2022届高考考前必看的20道数学压轴题1．已知点，一动圆过点且与圆内切．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）设点，点为曲线上任一点，求点到点距离的最大值；（3）在的条件下，设△的面积为（是坐标原点，是曲线上横坐标为的点），以为边长的正方形的面积为．若正数满足，问是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由．2．在直角坐标平面上有一点列，，…，，…，对每个正整数，点位于一次函数的图像上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列．（1）求点的坐标；（2）设二次函数的图像以为顶点，且过点，若过且斜率为的直线与只有一个公共点，求的值．（3）设，为正整数，，为正整数，等差数列中的任一项，且是中的最大数，，求的通项公式．11/11\n3．已知点A（－1，0)，B（1,0)，C（－,0)，D（,0)，动点P（x,y)满足·＝0，动点Q（x,y)满足||+||＝⑴求动点P的轨迹方程C0和动点Q的轨迹方程C1；⑵是否存在与曲线C0外切且与曲线C1内接的平行四边形，若存在，请求出一个这样的平行四边形，若不存在，请说明理由；⑶固定曲线C0，在⑵的基础上提出一个一般性问题，使⑵成为⑶的特例，探究能得出相应结论（或加强结论）需满足的条件，并说明理由。4．已知函数f(x)＝mx2＋(m－3）x＋1的图像与x轴的交点至少有一个在原点右侧，⑴求实数m的取值范围；⑵令t＝－m＋2，求[]；(其中[t]表示不超过t的最大整数，例如：[1]＝1，[2．5]＝2，[－2．5]＝－3)⑶对⑵中的t，求函数g(t)＝的值域。5．已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点11/11\n为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称．（1）求双曲线C的方程；（2）若Q是双曲线C上的任一点，F1、F2为双曲线C的左、右两个焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．（3）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线L经过M（－2，0）及AB的中点，求直线L在y轴上的截距b的取值范围．6．已知是定义在上的恒不为零的函数，且对于任意的、都满足：（1）求的值，并证明对任意的，都有；（2）设当时，都有，证明在上是减函数；（3）在（2）的条件下，求集合中的最大元素和最小元素。7．直线与x轴、y轴所围成区域内部（不包括边界）的整点个数为，所11/11\n围成区域内部（包括边界）的整点个数为．（整点就是横坐标，纵坐标都为整数的点）（1）求和的值；（2）求及的表达式；（3）对个整点中的每一个点用红、黄、蓝、白四色之一着色，其方法总数为An，对个整点中的每一个点用红、黄两色之一着色，其方法总数为Bn，试比较An与Bn的大小．8．已知动点到定点（1，0）的距离比到定直线的距离小1。（1）求证：点轨迹为抛物线，并求出其轨迹方程；（2）大家知道，过圆上任意一点，任意作相互垂直的弦，则弦必过圆心（定点），受此启发，研究下面的问题：①过（1）中的抛物线的顶点任作相互垂直的弦，则弦是否经过一个定点？若经过定点（设为），请求出点的坐标，否则说明理由；②研究：对于抛物线上顶点以外的定点是否也有这样的性质？请提出一个一般的结论，并证明。11/11\n9．若函数的定义域为，其中a、b为任意正实数，且a<b。（1）当A=时，研究的单调性（不必证明）；（2）写出的单调区间（不必证明），并求函数的最小值、最大值；（3）若其中k是正整数，对一切正整数k不等式都有解，求m的取值范围。10．我们把数列叫做数列的k方数列（其中an>0，k，n是正整数），S（k，n）表示k方数列的前n项的和。（1）比较S（1，2）·S（3，2）与[S（2，2）]2的大小；（2）若的1方数列、2方数列都是等差数列，a1=a，求的k方数列通项公式。（3）对于常数数列an=1，具有关于S（k，n）的恒等式如：S（1，n）=S（2，n），S（2，n）=S（3，n）等等，请你对数列的k方数列进行研究，写出一个不是常数数列的k方数列关于S（k，n）的恒等式，并给出证明过程。11/11\n11．记函数，,它们定义域的交集为,若对任意的,，则称是集合的元素．（1）判断函数是否是的元素；（2）设函数，求的反函数，并判断是否是的元素；（3）若，写出的条件，并写出两个不同于（1）、（2）中的函数．（将根据写出的函数类型酌情给分）12．已知抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为．（1）求抛物线的方程．（2）设直线与抛物线交于两点，且，是弦的中点，过作平行于轴的直线交抛物线于点，得到；再分别过弦、的中点作平行于轴的直线依次交抛物线于点，得到和；按此方法继续下去．解决下列问题：1)．求证：；2)．计算的面积；3)．根据的面积的计算结果，写出的面积；请设计一种求抛物线与线段11/11\n所围成封闭图形面积的方法，并求出此封闭图形的面积．·F1xOyF2·13．设椭圆（）的两个焦点是和（），且椭圆与圆有公共点．（1）求的取值范围；（2）若椭圆上的点到焦点的最短距离为，求椭圆的方程；（3）对（2）中的椭圆，直线（）与交于不同的两点、，若线段的垂直平分线恒过点，求实数的取值范围．14．我们用和分别表示实数中的最小者和最大者．（1）设，，，函数的值域为，函数的值域为，求；（2）数学课上老师提出了下面的问题：设，，…，为实数，，求函数（）的最小值或最大值．为了方便探究，遵循从特殊到一般的原则，老师让学生先解决两个特例：求函数和的最值．学生甲得出的结论是：，且无最大值．学生乙得出的结论是：，且无最小值．11/11\n请选择两个学生得出的结论中的一个，说明其成立的理由；（3）试对老师提出的问题进行研究，写出你所得到的结论并加以证明（如果结论是分类的，请选择一种情况加以证明）．15．设向量，(n为正整数)，函数在[0，1]上的最小值与最大值的和为，又数列满足：．(1)求证：．(2)(2)．求的表达式．(3)若，试问数列中，是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立？证明你的结论．（注：与表示意义相同）16、设斜率为的直线交椭圆：于两点，点为弦的中点，直线的斜率为（其中为坐标原点，假设、都存在）．（1）求×的值．（2）把上述椭圆一般化为（＞＞０），其它条件不变，试猜想与关系(不需要证明)．请你给出在双曲线（＞０，＞０）中相类似的结论，并证明你的结论．11/11\n（3）分析（2）中的探究结果，并作出进一步概括，使上述结果都是你所概括命题的特例．如果概括后的命题中的直线过原点，为概括后命题中曲线上一动点，借助直线及动点，请你提出一个有意义的数学问题，并予以解决．17．已知向量,向量与向量夹角为，且．（1）求向量；（2）若向量与向量的夹角为，其中，为的内角，且，，依次成等差数列，试求求||的取值范围．ABMFOyx18．如图，过椭圆的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”．(1)求椭圆的“左特征点”M的坐标；(2)试根据(1)提出一个问题并给出解答。11/11\n19．如图，已知圆C：，设M为圆C与x轴左半轴的交点，过M作圆C的弦MN，并使它的中点P恰好落在y轴上。（1）当r=2时，求满足条件的P点的坐标；（2）当时，求N的轨迹G方程；（3）过点P（0，2）的直线l与（2）中轨迹G相交于两个不同的点M,N，若，求直线的斜率的取值范围。20．函数f(x)是定义在［0，1］上的增函数，满足且，在每个区间（1，2……）上，y=f(x)的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分。（1）求f(0)及，的值，并归纳出的表达式（不必证明）；（2）设直线，，轴及的图象围成的梯形的面积为（1，2……），记，求的表达式，并写出其定义域和最小值。11/11\n11/11
