分层随机抽样 获取数据的途径[A级 基础巩固]1．某学校有高级教师50人，中级教师125人，初级教师75人，为了解教师学习十九大报告的情况，使用分层随机抽样的方法，从中抽取50人进行调查，则中级教师被抽取的人数为( )A．10 B．15C．20D．25解析：选D 抽样比为＝，则中级教师被抽取的人数为×125＝25.2．苏州市实施的《苏州市生活垃圾分类管理条例》将城市生活垃圾分为“可回收物”“有害垃圾”“厨余垃圾”和“其他垃圾”四大类．某社区为了分析不同年龄段的人群对垃圾分类知识的了解情况，对辖区内的居民进行分层随机抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、900人、700人，若在老年人中的抽样人数是35，则在青年人中的抽样人数是( )A．20B．40C．60D．80解析：选B 由题可知抽样比为k＝＝，故在青年人中的抽样人数为800×＝40.3．某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用分层随机抽样的方法从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为980h，1020h，1032h，则抽取的100件产品的平均使用寿命为( )A．1013hB．1014hC．1016hD．1022h解析：选A 法一：由分层随机抽样的知识可知，从第一、二、三分厂抽取的电子产品数量分别为25件，50件，25件，则抽取的100件产品的平均使用寿命为×(980×25＋1020×50＋1032×25)＝1013(h)．法二：因为第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，所以可以根据各层抽取数量所占的比例计算抽取的100件产品的平均使用寿命为×980＋×1020＋×1032＝1013(h)．6
4．某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为6∶5，为了解学生的视力情况，现要求按分层随机抽样的方法抽取一个样本量为的样本，若样本中男生比女生多12人，则n＝( )A．990B．1320C．1430D．1560解析：选B 设该校高一学生中，男生数为6k，女生数为5k，则解得5．(多选)某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人．甲就读于高一，乙就读于高二．学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法中正确的有( )A．应该采用分层随机抽样法B．高一、高二年级应分别抽取100人和135人C．乙被抽到的可能性比甲大D．该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力解析：选ABD 由于各年级的年龄段不一样，因此应采用分层随机抽样法．由于比例为＝，因此高一年级1000人中应抽取100人，高二年级1350人中应抽取135人，甲、乙被抽到的可能性都是，因此只有C不正确，故选A、B、D.6．一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，则从中抽取的男运动员的人数为________．解析：设抽取的男运动员的人数为x，则抽取的女运动员的人数为28－x，∴＝，解得x＝16.答案：167．下列试验适合用抽样调查方法获取数据的序号是________．①考察一片草皮的平均高度；②检查某食品单位职工的身体状况；③考察参加某次考试的3万考生的数学答题情况；④检验一个人的血液中白细胞的含量是否正常．解析：①该问题用普查的方法很难实现，适合用抽样调查的方法获取数据；②体检，6
必须了解每个职工的身体状况，不适合用抽样调查的方法获取数据；③3万考生的答题情况用普查的方法获取数据不合适，适合用抽样调查的方法获取数据；④该问题只能用抽样调查的方法获取数据．答案：①③④8．某班45名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100米跑合格的人数分别为30和35，两项都不合格的人数为5.现从这45名同学中按测试是否合格分层(分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅100米跑合格、两项都不合格四种)抽出9人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的人数为________．解析：设这两项成绩均合格的人数为x，则立定跳远合格但100米跑不合格的人数为30－x,则30－x＋35＋5＝45，得x＝25，即这两项成绩均合格的有25人，则抽出来复测的同学中两项都合格的有9×＝5(人)．答案：59．某班有40名男生，20名女生，已知男女身高有明显不同，现欲调查平均身高，准备抽取，采用比例分配分层随机抽样方法，抽取男生1名，女生1名，你认为这种做法是否妥当？如果让你来调查，你准备怎样做？解：这种做法不妥当．原因：取样比例数过小，很难准确反映总体情况，况且男、女身高差异较大，抽取人数相同，也不合理．考虑到本题的情况，可以采用分层随机抽样，可取抽样比为.男生抽取40×＝8(名)，女生抽取20×＝4(名)，各自用抽签法或随机数法抽取组成样本．10．某高级中学共有学生3000名，各年级男、女生人数如下表：高一年级高二年级高三年级女生487xy男生513560z已知从全校学生中随机抽取1名学生，抽到高二年级女生的几率是0.18.(1)问高二年级有多少名女生？(2)现对各年级用分层随机抽样的方法从全校抽取300名学生，6
问应从高三年级抽取多少名学生？解：(1)由＝0.18得x＝540，所以高二年级有540名女生．(2)高三年级人数为y＋z＝3000－(487＋513＋540＋560)＝900.所以×900＝90，故应从高三年级抽取90名学生．[B级 综合运用]11．(多选)某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆．为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取46辆进行检验，则下列说法正确的是( )A．应采用分层随机抽样抽取B．应采用抽签法抽取C．三种型号的轿车依次抽取6辆，30辆，10辆D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的解析：选ACD 由于总体按型号分为三个子总体，所以应采用分层随机抽样抽取，A正确；因为总体量较大，故不宜采用抽签法，所以B错误；设三种型号的轿车依次抽取x辆，y辆，z辆，则有解得所以三种型号的轿车依次抽取6辆，30辆，10辆，故C正确；由分层随机抽样的意义可知D也正确．12．分层随机抽样是将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法．在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法错误的是( )A．甲应付51钱B．乙应付32钱C．丙应会16钱D．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少6
解析：选B 由分层随机抽样可知，抽样比为＝，则甲应付×560＝51(钱)；乙应付×350＝32(钱)；丙应付×180＝16(钱)．13．高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过分层随机抽样的方法抽取了160个样本，得到两年级的竞赛成绩的平均数分别为80分和90分，则：(1)高一、高二抽取的样本量分别为________；(2)高一和高二数学竞赛的平均分约为________．解析：(1)由题意可得高一年级抽取的样本量为×450＝90，高二年级抽取的样本量为×350＝70.(2)高一和高二数学竞赛的平均分约为w＝×80＋×90＝84.375(分)．答案：(1)90，70 (2)84.375分14．为了对某课题进行研究，分别从A，B，C三所高校中用分层随机抽样法抽取若干名教授组成研究小组，其中高校A有m名教授，高校B有72名教授，高校C有n名教授(其中0<m≤72≤n)．(1)若A，B两所高校中共抽取3名教授，B，C两所高校中共抽取5名教授，求m，n；(2)若高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授总数的，求三所高校的教授的总人数．解：(1)∵0<m≤72≤n，A，B两所高校中共抽取3名教授，B，C两所高校中共抽取5名教授，∴高校B中抽取2名教授，高校A中抽取1名教授，高校C中抽取3名教授，∴＝＝，解得m＝36，n＝108.(2)∵高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授总数的，∴(m＋n)＝72，解得m＋n＝108，∴三所高校的教授的总人数为m＋n＋72＝180.[C级 拓展探究]6
15．为了考察某校的教学水平，抽取这个学校高三年级的部分学生的本学年考试成绩．为了全面地反映实际情况，采用以下两种方式进行抽样调查(已知该校高三年级共有20个班，且每班学生已按随机方式编好了学号，假定每班的人数相等)：①从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20人，考察他们的成绩；②把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从其中共抽取100名学生进行考察(已知若按成绩分，该校高三优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人)．根据以上的叙述，试回答下面的问题：(1)上面两种方式中各采用何种抽取样本的方法？(2)试分别写出用上面两种抽取方式抽取样本的步骤．解：(1)上面的两种抽取方式中，第一种方式采用的是简单随机抽样；第二种方式采用的是分层随机抽样和简单随机抽样．(2)用第一种方式抽样的步骤如下：第一步，在这20个班中用抽签法任意抽取一个班；第二步，从这个班中按学号用随机数法或抽签法抽取20名学生，考察其考试成绩．用第二种方式抽样的步骤如下：第一步，分层．因为若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人，所以在抽取样本时，应该把全体学生分成三个层次；第二步，确定各个层次抽取的人数．因为样本量与总体中的个体数之比为100∶1000＝1∶10，所以在各个层次抽取的个体数依次为＝15，＝60，＝25；第三步，按层次分别抽取．在优秀生中用简单随机抽样的方法抽取15人，在良好生中用简单随机抽样的方法抽取60人，在普通生中用简单随机抽样的方法抽取25人．6
