28.1锐角三角函数第一课时第二课时第三课时第四课时人教版数学九年级下册,正弦第一课时返回,鞋跟多高合适美国人体工程研究学人员调查发现，当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11°左右时，人脚的感觉最舒适，假设某成年人前脚掌到脚后跟长为15厘米，请问鞋跟在几厘米高度为最佳？11˚导入新知,1.经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实.2.理解锐角正弦的概念，掌握正弦的表示方法.素养目标3.会根据直角三角形的边长求一个锐角的正弦值，并且能利用正弦求直角三角形的边长.,为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？分析：这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水管．ABC探究新知知识点1正弦的定义解：BAC30°35m,【思考】在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？ABC50m35mB'C'AB'＝2B'C'＝2×50＝100(m)探究新知在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于.,在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得:因此在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于.如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比，你能得出什么结论？ABC探究新知,探究新知归纳总结综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值.,【思考】一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？探究新知,ABCA'B'C'任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么与有什么关系？你能解释一下吗？探究新知,因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.因此在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．探究新知,如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA即例如，当∠A＝30°时，我们有当∠A＝45°时，我们有ABCcab对边斜边归纳：探究新知∠A的对边斜边sinA=,注意sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正弦，记号里习惯省去角的符号“∠”；sinA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与斜边的比；sinA不表示“sin”乘以“A”.探究新知,例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．解：（1）在Rt△ABC中，因此（2）在Rt△ABC中，因此探究新知素养考点1利用正弦的定义求有关角的正弦值ABC34（1）ABC135（2）求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比,1.判断对错:A10m6mBC(1)（）(2)（）(3)sinA=0.6m（）(4)sinB=0.8（）√√××sinA是一个比值（注意比的顺序），无单位；2)如图②，（）×巩固练习ABC1)如图①图①图②,2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA的值()A.扩大100倍B.缩小C.不变D.不能确定C巩固练习,例2如图，在平面直角坐标系内有一点P(3，4)，连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值.解：如图，设点A(3，0)，连接PA.A(3，0)在Rt△APO中，由勾股定理得因此α探究新知素养考点2在平面直角坐标系内求锐角的正弦值,探究新知方法点拨结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.,3.在平面直角坐标系中,已知点A(3,0)和B(0,-4),则sin∠OAB等于____345巩固练习,例3如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=3，求sinB及Rt△ABC的面积.ABC提示：已知sinA及∠A的对边BC的长度，可以求出斜边AB的长.然后再利用勾股定理，求出AC的长度，进而求出sinB及Rt△ABC的面积.素养考点3探究新知利用正弦求直角三角形的边长,∴AB=3BC=3×3=9.∴∴∴探究新知ABC解：∵在Rt△ABC中，∴,在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=k，sinB=h，AB=c，则BC=ck，AC=ch.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=k，sinB=h，BC=a，则归纳：探究新知ABC，.,8巩固练习4.如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，，BC的长是．AＣB,例4在△ABC中，∠C=90°，AC=24cm，，求这个三角形的周长．解：设BC=7x，则AB=25x，在Rt△ABC中，由勾股定理得即24x=24cm，解得x=1cm.故BC=7x=7cm，AB=25x=25cm.所以△ABC的周长为AB+BC+AC=7+24+25=56(cm).探究新知素养考点4利用方程和正弦求直角三角形中线段,5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,,AC=12.求sinB的值.513解:在Rt△ABC中,设AB=13x，BC=5x,由勾股定理得：(5x)2+122=(13x)2ABC12巩固练习解得x=1.所以AB=13，BC=5因此,1.（2018•柳州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则sinB=（）A．B．C．D．巩固练习连接中考AABC,2.（2018•德州）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是_______．连接中考巩固练习,1.如图，已知点P的坐标是(a，b)，则sinα等于()OxyP(a，b)αA.B.C.D.D课堂检测基础巩固题,2.在直角三角形ABC中，若三边长都扩大2倍，则锐角A的正弦值（）A.扩大2倍B.不变C.缩小D.无法确定B课堂检测基础巩固题,DA.4B.6C.8D.102课堂检测3.在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=6，则AB的长为（）4.在△ABC中，∠C=90°，如果，AB=6，那么BC=_____.基础巩固题,5.如图，在正方形网格中有△ABC，则sin∠ABC的值为.课堂检测解析：∵，，，∴∴AB2＝BC2＋AC2，∴∠ACB＝90°，基础巩固题,如图，在△ABC中，AB=BC=5，，求△ABC的面积.D55CBA解：作BD⊥AC于点D，∴又∵△ABC为等腰三角形，BD⊥AC，∴AC=2AD=6，∴S△ABC=AC×BD÷2=12.课堂检测能力提升题∵，,求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为求和它相等角的正弦值。如图,∠C=90°，CD⊥AB.sinB可以由哪两条线段之比得到?若AC=5,CD=3,求sinB的值.┌ACBD解:∵∠B=∠ACD∴sinB=sin∠ACD在Rt△ACD中，课堂检测拓广探索题∴∴,正弦函数正弦函数的概念正弦函数的应用已知边长求正弦值已知正弦值求边长∠A的对边斜边sinA=课堂小结,余弦和正切第二课时返回,如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.ACB对边a邻边b斜边c当∠A确定时，∠A的对边与斜边的比就确定，此时，其他边之间的比是否也确定呢？导入新知,2.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.1.通过类比正弦函数，理解余弦函数、正切函数的定义，进而得到锐角三角函数的概念.素养目标3.通过锐角三角函数的学习，培养学生类比学习的能力.,如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D，∠C=∠F=90°，则成立吗？为什么？ABCDEF探究新知知识点1余弦的定义,我们来试着证明前面的问题：∵∠A=∠D，∠C=∠F=90°，∴∠B=∠E，从而sinB=sinE，因此ABCDEF探究新知,在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即归纳：ABC斜边c邻边b探究新知∠A的邻边斜边cosA=,探究新知归纳总结从上述探究和证明过程，可以得到互余两角的三角函数之间的关系：对于任意锐角α，有cosα=sin(90°－α),或sinα=cos(90°－α).,1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形).2.sinA、cosA是一个比值（数值）.3.sinA、cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，正弦余弦探究新知注意：ABC斜边c∠A的邻边b∠A的对边a,1．Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=2，BC=1，那么cosB的值为（）A.B.C.D.A巩固练习2.Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=4，BC=3，那么cosB的值为_______,如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D，∠C=∠F=90°，则成立吗？为什么？ABCDEF探究新知知识点2正切的定义,证明：∵∠C=∠F=90°，∠A=∠D，∴Rt△ABC∽Rt△DEF探究新知ABCDEF∴即,当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边比值也是唯一确定的吗？探究新知ABC斜边c∠A的邻边b∠A的对边a,如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA.探究新知在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与邻边的比是一个固定值.ABC斜边c∠A的邻边b∠A的对边a,1.如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？【想一想】探究新知2.锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？,3．在Rt∆ABC中，∠C＝90°，如果那么tanB的值为（）A.B.C.D.D巩固练习4.在Rt∆ABC中，∠C＝90°，如果那么tanA的值为_______.,锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A的锐角三角函数.sinA=cosA=tanA=脑中有“图”，心中有“式”探究新知知识点3锐角三角函数的定义ABC斜边c∠A的邻边b∠A的对边a∠A的邻边斜边∠A的对边斜边∠A的对边∠A的邻边,例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值.ABC106解：由勾股定理得因此探究新知素养考点1已知直角三角形两边求锐角三角函数的值,探究新知方法点拨已知直角三角形中的两条边求锐角三角函数值的一般思路是：当所涉及的边是已知时，直接利用定义求锐角三角函数值；当所涉及的边未知时，可考虑运用勾股定理的知识求得边的长度，然后根据定义求锐角三角函数值．,5．Rt△ABC中，∠C为直角，AC=5，BC=12，那么下列∠A的四个三角函数中正确的是()6．如图：P是∠α的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则cosα______，tanα=________.B巩固练习A.B．C．D．αA,ABC6又在直角三角形中，如果已知一边长及一个锐角的某个三角函数值，即可求出其它的所有锐角三角函数值.探究新知素养考点2已知一边及一锐角三角函数值求函数值例2如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，，求cosA、tanB的值．∴解：∵在Rt△ABC中，∴,ABC8解：∵在Rt△ABC中，∴∴∴巩固练习7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，，求sinA，cosB的值．,1.（2018•广州）如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=______．巩固练习连接中考ABC,2.（2018•贵阳）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）A．B．1C．D．B巩固练习连接中考,1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，AB=13.sinA=______，cosA=______，tanA=____，sinB=______，cosB=______，tanB=____.基础巩固题课堂检测,2.如图，△ABC中一边BC与以AC为直径的⊙O相切与点C，若BC=4，AB=5，则tanA=___.ABC课堂检测基础巩固题,3.已知∠A，∠B为锐角，(1)若∠A=∠B，则cosAcosB；(2)若tanA=tanB，则∠A∠B.(3)若tanA·tanB=1，则∠A与∠B的关系为：.==∠A+∠B=90°课堂检测基础巩固题,如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D.若AD=6，CD=8.求tanB的值.解:∵∠ACB＝∠ADC=90°，∴∠B+∠A=90°，∠ACD+∠A=90°，∴∠B=∠ACD，能力提升题∴课堂检测,如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=6.求cosB及tanB的值.解：过点A作AD⊥BC于D.∵AB=AC，∴BD=CD=3，在Rt△ABD中,ABCD提示：求锐角的三角函数值问题，当图形中没有直角三角形时，可用恰当的方法构造直角三角形.拓广探索题∴∴课堂检测,余弦函数和正切函数余弦正切性质课堂小结∠A的邻边斜边cosA=∠A的对边tanA=∠A的邻边∠A的大小确定的情况下，cosA，tanA为定值，与三角形的大小无关,30°、45°、60°角的三角函数值第三课时返回,导入新知还记得我们推导正弦关系的时候所得到的结论吗？即，，你还能推导出sin60°的值及30°、45°、60°角的其它三角函数值吗？,1.理解特殊角的三角函数值的由来.3.熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用，根据一个特殊角的三角函数值说出这个角.素养目标2.运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°、45°、60°角的三角函数值.,两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值？设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a，另一条直角边长＝30°60°45°45°30°探究新知知识点1特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值∴,设两条直角边长为a，则斜边长＝60°45°探究新知∴∴,30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：锐角a30°45°60°sinacosatana探究新知三角函数仔细观察,说说你发现这张表有哪些规律?,例1求下列各式的值：（1）cos260°＋sin260°（2）解：（1）cos260°＋sin260°=1（2）=0探究新知素养考点1特殊角的三角函数值的运算提示：sin260°表示（sin60°）2这道例题的两个式子中包含几种运算？运算顺序是怎样的？,探究新知方法点拨含特殊角三角函数值的计算注意事项：（1）熟记特殊角的锐角三角函数值是关键；（2）注意运算顺序和法则；（3）注意特殊角三角函数值的准确代入．,1.计算：(1)sin30°+cos45°；解：（1）原式(2)sin230°+cos230°－tan45°.巩固练习（2）原式＝1-1＝0,解：在Rt△ABC中ABC∴∠A=45°.∵探究新知素养考点2利用三角函数值求特殊角例2(1)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，，求∠A的度数；,解：在Rt△ABO中ABO∴α=60°.探究新知(2)如图，AO是圆锥的高，OB是底面半径，，求α的度数.∵,2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，求∠A、∠B的度数．ABC解：由勾股定理∴∠A=30°∠B=90°－∠A=90°－30°=60°巩固练习∴,例3已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tanA)2＋|sinB－|＝0，试判断△ABC的形状．∴tanA＝1，，∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC是锐角三角形．探究新知素养考点3特殊角的三角函数值的应用解：∵(1－tanA)2＋|sinB－|＝0，∴∠A＝45°，∠B＝60°，,3.已知：求∠A，∠B的度数。解：巩固练习即∴∴∵,连接中考巩固练习A1.（2018•大庆）2cos60°=（）A．1B．C．D．2.（2019•大庆）计算：（2019-π）0＋－sin60°解：原式＝1＋－1－＝,1．下列各式中不正确的是（）A．B．sin30°+cos30°=1C．sin35°=cos55°D．tan45°>sin45°2．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（）A．2B．C．-1D．1BD课堂检测基础巩固题sin260°+cos260°=1,3.求满足下列条件的锐角α.(1)2sinα－=0；(2)tanα－1=0.∴∠α=60°.(2)tanα=1，课堂检测解：(1)，∴∠α=45°.基础巩固题,4．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且，，则△ABC的形状是（）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定B课堂检测5.在△ABC中，若，则∠C=.120°基础巩固题,6.求下列各式的值：(1)1－2sin30°cos30°；(2)3tan30°－tan45°+2sin60°；(3)；(4)答案：(1)(2)(3)2(4)课堂检测基础巩固题,已知α为锐角，且tanα是方程x2+2x－3=0的一个根，求2sin2α+cos2α－tan(α+15°)的值．解：解方程x2+2x－3=0，得x1=1，x2=－3.∵tanα＞0，∴tanα=1，∴α=45°.∴2sin2α+cos2α－tan(α+15°)=2sin245°+cos245°－tan60°能力提升题课堂检测,如图，在△ABC中，AD⊥BC，M为AB的中点，∠B=30°，.求tan∠BCM.EMDCBA解：过点M作ME⊥BC于点E课堂检测拓广探索题∴CD=AD,又∵M是AB的中点∴BE=DE，AD=2ME.又∵∠B=30°，∵AD⊥BC，∴∴∴,30°、45°、60°角的三角函数值通过三角函数值求角度特殊角的三角函数值课堂小结,用计算器求锐角三角函数值第四课时返回,锐角a三角函数30°45°60°sinacosatana1填写下表：导入新知,前面我们学习了特殊角30°，45°，60°的三角函数值,一些非特殊角(如17°，56°，89°等)的三角函数值又怎么求呢?这一节课我们就学习借助计算器来完成这个任务.导入新知,1.会使用科学计算器求锐角的三角函数值.2.会根据锐角的三角函数值，借助科学计算器求锐角的大小.素养目标3.熟练运用计算器解决锐角三角函数中的问题.,例如(1)用计算器求sin18°的值；解：第一步：按计算器键；sin第二步：输入角度值18；屏幕显示结果sin18°=0.309016994.不同计算器操作的步骤可能不同！知识点1利用计算器求三角函数值、角的度数探究新知,(2)用计算器求tan30°36′的值；解：方法①：第二步：输入角度值30.6(因为30°36′=30.6°)；屏幕显示答案：0.591398351.第一步：按计算器键；tan探究新知,屏幕显示答案：0.591398351.方法②：第一步：按计算器键；tan探究新知第二步：输入角度值30，分值36(使用键)；°′″,(3)已知sinA=0.5018，用计算器求锐角∠A的度数.第二步：输入函数值0.5018；屏幕显示答案：30.11915867°(按实际需要进行精确).解：第一步：依次按计算器键；2ndFsin还可以利用键，进一步得到∠A=30°07′08.97″(这说明锐角A精确到1′的结果为30°7′，精确到1″的结果为0°7′9″).2ndF°′″探究新知,1.用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)：(1)sin47°；(2)sin12°30′；(3)cos25°18′；(4)sin18°＋cos55°－tan59°.答案：(1)0.7314(2)0.2164(3)0.9041(4)－0.7817巩固练习,2.已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A，∠B的度数(结果精确到0.1°)：(1)sinA＝0.7，sinB＝0.01；(2)cosA＝0.15，cosB＝0.8；(3)tanA＝2.4，tanB＝0.5.答案：(1)∠A≈44.4°；∠B≈0.6°.(2)∠A≈81.4°；∠B≈36.9°.(3)∠A≈67.4°；∠B≈26.6°.巩固练习,（1）通过计算(可用计算器)，比较下列各组数的大小，并提出你的猜想：①sin30°____2sin15°cos15°；②sin38°____2sin19°cos19°；③sin45°____2sin22.5°cos22.5°；④sin60°____2sin30°cos30°；⑤sin84°____2sin42°cos42°.猜想：已知0°＜α＜45°，则sin2α___2sinαcosα.=探究新知知识点2利用计算器探索三角函数的性质=====,(2)如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α，请利用面积方法验证(1)中的结论．证明：∵S△ABC=AB·sin2α·AC=sin2α，S△ABC=×2ABsinα·ACcosα=sinα·cosα，∴sin2α＝2sinαcosα.探究新知2α,（1）sin35°=，cos35°=，sin235°=，cos235°=；猜想：已知0°＜α＜90°，则sin2α+cos2α=.0.34200.57350.93970.11700.88300.81920.32900.67103.利用计算器求值，并提出你的猜想：1巩固练习（2）sin20°=，cos20°=，sin220°=，cos220°=；,4.已知：sin254°+cos2α=1，则锐角α=.54°5.用计算器比较大小：20sin87°tan87°.＞巩固练习sin20°cos20°，sin220°cos220°；sin35°cos35°.＜＜＜,（2018•淄博）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（ ）A．B．C．D．巩固练习连接中考A,1.下列式子中，不成立的是()A．sin35°=cos55°B．sin25°+sin40°=sin65°C．cos47°=sin43°D．sin218°+cos218°=1B课堂检测基础巩固题,2.用计算器求sin24°37′18″的值，以下按键顺序正确的是（）A．B．C．D．Asin24°′″37°′″81°′″=sin24°′″37°′″81°′″=2ndFsin24°′″81°′″=sin24°′″37°′″81°′″=2ndF课堂检测基础巩固题,(1)sin40°≈(精确到0.0001)；(2)tan63°27′≈(精确到0.0001)；(3)cos18°59′27″≈(精确到0.0001)；(4)若sinα=0.5225，则α≈(精确到0.1°)；(5)若cosα=0.3145，则α≈(精确到0.1°).0.64282.001331.5°3.利用计算器求值：71.7°课堂检测0.9452基础巩固题,如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，请验证sin2α+cos2α=1的结论.证明：在Rt△ABC中，a2+b2=c2，bABCacα∴课堂检测能力提升题,在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=42°24′，∠A的平分线AT=14.7cm，用计算器求AC的长(精确到0.001).解：∵AT平分∠BAC，且∠BAC=42°24′，在Rt△ACT中,，∴AC=AT·cos∠CAT=14.7×cos21°12′≈13.705(cm).课堂检测拓广探索题ABCT∴.,用计算器求锐角三角函数值及锐角课堂小结用计算器求锐角的三角函数值或角的度数注意：不同的计算器操作步骤可能有所不同利用计算器探索锐角三角函数的性质,课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习
