2018-2019学年广东省广州市某校高一（上）期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）)1.已知全集U={1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合P={1, 3, 5}，Q={1, 2, 4}，则(∁UP)∪Q=( )A.{1}B.{3, 5}C.{1, 2, 4, 6}D.{1, 2, 3, 4, 5}2.设集合A＝{-1, 3, 5}，若 f:x:→2x-1是集合A到集合B的映射，则集合B可以是（）A.{1, 2, 3}B.{0, 2, 3}C.{-3, 5, 9}D.{-3, 5}3.可作为函数y＝f(x)的图象的是（）A.B.C.D.4.下列四组函数中，表示同一函数的是（）A.f(x)＝|x|，g(x)=x2B.f(x)＝lg x2，g(x)＝2lg xC.f(x)=x2-1x-1，g(x)＝x+1D.f(x)=x+1⋅x-1，g(x)=x2-15.如果奇函数f(x)在区间[2, 8]上是减函数且最小值为6，则f(x)在区间[-8, -2]上是( )A.增函数且最小值为-6B.增函数且最大值为-6C.减函数且最小值为-6D.减函数且最大值为-66.下列函数中，既是偶函数又在区间(0, +∞)上单调递增的函数是（）A.y＝x+3B.y＝2|x|+1C.y＝-x2-1D.y＝3-|x|7.幂函数f(x)＝xα的图象过点(12,22)，则log2f(2)的值为（）A.12B.-12C.2D.-28.给出函数f(x)=a2x-1+2(a为常数，且a>0，a≠1)，无论a取何值，函数f(x)恒过定点P，则P的坐标是( )A.(0, 1)B.(1, 2)C.(1, 3)D.(12, 3)试卷第5页，总6页
9.已知a＝log2 0.3，b＝30.2，c＝0.32，则（）A.a<c<bB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b10.函数y=xax|x|(0<a<1)的图象的大致形状是( )A.B.C.D.11.已知奇函数f(x)在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf(x)<0的解集为（）A.(1, 2)B.(-2, -1)C.(-2, -1)∪(1, 2)D.(-1, 1)12.若函数f(x)=(3-a)x-3,x≤7ax-6,x7 单调递增，则实数a的取值范围是（）A.(94, 3)B.[94, 3)C.(1, 3)D.(2, 3)二、填空题（每小题5分，共20分）)13.已知函数f(x)=x+4，x<0，x-4，x>0， 则f[f(-3)]的值为________．14.函数f(x)=2-xx2+x-6的定义域是________．15.若函数f(x)=ax(0<a≠1)在[-1, 2]上的最大值为4，最小值为m，则m=________．16.函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝-x+1，则f(x)＝________．三.解答题（其中17题10分，18-22题12分,共70分）)17.（1）计算0.06413-(-78)0+[(-2)3]-43+|-0.01|12；17.（2）34lg25+2log23+lg(22)．试卷第5页，总6页
18.全集U=R，函数f(x)=1x+2+lg(3-x)的定义域为集合A，集合B={x|x2-a<0}．(1)求∁UA；(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围．19.已知函数f(x)=mx+nx2+1是定义在(-1, l)上的奇函数，且f(-12)=-25．(I)确定函数f(x)的解析式；(Ⅱ)当x∈(-l, 1)时，判断函数f(x)的单调性，并证明．20.已知f(x)是定义在(0, +∞)上的函数，且满足f(xy)＝f(x)+f(y)，f(2)＝1，当x>1时，f(x)>0．（1）求f(8)的值；（2）求不等式f(x)-f(x-2)>3的解集．21.若二次函数满足f(x+1)-f(x)＝2x，且f(0)＝1．（1）求f(x)的解析式；（2）求函数f(x)在[a, a+1]的最大值；（3）若在区间[-1, 1]上不等式f(x)>2x+m恒成立，求实数m的取值范围．22.定义：对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(-x)＝-f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”．1已知二次函数f(x)＝ax2+2x-4a(a≠0)，试判断f(x)是否为定义域R上的“局部奇函数”？若是，求出满足f(-x)＝-f(x)的x的值；若不是，请说明理由；（2）若f(x)＝2x+m是定义在区间[-1, 1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．（3）若f(x)＝4x-m⋅2x+1+m2-3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．试卷第5页，总6页
参考答案与试题解析2018-2019学年广东省广州市某校高一（上）期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1.C2.C3.B4.A5.D6.B7.A8.D9.A10.D11.C12.B二、填空题（每小题5分，共20分）13.-314.{x|x<2且x≠-3}15.12或11616.-x+1,x<00,x=0-x-1,x>0三.解答题（其中17题10分，18-22题12分,共70分）17.0.06413-(-78)0+[(-2)3]-43+|-0.01|12=(0.43)13-1+(-2)-4+0.0112＝0.4-1+116+0.1=-716．34lg25+2log23+lg(22)=34×2×lg5+3+32lg2=32(lg5+lg2)+3=32+3=92．18.解：(1)对于函数f(x)=1x+2+lg(3-x)，x+2>0，且3-x>0，∴-2<x<3，∴A={x|-2<x<3}，∴∁UA={x|x≤-2或x≥3}.(2)当a≤0时，B=⌀，满足A∪B=A；当a>0时，B={x|-a<x<a}，∵A∪B=A，∴B⊆A，∴-a≥-2，a≤3， ∴0<a≤4，综上所述，实数a的取值范围是a≤4．试卷第5页，总6页
19.（I）∵函数f(x)=mx+nx2+1是定义在(-1, l)上的奇函数，∴f(0)＝0，∴n＝0，∴f(x)=mxx2+1，∵f(-12)=-25，∴m＝1，∴f(x)=xx2+1；（2）∵f(x)=xx2+1，∴f'(x)=x2+1-x⋅2x(x2+1)2=-(x+1)(x-1)(x2+1)2，∵x∈(-l, 1)，∴f'(x)>0，∴当x∈(-l, 1)时，函数f(x)单调递增．20.∵f(xy)＝f(x)+f(y)，且f(2)＝1，∴f(8)＝f(4×2)＝f(4)+f(2)＝f(2)+f(2)+f(2)＝3；设x1，x2∈(0, +∞)，且x2>x1，则x2x1>1，有f(x2x1)>0，∴f(x2)＝f(x2x1⋅x1)＝f(x2x1)+f(x1)，即f(x2)-f(x1)＝f(x2x1)>0，故f(x1)<f(x2)，则f(x)在(0, +∞)上为增函数．由f(x)-f(x-2)>3，得f(x)>f(x-2)+3＝f(x-2)+f(8)＝f[8(x-2)]，得x>0x-2>0x>8(x-2) ，解得2<x<167．∴不等式f(x)-f(x-2)>3的解集为(2, 167)．21.设y＝f(x)＝ax2+bx+c，∵f(0)＝1，f(x+1)-f(x)＝2x，∴c＝1且a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)＝2x，∴2a＝2，a+b＝0，解得a＝1，b＝-1，函数f(x)的表达式为f(x)＝x2-x+1．∵f(x)＝x2-x+1＝(x-12)2+34，则对称轴为x=12，①当a≥12时，则在区间[a, a+1]上，函数f(x)为增函数，则最大值f(a+1)＝a2+a-1．②当0<a<12时，则在区间[a, a+1]上，函数f(x)先减后增，最大值f(a+1)＝a2+a-1．③当试卷第5页，总6页
-12<a≤0时，则在区间[a, a+1]上，函数f(x)先减后增，则最大值f(a)＝a2-a+1．④当a≤-12时，则在区间[a, a+1]上，函数f(x)为减函数，则最大值为f(a)＝a2-a+1．综上述，当a>0时，函数f(x)最大值为f(a+1)＝a2+a-1；当a≤0时，函数f(x)的最大值为f(a)＝a2-a+1．当x∈[-1, 1]时，f(x)>2x+m恒成立，即x2-3x+1>m恒成立，令g(x)＝x2-3x+1，x∈[-1, 1]，∴g(x)在[-1, 1]上递减，∴当x＝1时，g(x)取最小值-1，∴m<-1．22.解:1当f(x)＝ax2+2x-4a(a≠0)，时，方程f(-x)＝-f(x)即2a(x2-4)＝0，有解x＝±2，所以f(x)为“局部奇函数”．2当f(x)＝2x+m时，f(-x)＝-f(x)可化为2x+2-x+2m＝0，因为f(x)的定义域为[-1, 1]，所以方程2x+2-x+2m＝0在[-1, 1]上有解．令t＝2x∈[12, 2]，则-2m＝t + 1t．设g(t)＝t + 1t，则g'(t) = t2 - 1t2，当t∈(0, 1)时，g'(t)<0，故g(t)在(0, 1)上为减函数，当t∈(1, +∞)时，g'(t)>0，故g(t)在(1, +∞)上为增函数． 所以t∈[12, 2]时，g(t)∈[2, 52]．所以-2m∈[2, 52]，即m∈[ - 54, -1]．3当f(x)＝4x-m2x+1+m2-3时，f(-x)＝-f(x)可化为4x+4-x-2m(2x+2-x)+2m2-6＝0．t＝2x+2-x≥2，则4x+4-x＝t2-2，从而t2-2mt+2m2-8＝0在[2, +∞)有解即可保证f(x)为“局部奇函数”．令F(t)＝t2-2mt+2m2-8，1∘ 当F(2)≤0，t2-2mt+2m2-8＝0在[2, +∞)有解，由当F(2)≤0，即2m2-4m-4≤0，解得1 - 3 ≤ m≤1 + 3； 2∘ 当F(2)>0时，t2-2mt+2m2-8＝0在[2, +∞)有解等价于 △ = 4m2 - 4(2m2 - 8) ≥ 0 m> 2 F(2)> 0 ，解得1 + 3 ≤ m≤22． 综上，所求实数m的取值范围为1 - 3 ≤ m≤22．试卷第5页，总6页
