【三维设计】2022届高考数学一轮复习数学思想活用巧得分系列五函数思想在解三角形中的应用新人教版 [典例] 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．[解] (1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S＝＝＝，故当t＝时，Smin＝10，v＝＝30，即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B处相遇，如图所示．由题意可得：(vt)2＝202＋(30t)2－2·20·30t·cos(90°－30°)，化简得：2\nv2＝－＋900＝4002＋675.由于0<t≤，即≥2，所以当＝2时，v取得最小值10，即小艇航行速度的最小值为10海里/小时．[题后悟道] 解答本题利用了函数思想，求解时，把距离和速度分别表示为时间t的函数，利用函数的性质求其最值，第二问应注意t的范围．关于三角形中的最值问题，有时把所求问题表示关于角θ的三角函数，再利用三角函数的性质来求解．针对训练如图，在△ABC中，已知B＝，AC＝4，D为BC边上一点．若AB＝AD，则△ADC的周长的最大值为________．解析：∵AB＝AD，B＝，∴△ABD为正三角形，在△ADC中，根据正弦定理，可得＝＝，∴AD＝8sinC，DC＝8sin，∴△ADC的周长为AD＋DC＋AC＝8sinC＋8sin＋4＝8＋4＝8＋4＝8sin＋4，∵∠ADC＝，∴0<C<，∴<C＋<，∴当C＋＝，即C＝时，△ADC的周长的最大值为8＋4.答案：8＋42
