2022版高考数学3-2-1精品系列专题16矩阵与变换、行列式（教师版）【考点定位】2022考纲解读和近几年考点分布变换：恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换．（3）变换的复合——二阶方阵的乘法①了解矩阵与矩阵的乘法的意义．②理解矩阵乘法不满足交换律．③会验证二阶方阵乘法满足结合律．④理解矩阵乘法不满足消去律．（4）逆矩阵与二阶行列式①理解逆矩阵的意义，懂得逆矩阵可能不存在．②理解逆矩阵的唯一性和等简单性质，了解其在变换中的意义．③了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵．（5）二阶矩阵与二元一次方程组①能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义．②会用系数矩阵的逆矩阵解线性方程组．③理解线性方程组解的存在性、唯一性．（6）变换的不变量①掌握矩阵特征值与特征向量的定义，理解特征向量的意义．②会求二阶矩阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）．（7）矩阵的应用利用矩阵A的特征值、特征向量给出Anα简单的表示，并能用它来解决问题．例1：已知曲线C：xy＝1.(1)将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C′的方程；(2)求曲线C的焦点坐标和渐近线方程．11\n(2)曲线C′的焦点坐标为F1(0，－2)，F2(0,2)，渐近线方程为y＝±x.再顺时针旋转45°后，即可得到曲线C的焦点坐标(－，－)和(，)；渐近线方程为：x＝0，y＝0.【名师点睛】把握常见矩阵变换类型，比用一般矩阵运算处理要方便得多，同时，从前后曲线性质分析上，可以加深对曲线性质的理解．考点二、二阶逆矩阵例2 求矩阵A＝的逆矩阵．解 设矩阵A的逆矩阵为，则＝，即＝，故解得x＝－1，z＝2，y＝2，ω＝－3，从而A的逆矩阵A－1＝.3)．(1)求实数a的值；(2)求矩阵A的特征值及特征向量．解 (1)由题意得＝，所以a＋1＝－3，所以a＝－4.11\n【名师点睛】(1)注意特征值与特征向量的求法及特征向量的几何意义：从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵M的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)，特别地，当λ＝0时，特征向量就被变换成了零向量．(2)计算矩阵M＝的特征向量的步骤如下：①由矩阵M得到特征多项式f(λ)＝；②求特征多项式的根，即求λ2－(a＋d)λ＋(ad－bc)＝0的根；③将特征多项式的根(特征值)代入特征方程，求解得非零解对应的向量，即是矩阵M对应的特征向量．【三年高考】10、11、12高考试题及其解析12高考试题及其解析．（2022年高考（上海理））函数的值域是_________.【解析】Î.．（2022年高考（上海春））若矩阵满足:且,则这样的互不相等的矩阵共有______个.11\n【解析】2．（2022年高考（江苏））[选修4-2:矩阵与变换]已知矩阵的逆矩阵,求矩阵的特征值.【解析】∵,∴.∵,∴.∴矩阵的特征多项式为.令,解得矩阵的特征值.【考点】矩阵的运算,矩阵的特征值.．（2022年高考（福建理））选修4-2:矩阵与变换设曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线为.(Ⅰ)求实数的值.(Ⅱ)求的逆矩阵.11年高考试题及解析1、2022年数学理（上海）行列式（）的所有可能值中，最大的是【解析】11\n2、2022年数学（江苏卷）已知矩阵，向量，求向量，使得．3、2022年数学理（福建）（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换设矩阵（其中a＞0，b＞0）．（I）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M-1；（II）若曲线C：x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C’：，求a，b的值．本小题主要考查矩阵与交换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分。【解析】：（I）设矩阵M的逆矩阵，则又，所以，所以故所求的逆矩阵（II）设曲线C上任意一点，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点，则又点在曲线上，所以,,则11\n为曲线C的方程，又已知曲线C的方程为又2022年高考试题及解析的数为。当时，45。3.（2022上海文）行列式的值是。【答案】0.5解析：考查行列式运算法则=4、江苏，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k为非零实数，矩阵M=,N=，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。【解析】：本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。满分10分。11\n5、理福建（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知矩阵M=，，且，（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求直线在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程。【解析】（Ⅰ）由题设得，解得；（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线上的两（0，0），（1，3），由，得：点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的线性变换下的像是（0，0），（-2，2），从而直线在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为。5.【两年模拟】2022名校模拟题及其答案1、【江苏省南通市2022届高三第一次调研测试】选修4－2（矩阵与变换）将曲线绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，求所得曲线的方程．解：由题意，得旋转变换矩阵，…3分设上11\n将曲线绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，所得曲线的方程为．……10分2、【上海市南汇中学2022届高三第一次考试(月考)】若，则x=。【答案】2022名校模拟题及其答案1、（2022·九江七校二月联考）已知=A．2022B．—2022C．2022D．—2022【答案】B2、（2022·上海长宁区高三期末）不等式的解集为___________【答案】3、（2022苏北四市二调）选修4—2：矩阵与变换已知矩阵的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量.11\n【一年原创】1、将函数的图像向右平移个单位，所得图像的函数为偶函数，则的最小值为()A．B．C．D．【答案】D2、函数图像的顶点是，且成等比数列，则【答案】143、设，则方程的解集为.【答案】4．三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为，则_【答案】5、已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝11\n，属于特征值1的一个特征向量为α2＝．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．解：由题意得旋转变换矩阵，………3分设为曲线上任意一点，变换后变为另一点，则，即所以又因为点P在曲线上，所以，故，即为所求的曲线方程．…10分7．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵,向量.(1)求的特征值、和特征向量、；(2)计算的值.【考点预测】2022高考预测预测在2022年高考主要考查(1)矩阵的逆矩阵；(2)利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程．本部分高考命题的一个热点是矩阵变换与二阶矩阵的乘法运算，考题中多考查求平面图形在矩阵的对应变换作用下得到的新图形，进而研究新图形的性质．另一个热点是逆矩阵，主要11\n．基础梳理【母题特供】母题一：金题引路：求矩阵的逆矩阵解：设矩阵A的逆矩阵为则即故11
