集合及其表示方法基础过关练题组一 集合的含义与元素的特点1.在“①最小的自然数;②方程x2+1=0的实数根;③本书中的所有易错题;④所有的直角三角形”中能够组成集合的个数为( ) A.1B.2C.3D.42.下列说法中正确的是( )①0与{0}表示同一个集合;②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1};③方程(x-1)2(x-2)=0的所有解组成的集合可表示为{1,1,2};④10以内的素数组成的集合是{0,2,3,5,7}.A.①④B.②③C.②D.②④3.如果集合S中三个元素a,b,c是△ABC的三边长,那么△ABC一定不是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形4.由实数x,-x,|x|,x2,-3x3组成的集合中最多含有 ( )A.2个元素B.3个元素C.4个元素D.5个元素5.若有一集合含且仅含三个元素:1,x,x2-x,则实数x的取值范围是 . 题组二 集合的分类与集合相等6.下列各组中的两个集合表示同一个集合的是( )A.M={π},N={3.1415926}B.M={0,1},N={(0,1)}12
C.M={x∈R|x2=1},N={0,1}D.M={x∈N*|-1<x≤1},N={1}7.(多选)下列集合是无限集的是( )A.{x|x是能被3整除的数}B.{x∈R|0<x<2}C.{(x,y)|2x+y=5,x∈N,y∈N}D.{x|x是面积为1的菱形}8.已知含有三个实数元素的集合既可表示成a,ba,1,又可表示成{a2,a+b,0},求a2021+b2020的值.题组三 元素与集合的关系9.(2020湖南长沙周南中学高一上月考)下列关系式中,正确的个数为( )①5∈R;②13∈Q;③0={0};④0∉N;⑤π∈Q;⑥-3∈Z.A.6B.5C.4D.310.若集合M中元素x满足x=3k-1,k∈Z,则下列表示正确的是( )A.-1∉MB.-11∈MC.3k2-1∈MD.-34∉M11.已知集合A仅含有三个元素2,4,6,且当a∈A时,6-a∈A,那么a的值为( )A.2B.2或4C.4D.612.已知x,y都是非零实数,若z=x|x|+y|y|+xy|xy|可能的取值组成的集合为A,则下列判断正确的是( )12
A.3∈A,-1∉AB.3∈A,-1∈AC.3∉A,-1∈AD.3∉A,-1∉A题组四 集合的表示方法13.(2020四川宜宾一中高一上月考)集合{x∈N*|x<5}的另一种表示方法是( )A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}14.(多选)(2020山东济宁曲阜一中高一上月考)下面表示方程组2x+y=0,x-y+3=0的解集正确的是( )A.(-1,2)B.(x,y)x=-1y=2C.{-1,2}D.{(-1,2)}15.用描述法表示集合{1,5,9,13,17},正确的是( )A.{x|x是小于18的正奇数}B.{x|x=4k+1,k∈Z,且k<5}C.{x|x=4t-3,t∈N,且t≤5}D.{x|x=4s-3,s∈N*,且s≤5}16.集合M=x∈Zy=12x+3,y∈Z中元素的个数为( )A.4B.5C.10D.1217.用列举法表示下列集合:(1)不大于8的非负偶数组成的集合;(2)方程x2=9的所有实数解组成的集合;(3)直线y=2x+1与y轴的交点坐标组成的集合.12
18.用描述法表示下列集合:(1)正奇数集;(2)被3除余2的正整数集;(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合;(4)方程x-y=-1的所有解组成的集合.19.已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0,a∈R}.(1)若A是空集,求实数a的取值范围;(2)若A中只有一个元素,求实数a的值,并写出集合A.12
题组五 区间及其表示20.在数轴上表示集合M=(-2,10)与集合N=[0,13)的公共部分用区间表示为 . 21.若区间[2,a]的长度不超过5,则实数a的取值范围用区间表示为 . 22.用区间表示下列集合:(1)x-12≤x<5;(2){x|x<1};(3){x|x≥4}.能力提升练一、单项选择题1.(2020四川成都七中高一上第一次阶段性考试,)我们用card(A)来表示有限集合A中元素的个数,已知集合A={x∈R|x2(x-1)=0},则card(A)=( ) A.0B.112
C.2D.32.(2020山西太原师院附中高一上月考,)定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.若A={1,2},B={0,2},则集合A*B中所有元素之和为( )A.0B.2C.3D.63.()由所有大于-3且小于11的偶数所组成的集合是( )A.{x|-3<x<11,x∈Q}B.{x|-3<x<11,x∈R}C.{x|-3<x<11,x=2k,k∈N}D.{x|-3<x<11,x=2k,k∈Z}4.()已知集合P={x|2<x<k,x∈N},若集合P中恰有3个元素,则( )A.5<k<6B.5≤k<6C.5<k≤6D.5≤k≤65.(2020四川泸县五中高一上月考,)已知集合M={x|x=3k,k∈Z},P={x|x=3k+1,k∈Z},Q={x|x=3k-1,k∈Z},若a∈M,b∈P,c∈Q,则a+b-c∈( )A.MB.PC.QD.以上均不正确二、多项选择题6.(2020浙江温州高一月考,)下列选项中是集合A=(x,y)|x=k3,y=k4,k∈Z中元素的是( )A.13,14B.23,34C.(3,4)D.(4,3)7.(2020辽宁丹东第一中学高一上月考,)已知集合M={-2,3x2+3x-4,x2+x-4},若2∈M,则实数x的值可能为( )A.2B.-2C.-3D.18.()下列是集合M={(x,y)|x+y≤1,x∈N,y∈N}中元素的有( )A.(0,0)B.(0,1)C.(1,0)D.(2,-1)12
三、填空题9.()已知集合M={x|2x+a>0},若1∉M,则实数a的取值范围是 .10.()已知集合A={x|x2+px+q=x},B={x|(x-1)2+p(x-1)+q=x+1},当A={2}时,集合B= .(用列举法表示) 四、解答题11.()选择适当的方法表示下列集合.(1)绝对值不大于3的整数组成的集合;(2)方程(3x-5)(x+2)=0的实数解组成的集合;(3)一次函数y=x+6的图像上所有点组成的集合.12.()已知集合B=x∈N|62+x∈N.(1)试判断元素1和2与集合B的关系;(2)用列举法表示集合B.12
13.()用描述法表示如图所示的阴影(含边界)中的点P组成的集合.答案全解全析第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合12
1.1.1 集合及其表示方法基础过关练1.C2.C3.D4.A6.D7.ABD9.D10.C11.B12.B13.B14.BD15.D16.D1.C 最小的自然数为0,能够组成集合,符合题意;方程x2+1=0的实数根组成的集合为空集,符合题意;本书中的所有易错题不满足集合中元素的确定性,不符合题意;所有的直角三角形能组成集合,它是无限集,符合题意.所以能够组成集合的个数为3.故选C.2.C ①中“0”不能表示集合,而“{0}”表示集合,故①错误;根据集合中元素的无序性可知②正确;根据集合中元素的互异性可知③错误;0不是素数,故④错误.故选C.3.D 由集合中元素的互异性知a,b,c均不相等,故△ABC一定不是等腰三角形.故选D.4.A ∵x2=|x|,-3x3=-x,|x|=±x,∴由实数x,-x,|x|,x2,-3x3组成的集合中最多含有2个元素.故选A.5.答案 xx≠0,1,2,1±52解析 由集合中元素的互异性可得x≠1,x2-x≠1,x2-x≠x,解得x≠0,1,2,1±52.6.D A选项,集合M中元素为无理数,集合N中元素为有理数,故M与N不是同一个集合;B选项,集合M中元素为实数,集合N中元素为有序数对,故M与N不是同一个集合;C选项,集合M中元素为-1,1,集合N中元素为0,1,故M与N不是同一个集合;D选项,集合M中的元素为1,故M与N是同一个集合.故选D.7.ABD 能被3整除的数有无数个,所以A项为无限集;在0<x<2范围内有无数个实数,所以B项为无限集;集合{(x,y)|2x+y=5,x∈N,y∈N}可表示为{(0,5),(1,3),(2,1)},C项为有限集;面积为1的菱形有无数个,所以D项为无限集.故选ABD.8.解析 由题意得a,ba,1与{a2,a+b,0}表示同一个集合,所以ba=0且a≠0,a≠1,即b=0,则有{a,0,1}与{a2,a,0}表示同一个集合,所以a2=1,所以a=-1,所以a2021+b2020=-1.9.D 由元素与集合的关系及常见数集的符号,得①②⑥正确,③④⑤错误.故选D.10.C 令3k-1=-1,解得k=0∈Z,∴-1∈M,故A不正确;令3k-1=-11,解得k=-103∉Z,∴-11∉M,故B不正确;∵k∈Z,∴k2∈Z,∴3k2-1∈M,故C正确;令3k-1=-34,解得k=-11∈Z,∴-34∈M,故D不正确.故选C.11.B 若a=2,则6-2=4,4∈A;若a=4,则6-4=2,2∈A;若a=6,则6-6=0,0∉A.因此a=2或a=4.故选B.12.B 当x>0,y>0时,z=1+1+1=3;当x>0,y<0时,z=1-1-1=-1;12
当x<0,y>0时,z=-1+1-1=-1;当x<0,y<0时,z=-1-1+1=-1.所以3∈A,-1∈A.故选B.13.B 集合{x∈N*|x<5}中的元素为小于5的正整数,可用列举法表示为{1,2,3,4}.14.BD 解方程组2x+y=0,x-y+3=0,得x=-1,y=2,所以方程组的解集为(x,y)x=-1y=2或{(-1,2)}.15.D 对于选项A,7是小于18的正奇数,但不是给定集合中的元素,故不正确;对于选项B,由于k∈Z,且k<5,所以此集合比给定集合多了无数个元素,故不正确;对于选项C,当t=0时,x=-3,不是给定集合中的元素,故不正确;对于选项D,s可取的值为1,2,3,4,5,相应的x的值为1,5,9,13,17,故正确.故选D.16.D ∵x∈Z,y∈Z,y=12x+3,∴x+3的值可取±1,±2,±3,±4,±6,±12,相应的x的值可取-2,-4,-1,-5,0,-6,1,-7,3,-9,9,-15,共12个.故选D.17.解析 (1)不大于8的非负偶数组成的集合是{0,2,4,6,8}.(2)方程x2=9的实数解是x=-3或x=3,故方程x2=9的所有实数解组成的集合是{-3,3}.(3)将x=0代入y=2x+1,得y=1,即与y轴的交点坐标是(0,1),故直线y=2x+1与y轴的交点坐标组成的集合是{(0,1)}.18.解析 (1)正奇数集可表示为{x|x=2n-1,n∈N*}.(2)被3除余2的正整数集可表示为{x|x=3n+2,n∈N}.(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即xy=0,故平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合可表示为{(x,y)|xy=0}.(4)因为方程x-y=-1的解是满足方程的有序实数对(x,y),所以所有解组成的集合为{(x,y)|x-y=-1}.19.解析 (1)要使A为空集,方程ax2-3x+2=0应无实数根,所以应满足a≠0,Δ<0,解得a>98.故实数a的取值范围是aa>98.(2)当a=0时,方程为一元一次方程-3x+2=0,它有一个解x=23,满足题意;当a≠0时,方程为一元二次方程,此时使集合A中只有一个元素的条件是Δ=0,由此可得a=98,此时x=43.综上,当a=0时,A=23;当a=98时,A=43.20.答案 [0,10)12
解析 集合M=(-2,10)可表示为{x|-2<x<10},集合N=[0,13)可表示为{x|0≤x<13},因此用数轴表示时,其公共部分对应的集合为{x|0≤x<10},用区间表示为[0,10).21.答案 (2,7]解析 由题意可知a>2,a-2≤5,所以2<a≤7,即实数a的取值范围是(2,7].22.解析 (1)x-12≤x<5可表示为-12,5.(2){x|x<1}可表示为(-∞,1).(3){x|x≥4}可表示为[4,+∞).能力提升练1.C2.D3.D4.C5.C6.AD7.AC8.ABC一、单项选择题1.C ∵集合A={x∈R|x2(x-1)=0}={0,1},∴card(A)=2.2.D 若A={1,2},B={0,2},则集合A*B中的元素可能为0,2,0,4,由集合中元素的互异性,知A*B={0,2,4},所以其所有元素之和为6.故选D.3.D 选项A表示的是所有大于-3且小于11的有理数;选项B表示的是所有大于-3且小于11的实数;选项C表示的集合中不含有-2这个偶数.故选D.4.C 因为集合P中恰有3个元素,所以P={3,4,5},可得5<k≤6.故选C.5.C 由题意设a=3k1,b=3k2+1,c=3k3-1(k1,k2,k3∈Z),则a+b-c=3k1+3k2+1-(3k3-1)=3(k1+k2-k3+1)-1,而k1+k2-k3+1∈Z,∴a+b-c∈Q.二、多项选择题6.AD 对于选项A,当x=13,y=14时,令k3=13,解得k=1,令k4=14,解得k=1,k的值相同,满足题意;对于选项B,当x=23,y=34时,令k3=23,解得k=2,令k4=34,解得k=3,k的值不相同,不满足题意;对于选项C,当x=3,y=4时,令k3=3,解得k=9,令k4=4,解得k=16,k的值不相同,不满足题意;对于选项D,当x=4,y=3时,令k3=4,解得k=12,令k4=3,解得k=12,k的值相同,满足题意.7.AC 因为2∈M,所以3x2+3x-4=2或x2+x-4=2.若3x2+3x-4=2,则x=-2或x=1.当x=-2或x=1时,x2+x-4=-2,不满足集合中元素的互异性,所以舍去.若x2+x-4=2,则x=-3或x=2.当x=-3或x=2时,3x2+3x-4=14,满足集合中元素的互异性.12
综上所述,x=-3或x=2,故选AC.归纳升华集合中元素含有变量时,求得结果后,一般还要检验所求变量的值是否满足集合中元素的互异性.8.ABC ∵集合M={(x,y)|x+y≤1,x∈N,y∈N},∴x=0,y=0或x=0,y=1或x=1,y=0,∴M={(0,0),(0,1),(1,0)}.故选ABC.三、填空题9.答案 (-∞,-2]解析 ∵1∉M,∴2×1+a≤0,∴a≤-2.10.答案 {3-2,3+2}解析 当A={2}时,方程x2+px+q=x有两个相等的实根2,则4+2p+q=2,(p-1)2-4q=0,解得p=-3,q=4,所以B={x|(x-1)2-3(x-1)+4=x+1}.由(x-1)2-3(x-1)+4=x+1得x=3±2,所以B={3-2,3+2}.四、解答题11.解析 (1)绝对值不大于3的整数有-3,-2,-1,0,1,2,3,共7个,用列举法表示为{-3,-2,-1,0,1,2,3}.(2)方程(3x-5)(x+2)=0的实数解为x1=53,x2=-2,用列举法表示为53,-2.(3)一次函数y=x+6的图像上有无数个点,用描述法表示为{(x,y)|y=x+6}.12.解析 (1)当x=1时,62+1=2∈N;当x=2时,62+2=32∉N,故1∈B,2∉B.(2)∵x∈N,62+x∈N,∴x的值只能为0,1,4,故B={0,1,4}.13.解析 题图阴影中的点P(x,y)的横坐标x的取值范围为-1≤x≤3,纵坐标y的取值范围为0≤y≤3,故阴影(含边界)中的点P组成的集合为{(x,y)|-1≤x≤3,0≤y≤3}.12
