均匀随机数的产生 (20分钟 35分)1.设x1是[0，1]内的均匀随机数，x2是[-2，1]内的均匀随机数，则x1与x2的关系是( )A.x2=2x1-2 B.x2=3x1-2C.x2=3x1+2D.x2=x1-2【解析】选B.注意到x2的区间长度是x1的区间长度的3倍，因此设x2=3x1+b(b是常数)，再用两个区间中点的对应值，得当x1=时，x2=-，所以-=3×+b，得b=-2.因此x1与x2的关系式是x2=3x1-2.2.函数f(x)=x2-x-2，x∈[-5，5]，用计算器上的随机函数产生一个[-5，5]上的随机数x0，那么使f(x0)≤0的概率为( )A.0.1 B. C.0.3 D.0.4【解析】选C.用计算器产生的x0∈[-5，5]，其区间长度为10.使f(x0)≤0，即-x0-2≤0，得-1≤x0≤2，其区间长度为3，所以使f(x0)≤0的概率为=0.3.3.如图，扇形AOB的半径为1，圆心角为90°，点C，D，E将弧AB等分成四份.连接OC，OD，OE，从图中所有扇形中随机取出一个，面积恰为的概率是( )A.B.C.D.【解析】选A.题图中共有10个不同的扇形，分别为扇形AOB，AOC，AOD，AOE，EOB，EOC，EOD，DOC，DOB，COB，其中面积恰为的扇形(即相应圆心角恰为45°的扇形)共有3个(即扇形AOD，EOC，BOD)，因此所求的概率等于.8
4.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出.具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图.现在上述图(3)中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为______. 【解析】设题图(3)中最小黑色三角形面积为S，由题图可知图(3)中最大三角形面积为16S，图(3)中，阴影部分的面积为9S，根据几何概型概率公式可得，图(3)中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为.答案：5.实数m是区间[0，6]上的随机数，则方程x2-mx+4=0有实根的概率是______. 【解析】由解得4≤m≤6，故所求的概率为P==.答案：6.用随机模拟方法求函数y=与x轴和直线x=1围成的图形的面积.【解析】如图所示，阴影部分是函数y=的图象与x轴和直线x=1围成的图形，设阴影部分的面积为S.随机模拟的步骤：(1)利用计算机产生两组[0，1]内的均匀随机数，x1=RAND，y1=RAND；(2)统计试验总数N和落在阴影内的点数N1(满足条件y<的点(x，y)的个数)；(3)计算频率，即为点落在阴影部分的概率的近似值；(4)直线x=1，y=1和x，y轴围成的正方形面积为1，由几何概型概率的计算公式得，点落在阴影部分的概率为=S.则S=，即阴影部分面积的近似值为.8
(30分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.要产生[-3，3]上的均匀随机数y，现有[0，1]上的均匀随机数x，则y可取为( )A.-3xB.3xC.6x-3D.-6x-3【解析】选C.方法一：利用伸缩和平移变换进行判断.方法二：由0≤x≤1，得-3≤6x-3≤3，故y可取6x-3.2.用随机模拟方法，近似计算由曲线y=x2及直线y=1所围成部分的面积S.利用计算机产生N组数，每组数由区间[0，1]上的两个均匀随机数a1=RAND，b=RAND组成，然后对a1进行变换a=2(a1-0.5)，由此得到N个点(xi，yi)(i=1，2，…，N).再数出其中满足≤yi≤1(i=1，2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得到的近似值为( )A.B.C.D.【解析】选A.由题意，对a1进行变换a=2(a1-0.5)，由此得到N个点(xi，yi)(i=1，2，…，N).再数出其中满足≤yi≤1(i=1，2，…，N)的点数N1，所以由随机模拟方法可得到的近似值为.3.如图所示，在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm，4cm，6cm，某人站在3m之外向此木板投镖，设镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，记事件A={投中大圆内}，事件B={投中小圆与中圆形成的圆环内}，事件C={投中大圆之外}.(1)用计算机产生两组[0，1]内的均匀随机数，a1=RAND，b1=RAND.(2)经过伸缩和平移变换，a=16a1-8，b=16b1-8，得到两组[-8，8]内的均匀随机数.8
(3)统计投在大圆内的次数N1(即满足a2+b2<36的点(a，b)的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环次数N2(即满足4<a2+b2<16的点(a，b)的个数)，投中木板的总次数N(即满足上述-8<a<8，-8<b<8的点(a，b)的个数).则概率P(A)，P(B)，P(C)的近似值分别是( )A.，，B.，，C.，，D.，，【解析】选A.P(A)的近似值为，P(B)的近似值为，P(C)的近似值为.4.在区间[0，10]内任取两个数，则这两个数的平方和也在区间内的概率为( )A.B.C.D.【解析】选B.将取出的两个数分别用(x，y)表示，则0≤x≤10，0≤y≤10，要求这两个数的平方和也在区间内，即要求0≤x2+y2≤10，故此题可以转化为求0≤x2+y2≤10在区域0≤x≤10，0≤y≤10内的面积问题，如图所示：即由几何概型知识可得到概率为=.5.P为圆C1：x2+y2=9上任意一点，Q为圆C2：x2+y2=25上任意一点，PQ中点组成的区域为M，在C2内部任取一点，则该点落在区域M上的概率为( )A.B.C.D.【解析】选B.设Q(x0，y0)，中点(x，y)，则P(2x-x0，2y-y0)，代入x2+y2=9，得(2x-x0)2+(2y-y0)2=9，化简得+=，故中点的轨迹是以8
为圆心，以为半径的圆，又因为点Q(x0，y0)在圆x2+y2=25上，所以区域M为在以原点为圆心、宽度为3的圆环带，即应有x2+y2=r2(1≤r≤4)，所以在C2内部任取一点落在M内的概率为=.二、填空题(每小题5分，共15分)6.由于计算器不能直接产生[a，b]上的均匀随机数，只能通过线性变换得到.如果x是[0，1]上的均匀随机数，则a+(b-a)x就是[a，b]上的均匀随机数，据此，[0，1]上的均匀随机数0.8对应于[3，5]上的均匀随机数为______. 【解析】因为x是[0，1]上的均匀随机数，则[a+(b-a)x]就是[a，b]上的均匀随机数，所以[0，1]上的均匀随机数0.8对应于[3，5]上的均匀随机数为3+(5-3)×0.8=4.6.答案：4.67.利用计算器在0～1上产生均匀随机数x，经过变换y=mx+2，使得x=时，对应的变换出的均匀随机数为4，则m的值为______. 【解析】当x=时，y=m×+2=4，解得m=3.答案：38.用计算机产生随机二元数组组成区域对每个二元数组(x，y)，用计算机计算x2+y2的值，记“(x，y)满足x2+y2<1”为事件A，则事件A发生的概率为______. 【解析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件对应的集合是Ω={(x，y)|-1<x<1，-2<y<2}，它的面积是2×4=8，满足条件的事件对应的集合是{(x，y)|-1<x<1，-2<y<2，x2+y2<1}，该集合对应的图形的面积是圆的内部，面积是π，所以根据几何概型的概率公式得到P=.答案：8
三、解答题(每小题10分，共20分)9.用随机模拟的方法估算边长是2的正方形内切圆的面积，并估计π的近似值.【解析】(1)利用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数a1，b1.(2)平移和伸缩变换，a=(a1-0.5)×2，b=(b1-0.5)×2，得到两组[-1，1]上的均匀随机数.(3)统计试验总次数N和点落在圆内的次数N1(满足a2+b2≤1的点(a，b)的个数).(4)计算频率，即为点落在圆内的概率.(5)如图，设圆面积为S，则由几何概型概率公式得P=.所以≈，即S≈，即圆面积的近似值为.又因为S圆=πr2=π，所以π=S≈，即为圆周率π的近似值.10.现向如图所示正方形内随机地投掷飞镖，用随机模拟的方法计算飞镖落在阴影部分的概率，阴影部分由直线6x-3y-4=0和x=1，y=-1围成.【解题指南】要确定飞镖落点位置，需要确定两个坐标x，y，可用两组均匀随机数来表示点的坐标.【解析】记事件A={飞镖落在阴影部分}.(1)用计算机或计算器产生两组0～1上的均匀随机数，x1=RAND，y1=RAND.(2)经过平移和伸缩变换，x=2(x1-0.5)，y=2(y1-0.5)得到两组上的均匀随机数.(3)统计试验总次数N及落在阴影部分的点数N1(满足6x-3y-4>0的点(x，y)的个数).(4)计算频率fn(A)=，即为飞镖落在阴影部分的概率的近似值.【一题多解】本题还可以采用以下方法，8
利用几何概型的公式：由于随机地投掷飞镖，飞镖落在正方形内每一个点的机会是等可能的，且结果有无限多个，所以是几何概型.阴影部分的面积为S1=··=，又正方形的面积S=4.所以飞镖落在阴影部分的概率为P==.1.如图，在△AOB中，已知∠AOB=60°，OA=2，OB=5，在线段OB上任取一点C，则△AOC为钝角三角形的概率为( )A.0.6B.0.4C.0.2D.0.1【解析】选B.试验发生包含的事件对应的是长度为5的一条线段，满足条件的事件是组成钝角三角形，包括两种情况：第一种∠ACO为钝角，这种情况的边界是∠ACO=90°的时候，此时OC=1，所以这种情况下，满足要求的是0<OC<1.第二种∠OAC为钝角，这种情况的边界是∠OAC=90°的时候，此时OC=4，所以这种情况下，满足要求的是4<OC<5.综合两种情况，若△AOC为钝角三角形，则0<OC<1或4<OC<5.所以概率P==0.4.2.一个投针试验的模板如图所示，AB为半圆O的直径，点C在半圆上，且CA=CB.现向模板内任投一针，则该针恰好落在△ABC内(图中的阴影区域)的概率是______. 【解析】设半圆O的半径为r，则半圆O的面积S半圆=πr2，在△ABC中，AB=2r，CA=CB=r，所以S△ABC=·r·r=r2.据题意可知该概率模型是几何概型，8
所以所求的概率为P===.答案：3.利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线y=9-x2与x轴和y=x围成的图形)的面积.【解析】设事件A“随机向矩形内投点，所投的点落在阴影部分”(如图).(1)利用计算器或计算机产生两组0到1区间的均匀随机数，x1=RAND，y1=RAND；(2)经过伸缩平移变换，x=6(x1-0.5)，y=9y1；(3)统计出试验总次数N和满足条件y<9-x2及y>x的点(x，y)的个数N1；(4)计算频率fn(A)=，即为概率P(A)的近似值.设阴影部分的面积为S，矩形的面积为9×6=54.由几何概率公式得P(A)=.所以，阴影部分面积的近似值为：S≈.8
