△ABD中，BD＝AD＝20米．在Rt△ACD中，CD＝AD＝20（米）．∴BC＝BD+CD＝（20+20）米．答：BC之间的距离为（20+20）米．22．（8分）中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．某超市现有甲品牌A、B、C三个口味的月饼，乙品牌有A、B、D三个口味的月饼．小明计划在甲、乙两个品牌中各选择一个口味的月饼；（1）小明在甲品牌月饼中恰好选中A口味的概率是 ；（2）请利用列表法或画树状图的方法，求小明选择到不同口味月饼的概率．【分析】（1）由概率公式即可得出答案；（2）画树状图，共有9个等可能的结果，小明选择到不同口味月饼的结果有7个，由概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）小明在甲品牌月饼中恰好选中A口味的概率是，故答案为：；（2）画树状图如图：共有9个等可能的结果，小明选择到不同口味月饼的结果有7个，∴小明选择到不同口味月饼的概率为．23．（8分）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．（1）若∠ADE＝28°，求∠C的度数；第29页（共29页）,（2）若AC＝2，CE＝2，求⊙O半径的长．【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，根据切线的性质求出∠OAC，根据三角形内角和定理求出即可；（2）设OA＝OE＝r，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）连接OA，∵∠ADE＝28°，∴由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ADE＝56°，∵AC切⊙O于A，∴∠OAC＝90°，∴∠C＝180°﹣∠AOC﹣∠OAC＝180°﹣56°﹣90°＝34°；（2）设OA＝OE＝r，在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2+AC2＝OC2，即r2+（2）2＝（r+2）2，解得：r＝2，答：⊙O半径的长是2．24．（8分）如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．（1）如果要围成面积为45m2的花圃，求AB的长度．（2）如果要使围成的花圃面积最大，求最大面积是多少m2．第29页（共29页）,【分析】（1）根据AB为xm，BC就为（24﹣3x），利用长方体的面积公式，可列出方程，解方程可求出x即AB的长；（2）当墙的宽度为最大时，有最大面积的花圃，此故可求．【解答】解：设AB＝xm，围成的花圃面积为ym2，则BC长为（24﹣3x）m，（1）根据题意，得x（24﹣3x）＝45，整理，得x2﹣8x+15＝0，解得x＝3或5，当x＝3时，BC＝24﹣9＝15＞10不成立，当x＝5时，BC＝24﹣15＝9＜10成立，∴AB长为5m；（2）由题意，得S＝24x﹣3x2＝﹣3（x﹣4）2+48，∵墙的最大可用长度为10m，0≤BC＝24﹣3x≤10，∴≤x＜8，∵对称轴x＝4，开口向下，∴当x＝m，有最大面积的花圃，即：x＝m，最大面积为：24×﹣3×（）2＝（m2）．25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象经过点C（0，2），与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，a）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）一次函数y＝x+b的图象与x轴交于B点，求△ABO的面积；（3）设M是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，N是直线AB上一点，若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．第29页（共29页）,【分析】（1）将点C代入直线y＝x+b中求出b，进而得出直线AB的解析式，进而求出点A的坐标，再代入双曲线的表达式中，即可得出结论；（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）设成点M，N坐标，分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解，即可得出结论．【解答】解：（1）∵点C（0，2）在直线y＝x+b上，∴b＝2，∴一次函数的表达式为y＝x+2；∵点A（1，a）在直线y＝x+2上，∴a＝3，∴点A（1，3），∵点A（1，3）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝1×3＝3，∴反比例函数的表达式为y＝；（2）在y＝x+2中，令y＝0，得x＝﹣2，令x＝0，得y＝2，∴B（﹣2，0），C（0，2），∴△ABO的面积＝S△AOC+S△BOC＝+＝1+2＝3；（3）由（2）知，直线AB的表达式为y＝x+2，反比例函数的表达式为y＝，设点M（m，），N（n，n+2），第29页（共29页）,若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，则①以OC和MN为对角线时，∴＝0，＝，∴m＝，n＝﹣或m＝﹣（此时，点M不在第一象限，舍去），n＝，∴N（﹣，﹣+2），②以CN和OM为对角线时，∴＝，＝，∴m＝n＝﹣2+或m＝n＝﹣2﹣（此时，点M不在第一象限，舍去），∴N（﹣2+，），③以CM和ON为对角线时，∴，＝，∴m＝n＝或m＝n＝﹣（此时，点M不在第一象限，舍去），∴N（，2+），即满足条件的点N的坐标为（﹣，﹣+2）或（﹣2+，）或（，2+）．26．（12分）△ABC为等边三角形，AB＝8，D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，连接EF、CE，分别取EF、CE的中点M、N，连接MN、DN．（1）如图1，MN与DN的数量关系是 MN＝DN ，∠DNM＝ 120° ；（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，①当0°＜α＜90°时，（1）中的结论是否依然成立？说明理由；②连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，求△ADN的面积．第29页（共29页）,【分析】(1)利用三角形中位线定理以及等边三角形的性质即可解决问题．（2）①如图2中，连接BE,CF,延长BE交CF的延长线与T．证明△BAE≌△CAF(SAS),可得结论．②当点N在BJ的延长线上时，BN的值最大，如图3﹣2中，过点N作NH⊥AD于H，设BJ交AD于K，连接AN．想办法求出AD,NH即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC,∵EM＝MF,EN＝NC,BD＝DC,∴MN∥FC,DN∥BE,MN＝CF,DN＝BE,∵AE＝EB,AF＝CF,∴BE＝CF,EF＝BC＝AC＝CF,∴MN＝DN,∵CA＝CB,AE＝BE,∴CE⊥AB,∠ACE＝∠BCE＝∠ACB＝×60°＝30°,∴∠CEB＝90°,∵DN∥BE,MN∥CF,第29页（共29页）,∴∠END＝90°,∠ENM＝∠ECF＝30°,∴∠DNM＝90°+30°＝120°．故答案为：MN＝DN,120°．(2)①成立．理由：如图2中，连接BE,CF,延长BE交CF的延长线与T,设AF交BT于点O．∵∠BAC＝∠EAF＝60°,∴∠BAE＝∠CAF,∵AB＝AC,AE＝AF,∴△BAE≌△CAF(SAS),∴BE＝CF,∠ABE＝∠ACF,∵∠AOB＝∠COT,∴∠T＝∠BAO＝60°,∴∠EBC+∠TCB＝120°,∵EM＝MF,EN＝NC,BD＝DC,∴MN∥FC,DN∥BE,MN＝CF,DN＝BE,∴MN＝DN,∠NDC＝∠EBC,∠ENM＝∠ECT,∴∠DNM＝∠DNE+∠ENM＝∠NDC+∠DCN+∠ECF＝∠TBC+∠TCB＝120°．②（3）如图3﹣1中，取AC的中点，连接BJ，BN．第29页（共29页）,∵AJ＝CJ，EN＝NC，∴JN＝AE＝，∵BJ＝AD＝2，∴BN≤BJ+JN，∴BN≤4+2，∴当点N在BJ的延长线上时，BN的值最大，如图3﹣2中，过点N作NH⊥AD于H，设BJ交AD于K，连接AN．∵KJ＝AJ•tan30°＝，JN＝2，∴KN＝+2，在Rt△HKN中，∠NHK＝90°，∠NKH＝60°，∴HN＝NK•sin60°＝(+2)×＝2+，第29页（共29页）,∴S△ADN＝•AD•NH＝×4×(2+)＝4+6．27．（12分）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y1＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y2＝﹣（x﹣1）2+2．（1）请写出抛物线y1＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标 （1，﹣2） ；及其“同轴对称抛物线”y2＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标 （1，2） ；（2）求抛物线y＝﹣2x2+4x+3的“同轴对称抛物线”的解析式．（3）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点B′、C′，连接BC、CC′、B′C′、BB′．①当四边形BB′C′C为正方形时，求a的值．②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．【分析】（1）根据顶点式y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）；（2）先化成顶点式，再求“同轴对称抛物线”的解析式；（3）①写出点B的坐标，再由对称轴求出点B'，然后结合正方形的性质列出方程求a；②先由对称性分析得到封闭区域内在x轴上整点的个数，然后针对抛物线L开口的不同进行分类讨论．【解答】解：（1）由y1＝（x﹣1）2﹣2知顶点坐标为（1，﹣2），由y2＝﹣（x﹣1）2+2知顶点坐标为（1，2），故答案为：（1，﹣2），（1，2）．（2）∵y＝﹣2x2+4x+3y＝﹣2（x﹣1）2+5，∴“同轴对称抛物线”的解析式为：y＝2（x﹣1）2﹣5．（3）①当x＝1时，y＝1﹣3a，第29页（共29页）,∴B（1，1﹣3a），∴C（1，3a﹣1），∴BC＝|1﹣3a﹣（3a﹣1）|＝|2﹣6a|，∵抛物线L的对称轴为直线x＝﹣＝2，∴点B'（3，1﹣3a），∴BB'＝3﹣1＝2，∵四边形BB'C'C是正方形，∴BC＝BB'，即|2﹣6a|＝2，解得：a＝0（舍）或a＝．②抛物线L的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1﹣4a），∵L与“同轴对称抛物线”关于x轴对称，∴整点数也是关于x轴对称出现的，∴封闭区域内在x轴上的整点可以是3个或5个，L与x轴围成的区域内整点个数为4个或3个，（i）当a＞0时，∵L开口向上，与y轴交于点（0，1），∴封闭区域内在x轴上只可能有3个整点，两个区域内各有4个整点，∴当x＝1时，﹣2≤1﹣3a＜﹣1，当x＝2时，﹣3≤1﹣4a＜﹣2，解得：≤a≤1；（ii）当a＜0时，∵L开口向下，与y轴交于点（0，1），∴封闭区域内在x轴上只可能有5个整点，两个区域内各有3个整点，∴当x＝2时，1＜1﹣4a≤2，当x＝﹣1时，5a+1＜0，解得：﹣≤a＜﹣，综上所述：≤a≤1或﹣≤a＜﹣．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/8/215:15:12；用户：木讷；邮箱：cao168@xyh.com；学号：29163119第29页（共29页）,第29页（共29页）
